等差級數和公式的無言證明 - 線代啟示錄

大概每一個人都聽說過德國數學家高斯(Carl Friedrich Gauss) 計算等差級數和的故事[1]。

高斯十歲時，他的算術老師為了讓教室裡的小朋友安靜下來， ... 線代啟示錄 Iseeknottoknowtheanswers,buttounderstandthequestions. Skiptocontent ←每週問題March4, 2013 每週問題March11, 2013→ 等差級數和公式的無言證明 Postedon03/06/2013byccjou 大概每一個人都聽說過德國數學家高斯(CarlFriedrichGauss)計算等差級數和的故事[1]。

高斯十歲時，他的算術老師為了讓教室裡的小朋友安靜下來，靈機一動，便要求學生們計算，並且聲明算對的人就可先回家。

不一會功夫，高斯走向老師，將他的小黑板放在講桌上。

沒有任何算式，小黑板上寫著：。

訝異的老師請高斯解釋答案從何而來，他說：「我發現數列存在這個模式，，，以此類推直到。

因為共有組數對，總和必定是。

」今天的國中學生都知道下列等差級數和公式：對於每一正整數， 。

這個公式有許多種證法，下圖是我最喜歡的一個「無言」證明[2]。

等差級數和公式的無言證明   提示：   參考來源： [1]http://mathtext.project.edu.tw/download/pdf/8b/98-text_8b_c01.pdf [2]LorenC.Larson,Adiscretelookat1+2+…+n,CollegeMathematicsJournal,Vol.16,pp369-382,1985. Sharethis:EmailPrintFacebookTwitterLikethis:LikeLoading... Thisentrywaspostedin隨筆雜談andtagged等差級數和.Bookmarkthepermalink. ←每週問題March4, 2013 每週問題March11, 2013→ 11Responsesto等差級數和公式的無言證明 張盛東says: 03/07/2013at6:25pm 這個證明方法真的很妙，我也看了1分鐘才看懂。

對了，給老師些關於老師您的講義本的建議。

我覺得如果老師在講義本中加入些線性代數應用的，比如老師這個網站上關於馬可夫鏈的文章，閱讀起來會更有趣味。

另外，希望老師多寫些關於數值線性代數的文章。

現在我正學習數值線性代數，被數值穩定性這一節搞得昏頭轉向。

Reply ccjousays: 03/08/2013at8:51am 你說的是教學光碟附贈的講義本嗎？這個講義本是按照授課內容編寫的，因此沒有加入其他材料。

不過我倒是可以在本站的「線性代數教學光碟延伸閱讀」添加與主題有關的應用連結。

如果你願意提供數值線性代數的討論主題，我可以針對該主題撰文。

只是最近工作比較忙，發文的速度會稍緩一些。

Reply 張盛東says: 03/10/2013at3:37pm 如果老師有空希望老師可以討論一下數值線性代數中的stability和backwardstability. Trefethen的NumericalLinearAlgebra有兩句話特別令我費解： Astablealgorithmgivesnearlytherightanswertonearlytherightquestion. Abackwardstablealgorithmgivesexactlytherightanswertonearlytherightquestion. 請問老師，如何理解這兩句話？ Reply ccjousays: 03/10/2013at6:57pm 好的，我去把這本書找來看看。

這裡先給一個字面上的解釋：problem可以想成，其中是給定的輸入，是問題，是解。

例如，求解就是，計算特徵值則是。

一個穩定的算法，表示為，是說對於幾乎是正確的問題輸入，可以得到幾乎是正確的答案，也就是 你的疑問是「為甚麼要這樣定義？」是吧？ Reply 張盛東says: 03/11/2013at10:52am 是的。

其實應該說這個定義不是太直觀（對我而言，資質愚鈍，慚愧），希望老師給個具體例子說明一下這兩句話的深意。

Reply 張盛東says: 03/13/2013at11:52am 而且實際上我們通常知道和.比如求當的值，因為不能在計算機中精確表示，所以只知道，因此有。

我的疑問就是我們應該分析而不是像定義式那樣。

Reply ccjousays: 03/13/2013at12:48pm 我將LaTex語法編輯過以正確顯示。

稍後在回覆裡一併回答你的問題。

12345says: 03/11/2013at10:48am 這個無言的證明看了很久，還是搞不清楚。

Reply 張盛東says: 03/11/2013at10:58am 我的理解就是：最後一列任意一個組合（combination）都與上面的唯一一個球對應，所以最後一列球的組合的總數就是上面所有球的總數（不含最後一列），也就是1+2+…+n-1=(nchoose2)。

若要求前n項和，結果就是（n+1choose2）.。

個人理解，希望對您有幫助。

Reply ccjousays: 03/11/2013at11:00am 每一個藍色球對應最底列的二個橘色球(如圖所示之正三角形頂點位置)，而且它們之間具有「一對一」的對應關係，也就是說，任二個橘色球對應唯一一個藍色球。

哈，有人比我搶快回答了，謝謝！ Reply IsmahasanBalysays: 06/04/2017at4:56am 點到我了『二個橘色球對應唯一』 Reply LeaveaReplyCancelreply Enteryourcommenthere... Fillinyourdetailsbeloworclickanicontologin: Email(required)(Addressnevermadepublic) Name(required) Website YouarecommentingusingyourWordPress.comaccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourTwitteraccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourFacebookaccount. ( Log Out /  Change ) Cancel Connectingto%s Notifymeofnewcommentsviaemail.Notifymeofnewpostsviaemail. Δ 搜尋(繁體中文或英文) Searchfor: 訊息看板 近期文章 每週問題June26, 2017 每週問題June19, 2017 每週問題June12, 2017 每週問題June5, 2017 每週問題May29, 2017 線性代數專欄其他主題專欄每週問題數據充分性問題其他分類RecentComments ZhuoyuHeon分塊矩陣的行列式ungaon奇異值分解的幾何意義tobinwangon特殊矩陣(6)：正定矩陣TerminologyofRecom…on內積的定義陳宗為on動差生成函數(上)陳宗為on動差生成函數(上) 近期最多人點閱三階逆矩陣公式內積的定義分塊矩陣的行列式特殊矩陣(8)：Vandermonde矩陣奇異值分解(SVD)基底與維數常見問答集正定矩陣的性質與判別方法行列式的運算公式與性質如何學好線性代數？歐拉恆等式──最優美的數學定理分類分類 SelectCategory 無關線代  (23) 特別主題  (20) 答讀者問  (49) 網友分享  (2) 線性代數專欄  (426)    特徵分析  (76)    特殊矩陣  (23)    線性變換  (33)    線性方程  (30)    行列式  (32)    證明細解  (4)    內積空間  (28)    典型形式  (27)    向量空間  (47)    應用之道  (42)    數值線性代數  (29)    二次型  (42)    仿射幾何  (11) 隨筆雜談  (18) 試閱  (2) 周老師時間  (16) 問題回報  (24) 圖論  (12) 布告欄  (22) 希爾伯特空間  (4) 數據充分性問題  (3)    DSQ特徵分析  (1)    DSQ向量空間  (2) 機率統計  (21) 機器學習  (8) 每週問題  (435)    pow特徵分析  (87)    pow線性變換  (23)    pow線性方程與矩陣代數  (56)    pow行列式  (55)    pow內積空間  (57)    pow典型形式  (9)    pow向量空間  (75)    pow二次型  (73) Archives Archives SelectMonth June2017 (4) May2017 (5) April2017 (4) March2017 (4) February2017 (6) January2017 (11) December2016 (5) November2016 (5) October2016 (5) September2016 (4) August2016 (5) July2016 (4) June2016 (4) May2016 (10) April2016 (6) March2016 (10) February2016 (11) January2016 (7) December2015 (11) November2015 (9) October2015 (8) September2015 (11) August2015 (14) July2015 (8) June2015 (11) May2015 (5) April2015 (5) March2015 (6) February2015 (4) January2015 (7) December2014 (9) November2014 (5) October2014 (4) September2014 (5) August2014 (5) July2014 (5) June2014 (11) May2014 (10) April2014 (12) March2014 (14) February2014 (15) January2014 (10) December2013 (16) November2013 (14) October2013 (19) September2013 (15) August2013 (13) July2013 (13) June2013 (18) May2013 (16) April2013 (14) March2013 (6) February2013 (8) January2013 (13) December2012 (16) November2012 (18) October2012 (17) September2012 (10) August2012 (8) July2012 (10) June2012 (15) May2012 (12) April2012 (12) March2012 (11) February2012 (10) January2012 (7) December2011 (5) November2011 (4) October2011 (6) September2011 (5) August2011 (5) July2011 (8) June2011 (13) May2011 (14) April2011 (11) March2011 (11) February2011 (10) January2011 (12) December2010 (12) November2010 (13) October2010 (8) September2010 (11) August2010 (15) July2010 (7) June2010 (13) May2010 (12) April2010 (12) March2010 (14) February2010 (14) January2010 (12) December2009 (12) November2009 (14) October2009 (10) September2009 (13) August2009 (14) July2009 (12) June2009 (12) May2009 (12) April2009 (15) March2009 (39) 標籤雲 Cayley-Hamilton定理 Frobenius範數 Gram-Schmidt正交化 Gramian矩陣 Hermitian矩陣 Householder矩陣 Jordan典型形式 LU分解 QR分解 Schur定理 SVD Vandermonde矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數重數 伴隨矩陣 內積 冪矩陣 冪等矩陣 冪零矩陣 分塊矩陣 列空間 半正定矩陣 反對稱矩陣 可交換矩陣 可逆矩陣 向量空間 圖論 基底 基本列運算 奇異值 奇異值分解 實對稱矩陣 對角化 座標變換 微分方程 投影矩陣 排列矩陣 旋轉矩陣 最小多項式 最小平方法 正交性 正交投影 正交矩陣 正交補餘 正定矩陣 正規矩陣 特徵值 特徵向量 特徵多項式 特殊矩陣 相伴矩陣 相似 矩陣乘法 矩陣多項式 矩陣指數 矩陣範數 矩陣譜 秩 秩─零度定理 簡約列梯形式 組合數學 線性獨立 線性變換 線性變換表示矩陣 行列式 行空間 譜分解 跡數 逆矩陣 通解 零空間 高斯消去法 線代線上影音課程 Essenceoflinearalgebra(3Blue1Brown) KhanAcademy(SalmanKhan) MITOCW(GilbertStrang) 國立台灣大學OCW(蘇柏青) 國立清華大學OCW(趙啟超) 國立交通大學OCW(莊重) 國立交通大學OCW(巫木誠) 線代學習網站 用maxima學數值分析─特徵值和特徵向量 FreeOnlineBooks MathInsight MITOCW Wikibooks:LinearAlgebra WolframDemonstrationProject 線代電子書 AFirstCourseinLinearAlgebra(RobertA.Beezer) FundamentalsofLinearAlgebra(JamesB.Carrell) LinearAlgebra(JimHefferon) LinearAlgebraDoneWrong(SergeiTreil) LinearAlgebraProblems(JerryL.Kazdan) LinearAlgebraviaExteriorProducts(SergeiWinitzki) LinearAlgebra,TheoryandApplications(KennethKuttler) MatrixAnalysisandAppliedLinearAlgebra(CarlD.Meyer) NotesonLinearAlgebra(PeterJ.Cameron) 矩陣計算器 JordanFormCalculator MatrixCalculator OnlineMatrixCalculator LaTeX OnlineLaTeXEquationEditor Wikibooks:LaTeX Blogroll 陰暗的小角落 MarkChang'sBlog 尼斯的靈魂 微積分福音 訂閱 請輸入您的email，當有新文章發表時，您將會收到通知。

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