[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂(1)- sequence of functions

這次要介紹的是數學分析中關於函數收斂性的兩個非常重要的觀念： Pointwise convergence (逐點收斂) 與Uniform convergence (均勻收斂) 。

不過在談函數的收斂之前， ... 跳到主要內容 [數學分析]逐點收斂與均勻收斂(1)-sequenceoffunctions 4月07,2011 這次要介紹的是數學分析中關於函數收斂性的兩個非常重要的觀念： Pointwiseconvergence(逐點收斂)與Uniformconvergence(均勻收斂)。

不過在談函數的收斂之前，我們需要先知道到底是誰要收斂？在此我們所指的函數的收斂為考慮 函數sequence  (也就是函數所形成的數列) 的收斂。

以下我們稱$\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$為一個函數sequence，其中$f_k$為該數列中第$k$個元素函數。

有了上述定義，我們便可以引入這樣的函數到底如何收斂，首先我們介紹函數sequence逐點收斂的概念： ====================== Definition(PointwiseConvergence) 我們說一個函數的sequence$\{f_k(t)\}_{k=1}^\infty$逐點收斂(convergespointwise)到某函數$f(t)$若下列條件成立： 對任意$t\in[t_0,t_1]$ \[  \mathop{\lim}\limits_{k\to\infty}{f_k}(t)=f(t) \]====================== Comment: 1.上述定義清楚的說明甚麼是逐點收斂。

注意到第一個條件是 對任意$t\in[t_0,t_1]$；也就是說如果我們固定$t$在某個閉區間範圍$[t_0,t_1]$，在該時刻$t$，我們的函數sequence$f_k(t)\rightarrowf(t)$對每一點時刻都成立。

故稱為逐點收斂。

2.$f_k(t)\rightarrowf(t) \Leftrightarrow\mathop{\lim}\limits_{k\to\infty}{f_k}(t)$在數學分析內容中，通常會更精確陳述為： 給定$t\in[t_0,t_1]$，對任意$\varepsilon>0$存在一個夠大的$N>0$使得當$n\geN\Rightarrow|f_k(t)-f(t)|0} \end{array}}\right.\] 左圖$f_k$為連續函數。

但現在如果我們固定任意$t$，並且讓$k\rightarrow\infty$，我們得到的$f$為一個stepfunction，故連續性再逐點收斂中並沒有被保證。

故我們需要一個比逐點收斂更強的收斂。

稱作均勻收斂(Uniformconvergence) ====================== Definition:(UniformConvergence) 我們說一個函數的sequence$\{f_k\}_{k=1}^\infty$均勻收斂(convergesuniformly)到某函數$f$若下列條件成立： \[ ||f_k-f||\rightarrow0\\text{as$k\rightarrow\infty$}\\ \text{or}\\  \\mathop{\lim}\limits_{k\to\infty}\left\|{{f_k}-f}\right\|=0 \]====================== Comments 1.上述定義不再要求$t$，亦即與$t$無關(Uniformmeanstotallackofrestrictionon$t$)。

2.$||f||:=\displaystyle\sup_{t\in[t_0,t_1]}|f(t)|$；亦即我們的函數的norm是取supnormoffunction(orso-calleduniformnorm,orinfinitynorm) 現在我們看個例子： Example: 考慮$f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，且 $$f_n(x):=\frac{x^2+nx}{n} $$1.試求當$n\to\infty$其極限為何? 2.試判斷是否均勻收斂至其極限? Solution 1. \[\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{f_n}(x)=\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\frac{{{x^2}+nx}}{n}=x\] 2.檢驗其是否均勻收斂至$x$我們可檢驗其supnorm是否收斂到$0$ \[\left\|{{f_n}-f}\right\|=\mathop{\sup}\limits_{x\in{\rm{R}}}\left|{\frac{{{x^2}+nx}}{n}-x}\right|=\mathop{\sup}\limits_{x\in{\rm{R}}}\left|{\frac{{{x^2}}}{n}}\right|\]注意到若取$x:=\sqrt{n}\in\mathbb{R}$其supnorm$=1$故不收斂到$0$；因此此例$f_n(x)$並無均勻收斂到$x$。

$\square$ 接著我們看個重要的結果，也就是均勻收斂保證逐點收斂。

================== FACT: $f_k$convergesuniformlyto$f$$\Rightarrow$$f_k$convergespointwiseto$f$  ================== Proof: 固定$t\in[t_0,t_1]$，我們要證明$f_k\rightarrowf$pointwise，亦即要證明 \[ \lim_{k\rightarrow\infty}|f_k(t)-f(t)|=0 \]故我們觀察 \[ |f_k(t)-f(t)|\le\displaystyle\sup_{t\in[t_0,t_1]}|f_k(t)-f(t)|=||f_k-f|| \]又因為$f_k\rightarrowf$uniformly，故我們知道 \[  ||f_k-f||\rightarrow0 \]亦即Uniformlyconvergence$\Rightarrow$PointwiseConvergence$\square$。

均勻收斂保證連續性。

================== FACT: 令$\{f_k\}:X\to\mathbb{R}$為連續函數sequence；若$f_n\tof$均勻收斂，則$f$為連續函數(連續性被保持) ================== (Proofisomitted.) 回頭再檢驗一下我們剛剛的圖 其並非均勻收斂 (WHY??)由均勻收斂定義，我們計算其supnorm看看發生甚麼事： \[ \left\|{{f_k}-f}\right\|=\sup_t\left|{{f_k}\left(t\right)-f\left(t\right)}\right|=1\ne0 \] WHYsupnorm=1??由定義我們是找"兩者間差異"取sup，也就是找$f_k-f$的差異最大的時候，那麼兩者間最大差異為1不為0，亦即不均勻收斂。

(失去連續性) ================== FACT: 若$\{f_k\}_{k=1}^\infty$convergesuniformlyto$f$若且唯若$\{f_k\}_{k=1}^\infty$ 為Cauchysequence。

亦即；對所有的$\varepsilon>0$,存在一個$K\in\mathbb{N}$使得對所有的$j,k\geqK$，我們有 \[ ||f_j-f_k||