不要相信你的直覺- PanSci 泛科學

※班佛定律是哪招. 要解釋這種不直覺的遞減現象，我們得先提一個生活中的例子。

想像一條長條狀的蛋糕 ... 101文字分享友善列印101專欄活得科學萬物之理不要相信你的直覺賴以威・2013/12/31・2780字・閱讀時間約5分鐘・SR值450・四年級＋追蹤PhotoCredit：CelestineChua「應該是這樣吧」。

許多時候我們遇到不懂的事情，常習慣就這麼歪頭兩秒鐘，然後，彷彿答案卡在腦袋裡面一樣，搖一搖，答案噗通一聲就掉出來了。

有人稱這是直覺。

然而，很遺憾地，大多數人的直覺都不是很準，不然就不會那麼多人在樂透選號時面帶微笑，還善良地想著要捐出一半頭彩。

要是理性點，應該會很憂心忡忡地想著：50元花下去，中三碼的機率僅有1.78%，好低。

六碼全中的頭彩機率更是低到億分之7.15，比每天車禍致死的機率億分之5.25高一點點而已，唉。

 就算不講容易讓人不理性的樂透，直覺在許多時候也經不起數學的檢驗。

更正確一點的說法是，直覺本來就不大準，只是這世界並沒有太多事情能搞清楚對錯，所以不容易察覺到直覺到底有多不準。

好比你覺得隔壁同學暗戀你，因為她下課常問你要不要一起去合作社，但事實上她只是單純想找人陪，可是在告白之前，你無法確認這件事情的真相。

更可悲的是，就算告白成功了，你還是無法確認她是否真的愛你。

聽不懂嗎？沒關係，再長大一點就懂了。

今天，我們藉由簡單的數學統計，讓大家實際看看，直覺跟事實間的差距，恐怕比藍綠兩黨之間的差距還大。

後者至少還有「無能」、「貪汙」、「讓老百姓氣到高血壓」等等諸多族繁不及備載的共同點……。

嗯，他們其實蠻像的，我似乎舉錯例子了。

※直覺vs.數學翻開存摺，看看最左邊的數字，將這個數字稱為「首數」，一百多萬的首數是1，六千多元的首數是6，八十幾塊的首數即是8。

現在，請用直覺判斷，全台灣兩千三百萬人的存款金額首數，1~9各個數字出現的機率各自是多少呢？均勻分布，每個數字出現的機率皆是1/9。

許多人的直覺應該此刻在腦海裡吶喊著這個答案，還帶點不屑。

要是順從直覺，按照這個邏輯繼續推理下去，使用歐元的人的存款金額首數，日本人的日幣存款金額首數，每個數字出現的機率應該也都是1/9的均勻分布。

沒理由這項統計數字在台灣是均勻分布，到歐洲或日本就會改變，大家理當都該一樣。

現在，當我們假設有9個人，戶頭裡各自有100、200…900元新台幣，符合均勻分布。

要是銀行忽然將他們的存款改以日幣或歐元計算，會得到下表。

台幣100200300400500600700800900日幣3577141071142917862143250028573214歐元2.557.51012.51517.52022.5 可以看見，首數1從出現一次，大幅增加到三與四次，首數9則消失在表格中。

考慮更一般的狀況，可以得到下面的統計分析圖。

當台幣換算成歐元或日幣時，首數數字小的出現機率都比較高。

至此，可以宣告直覺失敗，輸給了所謂的「班佛定律」：以自然形式出的數字，首數是1的機率約30%，2的機率是17.6%，依序遞減，首數是8與9的機率各自僅有5.1%與4.6%。

 ※班佛定律是哪招要解釋這種不直覺的遞減現象，我們得先提一個生活中的例子。

想像一條長條狀的蛋糕，蛋糕上不同區域，有不同的裝飾：有些地方是草莓、有些地方是櫻桃、還有些地方是肉桂跟大蒜。

要是有四人想分這條蛋糕，而且每種裝飾都想吃到，最常見的作法，就是先將蛋糕由上往下，切成許多片，每一片的大小符合每個人能拿到的比例，切完後依序1、2、3、4、1、2、3、4…等分。

每個人再根據自己的編號，週期性地挑出屬於自己的蛋糕。

如同下圖， 理想蛋糕分法上圖就是其中一人的切法。

在每隔一段距離，切下等寬的一部份。

可以確保每個人拿到他該拿到的比例，且各種裝飾都能拿到。

我們稱這種為「理想蛋糕分法」。

回到首數的問題。

要是統計全台灣的人銀行存款，可以畫出存款的統計分布圖，我們用下面這張示意圖表示。

x軸為線性時，首數分布不規律且不均等。

存款首數為1的區域我們用紫色表示。

要是將整個曲線想成一條蛋糕，切下的紫色區域起先是一條細細的「1」，過了2~9後，再來一塊粗一點的「10~19」，這次得隔久一點，過了0~99，才會再出現更粗的「100~199」。

然後，得一直等到「1000~1999」。

切下的區域分別是1、10、100、1000…切的間隔是8、80、800…。

換句話說，依據不同首數的蛋糕切法，在不同間隔間，切下大小不同的面積，不是剛才說的「理想蛋糕分法」。

可能，落在300~500的櫻桃就這麼沒了。

不過，要是將x軸的金額取對數(log)，就會得到下面這張圖。

x軸為對數時，首數分布呈現「理想蛋糕分法」。

方才所說的「理想蛋糕分法」——等間隔切下同樣大小的區域，在此重現了。

因為是等間隔，不同區域的裝飾都能拿到，以取樣的角度來，就是取下來的部分能夠充分反映原來曲線的特性。

有趣的是，在對數轉換後，首數為1切下來的面積所佔比例是log102-log101=log2~30%，首數是2的比例則是log103-log102=log10(3/2)~17.6%，歸納出首數為x時，所佔比例為log10(1+1/x)，。

這才是真正的首數分布。

 回到剛剛不同幣值的問題，如果假設新台幣的存款首數分布是依據班佛定律時，換算成歐元跟日幣後，可以得到下圖當首數分布，符合班佛定律時，不管怎麼切換貨幣，依然遵守班佛定律。

可以看見，換算到不同貨幣後，趨勢依然相似，大致依然符合班佛定律。

終於，我們看到log離家出走，離開了數學課本。

※數學界的抓猴達人，班佛定律只要是自然產生的數據，且數據涵蓋範圍很大，首數分布即會符合班佛定律。

因此，班佛定律相當具有實際用途。

好比，統計公司一年的各種報帳款項，便會看見班佛定律的存在。

政府或會計師即可反過來利用班佛定律，審核公司報帳是否誠實，如果不符合班佛定律，可能就有問題了。

奈何我無法拿中華民國各級政府，或首長特別費的資料實際測試一下班佛定律的威力(也怕測出來發現不符合，大家反而會說「這不是理所當然嗎」)，只好拿2012總統大選全國各鄉鎮的投票結果來看： 2012總統大選符合班佛定律結果相當符合班佛定律，這告訴我們，要嘛總統大選沒作票，或者作票的人精通班佛定律，再不然就是，作票的人歪打正著還是讓結果符合班佛定律了。

從一開始就說，別相信直覺了嘛。

參考資料：R.M.Fewster,“AsimpleexplanationofBenford’slaw,”theAmericanStatistician,vol.63,no.1,pp.26-32,Nov. 2009.註：更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》。

台灣傑出女科學家系列專訪，持續更新中！《她是科學家》特輯持續更新中相關標籤：班佛定律首數熱門標籤：大麻NASA女科學家量子力學CT值文章難易度剛好太難所有討論 1登入與大家一起討論#1劉暢2021/11/26回覆厲害賴以威32篇文章・ 8位粉絲＋追蹤數學作家、譯者，作品散見於聯合報、未來少年、國語日報，與各家網路媒體。

師大附中，台大電機畢業。

我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「Ifpeopledonotbelievethatmathematicsissimple,itisonlybecausetheydonotrealizehowcomplicatedlifeis」。

為了讓各位跟我一樣相信這句話，我們得先從數學有多簡單來說起，聊聊數學，也用數學說故事。

歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的：數感實驗室。

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筆者做為大氣科學從業人員，本篇文章，想要從《天氣之子》來討論極端氣候，因為極端氣候不僅是聯合國《永續發展目標(SustainableDevelopmentGoals)》的主要議題，也在近年來深深地影響人們生活。

天氣之子的氣候狀況這次新海誠用了一個很大膽的主題，也就是主角再也不是為了地球飛去宇宙深處作戰的女高中生（《星之聲》），也不是挽救過去將被隕石毀滅的村子的男高中生（《你的名字》），而是在犯罪邊緣的少年少女，而他們並未為了日本跟地球，而犧牲自己成為人柱。

從某個角度來說，人都有年輕不懂事過，為了愛犧牲理性也非意想不到，但是主角在「拯救世界」與「拯救戀人」之間，選擇戀人而放棄世界，也算是少有的故事情節，因此開映之後，的確造成了一些話題性。

不過，筆者比較有興趣的，是其中的降雨情節。

日本降雨從2021年持續到2024年，的確是不可能的，除了要有足夠的水氣，以及足夠的對流將氣團推往較冷的高空外，還須要足夠的氣溶膠來形成足夠大的水滴，才有機會造成降雨。

如果電影中的「神」希望靠物理作用，讓日本持續下雨三年，那我想這不會是對流造成的雨：因為在連續降雨而缺乏晴天的日本，潛熱（單純的水蒸發與植物的發散作用）與顯熱（因為地表與空氣溫差造成的熱量傳播）都將成歷史。

在夏天時，缺乏地面形成低氣壓的情況下，也無法產生梅雨所需要的對流作用。

所以最有可能的，就是在太平洋上，生成一個熱帶性低氣壓造成的風暴，但又因為氣壓帶的影響，讓此風暴持續盤旋在日本外海，替日本帶來大量的水氣。

要造成三年的連續降雨，最可能的情況就是在太平洋上，生成一個熱帶性低氣壓造成的風暴。

圖／envatoelements這樣的風暴若持續一整年不停歇，即使粗估每小時不到2mm的降雨量，一年下來也會帶給日本超過10000mm的降雨。

日本年均降雨約在1500mm到1800mm左右，此風暴將造成四到五倍的年降雨量，這可能會對日本造成破壞力僅次於《日本沉沒》的最大自然災害。

也就是說，光是一直下雨，的確有可能淹沒整個日本的都會區。

實際上，2021年的夏天，德國西部與比利時東部大小城鎮，就在低氣壓氣旋Bernd[1]帶來的豪雨下，受到了重大的打擊。

但可惜的是新海誠對於日本淹沒這個概念有點誇大，在影片結尾，日本的「彩虹大橋」被淹沒，彩虹大橋塔高126公尺[2]，動畫中大約被淹沒超過一半，這邊就先估僅63公尺高。

這應該是天氣之子的Bug，因為要淹到63公尺的高度，唯一合理的解釋只有全球氣候異常，造成冰河融解。

在《自然》科學期刊中，Gregory&Oerlemans(1998)估算在全球暖化的影響下，考量到冰河區的融化量，海平面到2100年將會上升「數公尺」；而美國地理調查所(USGS)在網頁簡略提到，如果全球冰層溶解，大約會是76公尺高[3]。

也就是說，在《天氣之子》中，全球極度暖化，導致海平面上升63公尺，這已經是勘比《2012》的世紀災難了。

另外一點，兩年半中經歷氣候變化（真的如主角講的：「我們改變了世界」）後的日本，在海平面上升63公尺的情況下，造成將近有17.41%的國土面積喪失，而情況最嚴重的則在大東京都地區。

左：災前日本。

右：災後日本淹水地區。

圖／Y.-S.Lu.DataSource:DerivedfromGTOPO-30tiles,https://lta.cr.usgs.gov/GTOPO30byCC4.0豪雨造成的問題豪雨可以說是地球上最容易觸發災難的關鍵氣象要素。

相較於需要板塊交界的地震、需要大氣運動才能造成的颱風／颶風，以及只有高緯度地區才有的雪災，任何地方只要「會下雨」，就有可能豪雨成災。

對土木界而言，水一直是問題也是重點防治對象之一。

所以，撇除不合理的海平面上升之外，這邊還可以再淺談一些《天氣之子》中可能會出現的豪雨災害。

在豪雨的侵害下，日本平地的地下水位應該會保持在地面，而山區的地下水水位也可能會偏高，土壤含水量偏高後，不僅會造成土壤重量上升，亦導致側向土壓上升，再加上日本與台灣一樣，是造山運動強烈的地方，所以坡沙土堆積淺，土石流、泥石流的情況將會十分強烈。

在日本持續降水期間，山區會有許多因為崩坍造成的堰塞湖，山區居民應全數徹離以保全生命安全。

山區道路除了會因為坍方造成道路中斷，高水位也會超過道路上擋土牆的設計。

擋土牆原本就是根據地區水位做估算與設計，但是在連年降雨下，水位高度將超過一般設計的強度，所以道路上的擋土牆也會有坍塌的危險。

豪雨侵襲將帶來嚴重土石流、泥沙淤積與堰塞湖。

圖／台灣農委會林務局網頁而岩層區也會因為岩隙間的水壓上升、破壞岩體，導致挖穿山間的隧道開始因為水壓，而坍塌阻塞。

由於山區的降水無法被土壤吸收保留，所以大多數的水將會匯流到平地，平地的淹水狀況將比往常更嚴重，都市內的排洪系統將完全失效；而河道的防洪牆雖然阻擋了河道暴漲，但都市內的淹水也將難以排除。

都市中的高樓雖然提供了居民可用的居住環境，但是因為大多數的高樓機房都設在地下層，所以樓房機能將損失殆盡，除了電梯無法使用，污水與糞水也將漂滿都市內部，好在連年下雨，所以這些污水早已成為龐大水體的分子，所以也不是真的很「污染」（但感性上不能接受），另外從山區湧入的人口，可能會因為人口擁擠，造成更大的社會與治安問題。

除此之外，伴隨降雨而來的，還有厚重的雲層。

雲層阻擋了陽光，也阻擋了植物進行光合作用，可想而知，日本的農業也會隨之被破壞，菌類養植可以繼續，也就是日本在沒有被核戰爭攻擊的情況下，卻可能必須過著有如《地鐵(Metro2033)》的生活。

同時，在缺乏陽光的基礎下，人類無法自然產生維他命D，兒童也將因此生長不良，更惶論因為長期陰天導至人們憂鬱症比例上升。

連日下雨缺乏陽光，容易導致人們憂鬱。

圖／envatoelements在豪雨不斷的氣候異常下，原本就存在的極端天氣狀況只會更甚，日本連年降雨，就有可能是某處連年乾旱。

在動畫中，日本的異常降雨，代表人類的世界可能只是將更快速地步向滅亡。

畢竟現今為了減低溫室效應造成的危機，各國正在提出方法來淨零，但《天氣之子》一口氣就造成了更嚴重的氣候影響。

總而言之，《天氣之子》與其說是放棄日本拯救少女，其實更有可能是放棄全世界整救少女。

當德國遇上「天氣之子」近年最大的洪災，便發生在2021年，從美洲到歐亞洲，各國都遭遇到了前所未見的洪災。

2021年，當德國還正因為COVID-19感染人數下降，逐步微解封之時，七月發生的大水災，造成了人命與財物[4]的重大損失。

除了高達70億歐元的保險賠償外，德國西部的Ahweiler、Erftstadt、Hagen等城鎮被淹沒、房屋被沖毀，許多河道旁的居民，也在雨災過後丟出許多被洪水泡毀的家具電器，損失慘重。

雖然部份民眾將炮火轉向預警系統的失敗[5]，但預警系統並非毫無作用。

在德國可以裝NINAapp做為推播使用，某些城市也會有警報廣播系統，但即便已發出手機app的警報，以及俗稱Siren的警報，民眾不一定會意識到災難的到來並進行疏散，也有民眾忽略警報選擇不避災，甚至有民眾說從未能想像德國發生「有如第三世界」的洪災，但事實上，德國大河（如萊茵河、易北河）在近10年內，就有過類似洪災的紀錄。

德國７月洪災淹沒了城鎮。

圖／德國之聲新聞截圖2016年時，德國酒鄉之一的阿爾魏勒（Ahweiler），其周邊的阿爾河（Ahr）就氾濫過一次，當年低氣壓帶來連日的綿綿大雨，造成了小部份地區被水淹沒；但是當2021年的洪災再次來臨，居民還是覺得很震驚，可見該地區的居民對洪災是缺乏想像的。

2021年的這場洪災，德國城鎮的管理層級並非沒有作為，筆者居住的小鎮，在洪峰來臨前十二小時就已封閉橋樑，許多志工開始投入疏散河提居民的工作，將居民安置在大賣場，且有志工開車接送。

然而，在河水暴漲的岸邊，不僅有路人無視路障通過，有更多人在岸邊拍照，紀錄淹水狀況。

受災區域亦同。

但是話說回來，居民與當地警消的這種反應，可能也是非戰之罪，因為許多的測站都遭遇到破紀錄的水位高，如阿爾魏勒的測站阿爾特納爾（Altenahr）在資料中寫下了「最高紀錄」[6]，但是因為測站毀損，沒有具體數字；有學者則提出，這是200年洪災的規模。

但是防災等級的提升，也意謂著公共工程經費的支出。

如何在兩者間取得共識，一直是防災工程的大哉問。

德國的氣象預警也並非無作為，但並不是所有的預告都能說服人，歐洲中期天氣預報中心(ECMWF)的叢集預策系統(EnsemblePredictionSystem)利用了氣象模擬中的不確定性，以多重運行結果進行機率預測，來替代傳統的單一運行的單一結果。

然而，即便用上機率預測方法，也只能在極端的機率(第99percentile)下預測到德國西部會有122mm/day的最大降雨，而德國氣象中心(DWD)的在當日所量測到的是144mm/day最大降雨。

嚴格說來，即便使用了叢集系統亦無法補捉到雨量的最大值，實屬可惜。

所以氣象預報並非完全有效，加上只有1%的機率可以達到四分之一的年均雨量，這個機率很難說服一般人馬上進行避險。

ECMWF與DWD雨量比較。

圖／LuisSamaniego@twitter這樣一次性的暴雨時期，德國遭受了超過七十億歐元的保險賠償，並有將近200人死亡，可見當災難超過預測時，人類的應對是遠遠不足的。

同時，德國因為二戰時期與冷戰的陰影，對政府集權相當的反感，也間接導致無法使用如台灣的細胞簡訊的方法，來廣範地疏導民眾。

如何增強防民眾對災難的因應意識，有可能將也是德國接下來的課題了。

在極端氣候之下，要更有防災意識天氣之子因為對治安黑暗面的描寫，以及主角的選擇，造成了不少的爭議，也造成觀影程度與《你的名字》有所相差，雖然對筆者而言，其氣象的狀況算是超現實，且對社會重建的描寫不夠深入，但是在氣候變遷下，人們必須思考並建立對防災的概念與意識，在降雨強度變強、極端溫度更高的情況下，災難是有可能會更嚴重的。

台灣的讀者可以多參考水土保持局的相關防災宣導與資料，建立與更新相關知識，更重要的，應該是隨時有防災意識，才能保護自己，以及保護別人。

參考資料Gregory,J.M.,&Oerlemans,J.(1998).Simulatedfuturesea-levelriseduetoglaciermeltbasedonregionallyandseasonallyresolvedtemperaturechanges.Nature,391(6666),474-476.[1]德國Tagesschau2021-7-14報導:異常困難的狀況(“AußerordentlichschwierigeLage”)[2]日本彩虹橋基本資料[3]USGS官網FAQ[4]德國之聲-德國今夏水災保險損失超預期[5]德國西部洪災嚴重，防災系統哪去了？[6]德國Altenahr水位資料台灣傑出女科學家系列專訪，持續更新中！《她是科學家》特輯持續更新中相關標籤：天氣之子水災洪災豪雨防災防災意識降雨雨熱門標籤：大麻NASA女科學家量子力學CT值所有討論 0登入與大家一起討論Y.-S.Lu247篇文章・ 496位粉絲＋追蹤自從來到學界後，便展開了一段從土木人到氣象人的水文之旅。

主要專業是地球科學數值模擬，地下水與地表模式的耦合系統，以及大氣氣象模擬。

目前是于利希研究中心(ForschungszentrumJülichGmbH)的博士後研究員。

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