8.2逐點收斂 - 高雄大學

逐點收斂. a. 設有一數列之函數 $\{f_n\}$ , 且設這些函數有相同的定義域。

對每一定義域中的 $x$ , 可得一數列 $\{f_n(x)\}$ 。

令 $S$ 表使此數列收斂的 $x$ 之集合。

逐　點　收　斂  a          　　設有一數列之函數,且設這些函數有相同的定義域。

對每一定義域中的,可得一數列。

令 表使此數列收斂的之集合。

則一定義在上的函數,其中 (2.1) 稱為數列{}之極限函數。

並稱數列 {}在上逐點收斂至。

並以 (逐點收斂),或 表之。

　　由柯西收斂檢定法知,即使不知極限函數,我們仍可判定函數數列 {}是否收斂。

也就是{}收斂至一極限函數, 若且唯若存在一集合,且對 及任一 , 存在一1,使得對,, 　　對函數數列, 我們主要想討論下述問題:若數列 {}中之每一皆有某一性質,如連續、可微或可積,則極限函數是否亦具有此特性? 底下我們先給幾個例子。

例 1.對 ,令,,則每一皆為連續函數。

則極限函數是否亦為連續函數？　 例2.試給一 (2.3) 不一定成立之例。

  例3.試給一可微函數數列,極限函數存在,但 發散之例。

例4.設有一二重數列,其中 則是否成立？  　　 例5.對 ,令 則每一皆為連續函數。

令 因, ,故。

對, 上式最右側為一收斂之幾何級數,且其和為。

故 本例與例1類似,雖對 , 為連續,但無限個連續函數之和卻不一定仍為一連續函數。

例6.對 ,令   是否為一連續函數？　   a   a 進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 逐點收斂。

微積分講義第八章，國立高雄大學應用數學系。