一致收斂- 维基百科,自由的百科全书
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一致收斂,或稱均匀收敛,(英語:Uniform convergence),是數學中關於函數序列收斂的一種定義。
其概念大致可想成:若函數序列fn 一致收斂至函數 f,代表對所有定義域 ...
均勻收斂
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均勻收斂,或稱一致收斂,(英語:Uniformconvergence),是數學中關於函數序列收斂的一種定義。
其概念大致可想成:若函數序列fn均勻收斂至函數f,代表對所有定義域中的點x,fn(x)收斂至f(x)會有(大致)相同的收斂速度[註1]。
由於它對收斂要求較逐點收斂更強,故能保持一些重要的分析性質,例如連續性、黎曼可積性。
目次
1定義
2例子
3性質
4注釋
5文獻
定義[編輯]
當函數序列中的函數的對應域是
R
{\displaystyle\mathbb{R}}
或
C
{\displaystyle\mathbb{C}}
時,此時均勻收歛的定義為:
讓
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}}
是定義在
S
{\displaystyleS}
上,對應域為
R
{\displaystyle\mathbb{R}}
或
C
{\displaystyle\mathbb{C}}
的一組函數序列,若序列
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}}
均勻收歛至函數
f
{\displaystylef}
在集合
S
{\displaystyleS}
上,即表示對所有
ϵ
>
0
{\displaystyle\epsilon>0}
,存在
N
∈
N
{\displaystyleN\in\mathbb{N}}
,使得當所有
n
≥
N
{\displaystylen\geqN}
且
x
∈
S
{\displaystylex\inS}
時有
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ϵ
.
{\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|
0
{\displaystyle\epsilon>0}
,存在
N
∈
N
{\displaystyleN\in\mathbb{N}}
,使得當所有
n
≥
N
{\displaystylen\geqN}
且
x
∈
S
{\displaystylex\inS}
時有
d
(
f
n
(
x
)
,
f
(
x
)
)
<
ϵ
,
{\displaystyled(f_{n}(x),f(x))
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