班佛定律 - 科學Online

班佛定律 ... ，這個現象和直覺不相符合，每個數字出現的機率並不一樣。

最高位數字愈小，出現的機率愈大！底下，我們用長條圖表示，一目瞭然勝過千言萬語。

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$$\log\left({1+\frac{1}{4}}\right)+\log\left({1+\frac{1}{5}}\right)+\log\left({1+\frac{1}{6}}\right)+\log\left({1+\frac{1}{7}}\right)\\=\log\left({\frac{5}{4}\times\frac{6}{5}\times\frac{7}{6}\times\frac{8}{7}}\right)=\log2\approx0.301$$ 「班佛定律」又稱為首位數字法則(First-DigitLaw)。

然而，為什麼說它有趣呢？首先，我們由$$1$$到$$9$$按照班佛法則逐一算出每個最高位數字的比例： $$\begin{array}{lll}\log\left({1+\frac{1}{1}}\right)\approx0.301030&\log\left({1+\frac{1}{4}}\right)\approx0.096910&\log\left({1+\frac{1}{7}}\right)\approx0.057992\\\log\left({1+\frac{1}{2}}\right)\approx0.176091&\log\left({1+\frac{1}{5}}\right)\approx0.079181&\log\left({1+\frac{1}{8}}\right)\approx0.051153\\\log\left({1+\frac{1}{3}}\right)\approx0.124939&\log\left({1+\frac{1}{6}}\right)\approx0.066947&\log\left({1+\frac{1}{{\rm{9}}}}\right)\approx0.045757\end{array}$$ 直覺上我們以為每個最高位數字的比列是相同的，但事實上，最高位數字的比例分布並不均勻，最高位數字$$1$$出現的比例大約是$$30\%$$，數字$$2$$或$$3$$的比例總共約$$30\%$$，數字$$4,5,6,7,8$$或$$9$$的比例總共約是$$40\%$$，這個現象和直覺不相符合，每個數字出現的機率並不一樣。

最高位數字愈小，出現的機率愈大！底下，我們用長條圖表示，一目瞭然勝過千言萬語。

在真實世界中，很多類型的數據而且是自然產生的數據通常都遵守「班佛定律」，尤其是財務數據。

因此，可使用此一自然法則檢驗財務資料的可信度，甚至糾舉偽造的假帳、揭發詐欺行為。

「班佛定律」有個著名的應用實例，此案堪稱美國華盛頓州史上最大投資詐欺案，其掏空金額高達一億美元，受波及的投資人多達$$5000$$人。

詐騙主謀凱文‧勞倫斯(KevinLawrence)和其同夥們向投資人籌資，創辦一家健身俱樂部，不過他們卻將資金花用在私人享樂上，為了掩飾挪用公款的不法行為，把資金在海外空殼空司和銀行之間轉來轉去做假帳，製造出生意興隆的假象。

幸好，鑑識會計家達洛‧鐸瑞爾(DarrellDorrell)識破此投資騙局，他將七萬多筆支票及匯款的相關數據，與「班佛定律」的最高位數字分布比對，發現這些數據無法通過檢驗。

最後耗費三年司法調查，凱文‧勞倫斯被判刑$$20$$年入監。

又例如，美國國稅局研究「班佛定律」以揪出逃漏稅行為，甚至也有研究員用這個定律檢驗美國總統柯林頓的報稅資料。

因此，「班佛定律」在財務審計的防弊妙用，有個貼切傳神的封號：「假帳剋星」。

「班佛定律」是如何被發現的呢？1881年，美國天文學家紐康(SimonNewcomb)觀察到對數表書籍前面的書頁比後面的破舊，同儕科學家們所處理的數據，最高位數字$$1$$的次數要比數字$$2$$來的多，依此類推，數字$$9$$的書頁是最乾淨的，這些數據的呈現偏向較小數字的分布。

1938年，美國物理學家班佛(FrankBenford)也注意到同樣的事情，並且提出發表。

直到1995年，喬治亞理工學院的數學家希爾(TedHill)才給出班佛定律的證明。

2012年，紐澤西大學會計學教授尼格里尼(MarkNigrini)著作的專書《班佛定律》出版，書中討論班佛定律在法務會計、審計查帳和詐欺偵查的應用，另外他也研發數字分析系統，可快速檢查資料庫數據是否造假。

假的真不了，真的假不了！辨識真假憑藉的不是幸運之神的眷顧，而是運用知識，看透表象，直指真相。

參考資料 曼羅迪諾著、胡守仁譯(2012)，《醉漢走路-機率如何左右你我的命運和機會》，台北：天下遠見出版社。

許志農主編(2013)，《普通高級中學數學》第一冊，台北：龍騰文化。

http://www.dfi.wa.gov/sd/kevin_laurence_sentenced.htm http://en.wikipedia.org/wiki/Benford%27s_law Tags:Benford,對數,機率,班佛定律 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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