逐點收斂- 維基百科，自由的百科全書

逐點收歛也稱點態收斂，（英語：pointwise convergence，或稱簡單收斂），是數學中描述一組函數序列向一個函數趨近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異 ... 逐點收斂 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 逐點收歛也稱點態收斂，（英語：pointwiseconvergence，或稱簡單收斂），是數學中描述一組函數序列向一個函數趨近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異請小心分辨）。

詳細點講，如果這組函數列在定義域中每點的取值都會趨於一個極限值，這時可以用每點的極限來定義這組函數序列的極限函數，被趨近的這個極限函數稱作這個函數敘列的逐點極限。

在各種收斂中，逐點收斂較容易了解跟想像，但未必能很好地保持函數的一些重要性質，比如說連續性等等。

序 目次 1定義 2性質 3拓撲性質 4測度論 5參見 定義[編輯] 設 { f n } {\displaystyle\{f_{n}\}} 是一組有相同定義域的函數序列。

序列 { f n } {\displaystyle\{f_{n}\}} 逐點收斂若且唯若存在函數 f {\displaystylef} ，使得在定義域中的每點 x {\displaystylex} ，都有： lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=f(x)} 這時我們就說序列 { f n } {\displaystyle\{f_{n}\}} 逐點收斂到 f {\displaystylef} ，或說函數 f {\displaystylef} 是序列 f n {\displaystylef_{n}} 的逐點極限函數。

在英文中也寫作： lim n → ∞ f n = f    pointwise , {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}=f\{\mbox{pointwise}},} 性質[編輯] 與逐點收斂經常一起出現的一個概念是一致收斂（英語：uniformconvergence）。

一致收歛的定義如下： 假設序列 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})} 中的函數跟函數 f {\displaystylef} 都有相同的定義域 I {\displaystyleI} 。

定義函數序列 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})} 一致收斂到 f {\displaystylef} ，若數列 a n = sup { | f n ( x ) − f ( x ) | : x ∈ I } {\displaystylea_{n}=\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\inI\,\}} 趨近於零，用符號表示就是： lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0} ，換句話講也就是： lim n → ∞ sup { | f n ( x ) − f ( x ) | : x ∈ I } = 0 {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\inI\;\}=0} 兩相比較，一致收斂對於函數趨近的方式限制更大，所以一致收斂的函數序列必然逐點收斂，反之則不然。

一個簡單的例子是函數序列 f n : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] {\displaystylef_{n}:[0,1]\rightarrow[0,1]} ，讓 f n ( x ) = x n {\displaystylef_{n}(x)=x^{n}} ，則 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})} 逐點收斂到（不連續）函數 f ( x ) = { 0 x ∈ [ 0 , 1 ) 1 x = 1 {\displaystylef(x)={\begin{cases}0&x\in[0,1)\\1&x=1\end{cases}}} , 但並不一致收斂到該函數，因為對每個 n {\displaystylen} ， sup { | f n ( x ) − f ( x ) | : x ∈ [ 0 , 1 ] } {\displaystyle\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in[0,1]\,\}} 皆為1，所以 lim n → ∞ sup { | f n ( x ) − f ( x ) | : x ∈ [ 0 , 1 ] } = 1 ≠ 0 {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in[0,1]\,\}=1\neq0} 。

這說明了序列 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})} 並不一致收歛。

一致收斂能夠保持函數序列的連續性，但逐點收斂不能。

如上例，序列 ( f n ( x ) = x n ) {\displaystyle(f_{n}(x)=x^{n})} 都在閉區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle[0,1]} 上連續，但是 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})} 逐點收斂到的函數 f {\displaystylef} 並不是連續函數。

逐點收歛不要求序列 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})} 中函數的取值一定是實數，也可以是任何使其定義有意義的拓撲空間。

但一致收斂函數的適用範圍則相對較小，比如如果函數序列 ( f n ) {\displaystyle(f_{n})} 的對應域僅是拓樸空間，那可能一致收歛的定義並無意義，所以一致收歛的對應域一般在度量空間。

因為一致收歛定義中表達趨近的部分我們（部分的）利用了距離的概念（絕對值就是距離的概念），在這定義中無法被其他概念取代，相對來說逐點收歛中表達趨近的部分雖然也用了距離概念，但可以用拓樸空間中的開集合來取代，。

拓撲性質[編輯] 逐點收斂也可以理解為由半範數 | | f | | x = | f ( x ) | {\displaystyle||f||_{x}=|f(x)|\,} 建立的拓撲。

具有這種拓撲的函數組成的空間叫做逐點收斂空間。

這個拓撲與乘積拓撲是等價的。

如果 f {\displaystylef} 的定義域和值域都是緊緻的，根據吉洪諾夫定理，這個空間也是緊緻的。

測度論[編輯] 在測度理論中，對一個可測空間上的可測函數有幾乎處處收斂的概念，也就是說幾乎處處逐點收斂。

葉戈羅夫定理說明，在有限測度的集合上幾乎處處逐點收斂，意味著在稍微較小的集合上一致收斂。

參見[編輯] 一致收斂 拓撲空間 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=逐點收斂&oldid=64569579」 分類：微積分實分析級數函數空間的拓撲隱藏分類：含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةDeutschEnglishEspañolSuomiFrançaisעבריתMagyar日本語한국어PolskiPortuguêsRomânăРусскийУкраїнська 編輯連結