條件機率- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

條件機率（英語：conditional probability）就是事件A在事件B發生的條件下發生的機率。

條件機率表示為P（A|B），讀作「A在B發生的條件下發生的機率」。

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條件機率（英語：conditionalprobability）就是事件A在事件B發生的條件下發生的機率。

條件機率表示為P（A|B），讀作「A在B發生的條件下發生的機率」。

聯合機率表示兩個事件共同發生的機率。

A與B的聯合機率表示為 P ( A ∩ B ) {\displaystyleP(A\capB)} 或者 P ( A , B ) {\displaystyleP(A,B)} 或者 P ( A B ) {\displaystyleP(AB)} 。

邊際機率是某個事件發生的機率。

邊際機率是這樣得到的：在聯合機率中，把最終結果中不需要的那些事件合併成其事件的全機率而消失（對離散隨機變數用求和得全機率，對連續隨機變數用積分得全機率）。

這稱為邊際化（marginalization）。

A的邊際機率表示為P（A），B的邊際機率表示為P（B）。

需要注意的是，在這些定義中A與B之間不一定有因果或者時間序列關係。

A可能會先於B發生，也可能相反，也可能二者同時發生。

A可能會導致B的發生，也可能相反，也可能二者之間根本就沒有因果關係。

例如考慮一些可能是新的訊息的機率條件性可以通過貝氏定理實現。

目次 1定義 2統計獨立性 3互斥性 4其它 5形式定義 6條件概率謬論 7參見 定義[編輯] 設A與B為樣本空間Ω中的兩個事件，其中P(B)>0。

那麼在事件B發生的條件下，事件A發生的條件機率為： P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) {\displaystyleP(A|B)={\frac{P(A\capB)}{P(B)}}} 條件機率有時候也稱為：事後機率。

統計獨立性[編輯] 若且唯若兩個隨機事件A與B滿足 P ( A ∩ B )   =   P ( A ) P ( B ) {\displaystyleP(A\capB)\=\P(A)P(B)} 的時候，它們才是統計獨立的，這樣聯合機率可以表示為各自機率的簡單乘積。

同樣，對於兩個獨立事件A與B有 P ( A | B )   =   P ( A ) {\displaystyleP(A|B)\=\P(A)} 以及 P ( B | A )   =   P ( B ) {\displaystyleP(B|A)\=\P(B)} 。

換句話說，如果A與B是相互獨立的，那麼A在B這個前提下的條件機率就是A自身的機率；同樣，B在A的前提下的條件機率就是B自身的機率。

互斥性[編輯] 若且唯若A與B滿足 P ( A ∩ B ) = 0 {\displaystyleP(A\capB)=0} 且 P ( A ) ≠ 0 {\displaystyleP(A)\neq0} ， P ( B ) ≠ 0 {\displaystyleP(B)\neq0} 的時候，A與B是互斥的。

因此， P ( A ∣ B ) = 0 {\displaystyleP(A\midB)=0} P ( B ∣ A ) = 0 {\displaystyleP(B\midA)=0} 。

換句話說，如果B已經發生，由於A不能和B在同一場合下發生，那麼A發生的機率為零；同樣，如果A已經發生，那麼B發生的機率為零。

其它[編輯] 如果事件 B {\displaystyleB} 的機率 P ( B ) > 0 {\displaystyleP(B)>0} ，那麼 Q ( A ) = P ( A | B ) {\displaystyleQ(A)=P(A|B)} 在所有事件 A {\displaystyleA} 上所定義的函數 Q {\displaystyleQ} 就是機率測度。

如果 P ( B ) = 0 {\displaystyleP(B)=0} ， P ( A | B ) {\displaystyleP(A|B)} 沒有定義。

條件機率可以用決策樹進行計算。

形式定義[編輯] 考慮機率空間Ω(S,σ(S))，其中σ(S)是集S上的σ代數，Ω上對應於隨機變數X的機率測度（可以理解為機率分布）為PX；又A∈σ(S)，PX(A)≥0（這裡可以理解為事件A，A不是零測集）。

則∀E∈σ(S)，可以定義集函數PX|A如下： PX|A(E)=PX(A∩E)/PX(A)。

易知PX|A也是Ω上的機率測度，此測度稱為X在A下的條件測度（條件機率分布）。

獨立性：設A，B∈σ(S)，稱A，B在機率測度P下為相互獨立的，若P(A∩E)=P(A)P(E)。

條件機率謬論[編輯] 條件機率的謬論是假設P（A|B）大致等於P（B|A）。

數學家JohnAllenPaulos在他的《數學盲》一書中指出醫生、律師以及其他受過很好教育的非統計學家經常會犯這樣的錯誤。

這種錯誤可以通過用實數而不是機率來描述數據的方法來避免。

P（A|B）與P（B|A）的關係如下所示： P ( B | A ) = P ( A | B ) P ( B ) P ( A ) . {\displaystyleP(B|A)=P(A|B){\frac{P(B)}{P(A)}}.} 。

下面是一個虛構但寫實的例子，P（A|B）與P（B|A）的差距可能令人驚訝，同時也相當明顯。

若想分辨某些個體是否有重大疾病，以便早期治療，我們可能會對一大群人進行檢定。

雖然其益處明顯可見，但同時，檢定行為有一個地方引起爭議，就是有檢出假陽性的結果的可能：若有個未得疾病的人，卻在初檢時被誤檢為得病，他可能會感到苦惱煩悶，一直持續到更詳細的檢測顯示他並未得病為止。

而且就算在告知他其實是健康的人後，也可能因此對他的人生有負面影響。

這個問題的重要性，最適合用條件機率的觀點來解釋。

假設人群中有1%的人罹患此疾病，而其他人是健康的。

我們隨機選出任一個體，並將患病以disease、健康以well表示： P ( disease ) = 1 % = 0.01 {\displaystyleP({\text{disease}})=1\%=0.01} ， P ( well ) = 99 % = 0.99 {\displaystyleP({\text{well}})=99\%=0.99} 。

假設檢定動作實施在未患病的人身上時，有1%的機率其結果為假陽性（陽性以positive表示）。

意即： P ( positive | well ) = 1 % {\displaystyleP({\text{positive}}|{\text{well}})=1\%} ，而且 P ( negative | well ) = 99 % {\displaystyleP({\text{negative}}|{\text{well}})=99\%} 。

最後，假設檢定動作實施在患病的人身上時，有1%的機率其結果為假陰性（陰性以negative表示）。

意即： P ( negative | disease ) = 1 % {\displaystyleP({\text{negative}}|{\text{disease}})=1\%} 且 P ( positive | disease ) = 99 % {\displaystyleP({\text{positive}}|{\text{disease}})=99\%} 。

現在，由計算可知： P ( well ∩ negative ) = P ( well ) × P ( negative | well ) = 99 % × 99 % = 98.01 % {\displaystyleP({\text{well}}\cap{\text{negative}})=P({\text{well}})\timesP({\text{negative}}|{\text{well}})=99\%\times99\%=98.01\%} 是整群人中健康、且測定為陰性者的比率。

P ( disease ∩ positive ) = P ( disease ) × P ( positive | disease ) = 1 % × 99 % = 0.99 % {\displaystyleP({\text{disease}}\cap{\text{positive}})=P({\text{disease}})\timesP({\text{positive}}|{\text{disease}})=1\%\times99\%=0.99\%} 是整群人中得病、且測定為陽性者的比率。

P ( well ∩ positive ) = P ( well ) × P ( positive | well ) = 99 % × 1 % = 0.99 % {\displaystyleP({\text{well}}\cap{\text{positive}})=P({\text{well}})\timesP({\text{positive}}|{\text{well}})=99\%\times1\%=0.99\%} 是整群人中被測定為假陽性者的比率。

P ( disease ∩ negative ) = P ( disease ) × P ( negative | disease ) = 1 % × 1 % = 0.01 % {\displaystyleP({\text{disease}}\cap{\text{negative}})=P({\text{disease}})\timesP({\text{negative}}|{\text{disease}})=1\%\times1\%=0.01\%} 是整群人中被測定為假陰性者的比率。

進一步得出： P ( positive ) = P ( well ∩ positive ) + P ( disease ∩ positive ) = 0.99 % + 0.99 % = 1.98 % {\displaystyleP({\text{positive}})=P({\text{well}}\cap{\text{positive}})+P({\text{disease}}\cap{\text{positive}})=0.99\%+0.99\%=1.98\%} 是整群人中被測出為陽性者的比率。

P ( disease | positive ) = P ( disease ∩ positive ) P ( positive ) = 0.99 % 1.98 % = 50 % {\displaystyleP({\text{disease}}|{\text{positive}})={\frac{P({\text{disease}}\cap{\text{positive}})}{P({\text{positive}})}}={\frac{0.99\%}{1.98\%}}=50\%} 是某人被測出為陽性時，實際上真的得了病的機率。

這個例子裡面，我們很輕易可以看出P(positive|disease)=99%與P(disease|positive)=50%的差距：前者是你得了病，而被檢出為陽性的條件機率；後者是你被檢出為陽性，而你實際上真得了病的條件機率。

由我們在本例中所選的數字，最終結果可能令人難以接受：被測定為陽性者，其中的半數實際上是假陽性。

參見[編輯] 貝氏定理 最大概似估計 事前機率 機率論 蒙提霍爾問題 事後機率 條件期望 閱論編機率分布列表（英語：Listofprobabilitydistributions）有限支集離散單變數 本福德 伯努利 β-二項式 二項 分類（英語：Categoricaldistribution） 超幾何 卜瓦松二項（英語：Poissonbinomialdistribution） 拉德馬赫（英語：Rademacherdistribution） 離散均勻 齊夫 齊夫-曼德爾布羅特（英語：Zipf–Mandelbrotlaw） 無限支集離散單變數 β-負二項（英語：Betanegativebinomialdistribution） 鮑萊耳（英語：Boreldistribution） 康威-麥克斯韋-卜瓦松（英語：Conway–Maxwell–Poissondistribution） 離散相型（英語：Discretephase-typedistribution） 德拉波特（英語：Delaportedistribution） 擴展負二項 高斯-庫茲明 幾何 對數 負二項 拋物線碎形 卜瓦松 Skellam 尤爾-西蒙 ζ 緊支集連續單變數 反正弦 ARGUS 巴爾丁-尼科爾斯 貝茨 Β Β矩形 歐文–賀爾 庫馬拉斯瓦米 分對數常態 非中心β 升餘弦 倒數 三角形 U-二次型 連續均勻 維格納半圓 半無限區間支集連續單變數 貝尼尼 第一類本克坦德 第二類本克坦德 Β' 伯爾 χ² χ Dagum 戴維斯 指數-對數 愛爾朗 指數 F 摺疊常態 弗洛里-舒爾茨（英語：Flory–Schulzdistribution） 弗雷謝 Γ Γ/岡珀茨 廣義逆高斯 岡珀茨 半邏輯 半常態 霍特林T-方 超愛爾朗 超指數 次指數 逆χ² 縮放逆χ² 逆高斯 逆Γ 科摩哥洛夫 列維 對數柯西 對數拉普拉斯 對數邏輯 對數常態 矩陣指數 麥克斯韋-玻耳茲曼 麥克斯韋-於特納 米塔格-萊弗勒 中上 非中心χ² 柏拉圖 相型 保利-韋伯 瑞利 相對布萊特-維格納分布 萊斯 移位岡珀茨 截斷常態 第二類岡貝爾 韋伯 離散韋伯 威爾克斯λ 無限區間支集連續單變數 柯西 指數冪 費雪z 高斯q 廣義常態 廣義雙曲 幾何穩定 岡貝爾 赫魯茲馬克 雙曲正割 詹森SU 朗道 拉普拉斯 非對稱拉普拉斯 邏輯 非中心t 常態（高斯） 常態逆高斯 偏斜常態 斜線 穩定 學生t 第一類岡貝爾 特雷西-威登 變異數-γ 福格特 可變類型支集連續單變數 廣義極值 廣義柏拉圖 圖基λ Q-高斯 Q-指數 Q-韋伯 移位對數邏輯 混合連續離散單變數 調整高斯 多元（聯合） 離散 尤恩斯 多項 狄利克雷多項 負多項 連續 狄利克雷 廣義狄利克雷 多元常態 多元穩定 多元t 常態縮放逆γ 常態γ 矩陣 逆矩陣γ 逆威沙特 矩陣常態 矩陣t 矩陣γ 常態逆威沙特 常態威沙特 威沙特 定向（英語：Directionalstatistics） 一元（圓形） 圓形均勻 一元馮·米塞斯 環繞常態 環繞柯西 環繞指數 環繞非對稱拉普拉斯 環繞列維 二元（球形） 肯特 二元（環形） 二元馮·米澤斯 多元 馮·米澤斯-費雪 賓漢姆 退化和奇異（英語：Singulardistribution） 退化 狄拉克δ 奇異 康托爾 族 圓形 複合卜瓦松 橢圓 指數 自然指數 位置尺度 最大熵 混合 皮爾森 特威迪 環繞 分類 維基共享 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=条件概率&oldid=71410518」 分類：​概率論謬誤統計學比率隱藏分類：​自2021年3月缺少來源的條目含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةБългарскиCatalàЧӑвашлаCymraegDeutschEnglishEspañolEuskaraفارسیSuomiFrançaisעבריתMagyarÍslenskaItaliano日本語한국어NederlandsNorskbokmålPolskiPortuguêsРусскийSimpleEnglishSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaไทยTürkçeУкраїнськаاردوTiếngViệt粵語 編輯連結