二階常微方：通解

設A、B 為兩常數，則y = Ay1 + By2 也是該齊性方程式的解。

同樣地，n 階線性微分方程式的n 個線性獨立解y1, y2, ... yn，讓我們可以寫下通解y = A1y1 + A2y2 + . 常微分方程 二階常微方：通解 n階常係數常微方 其中pi是常數、Dn是算子dn/dxn   出現在不少物理問題的，是二階的 像很經典的彈簧質量塊、有阻尼、施力振盪，即是上式的型式。

作業：在你的普物課本中，找出力學與電學各自符合上式型式的例子。

  解法是，先求解以下homogeneous方程式 ，再找滿足前面原問題方程式的particularintegral，最後兩者合併。

    線性方程式之解的本質 問題：千辛萬苦找到一個解，怎麼知道還有沒有其他解？ 問題：只是乘係數再組合（叫線性組合）算不算一個"新"的解？（什麼叫做"新"？） 問題：有沒有方法從方程式的型式本身就知道其解共有幾個？   我們現在要探討的是線性方程式（解）的通性。

為簡化起見，在此以上面之二階方程式為例。

若y1、y2是二階homogeneous常微方兩個獨立的解（意指一個不為另一個的常數倍數） 兩個解呈線性獨立的充要條件是其Wronskian行列式不為零，即：   設A、B為兩常數，則y=Ay1+By2也是該齊性方程式的解。

同樣地，n階線性微分方程式的n個線性獨立解y1,y2,...yn，讓我們可以寫下通解y=A1y1+A2y2+...+Anyn   http://en.wikipedia.org/wiki/Wronskian     補充：微分方程式之解的存在性證明 思考：一個函數y存在，要怎麼證明？（宿命論：一樣東西在這個世界上，要嘛就是有，不然就是沒有，怎麼可能用證明的方法來確認這種問題？）(建構法?矛盾法?...)(可自行找資料閱讀)     常係數二階常微方： 通解 假設我們可以找到一個二階方程式 (D2+aD+b)y(t)=f(t) 的一個解yp(t)，使得 (D2+aD+b)yp(t)=f(t) 另外找yc(t)，使得 (D2+aD+b)yc(t)=0 通式y(t) 是由y(t) =Ayc(t)+Byp(t)所構成   補函數 由(aD+b)y(t)=0所誘發，指數函數是解的通用形式 其實對(D2+aD+b)yc(t)=0也是一樣   關鍵是 y(t)=ept 這個函數型式作為解的主體   有auxiliary(或叫characteristic)方程式 p2+ap+b=0   請自行閱讀以下課本中之詳解範例：   Ex.2.9(實相異根)   Ex.2.10(虛/複數根)   Ex.2.11(重根)