命題邏輯 - 中文百科知識

命題邏輯是現代邏輯較簡單、較基本的組成部分，它不考慮把命題分析成個體詞、謂詞和量詞等非命題成分的組合，只研究由命題和命題聯結詞構成的複合命題、特別是研究命題 ... 命題邏輯 命題邏輯是現代邏輯較簡單、較基本的組成部分，它不考慮把命題分析成個體詞、謂詞和量詞等非命題成分的組合，只研究由命題和命題聯結詞構成的複合命題、特別是研究命題聯結詞的邏輯性質和推理規律。

命題邏輯分為經典命題邏輯和非經典命題邏輯，後者如構造邏輯、模態邏輯等邏輯系統中的命題邏輯部分。

歷史上最早研究命題邏輯的是古希臘斯多阿學派的哲學家。

現代對命題邏輯的研究始於19世紀中葉的G.布爾。

G.弗雷格則於1879年建立了第一個經典命題邏輯的演算系統。

語法和語義　研究命題邏輯需要使用公式表示複合命題的形式,並反映複合命題的邏輯特徵,組成這種公式的一組符號和規定怎樣由符號構成公式的一組規則，合在一起便構成一個人工符號語言。

當把符號和公式看作是沒有意義的具體對象，只研究公式之間的關係時，這種研究稱為語法的；當對符號和公式予以解釋，例如把一部分符號解釋為命題聯結詞，把某些符號解釋成取真假二值為值的變元，並在這種解釋下研究公式的意義時，便稱這種研究為語義的。

命題邏輯在描述和研究符號語言、即對象語言時,還要使用另一種語言,即元語言。

元語言通常由某種自然語言並加上若干專門符號構成。

關於整個命題邏輯系統的性質和系統特徵的研究，稱為元邏輯的研究。

由元邏輯研究得到的關於整個邏輯系統的定理稱為元定理。

命題形式　用特定的語詞把命題連線起來可以構成複合命題；從中起連線作用的語詞稱為命題聯結詞；構成複合命題的命題稱為支命題，支命題本身也可以是複合命題。

命題邏輯研究複合命題的邏輯形式、推理形式和公理系統。

傳統邏輯關於假言推理、選言推理和二難推理等的理論，都屬於命題邏輯的範圍。

複合命題的形式可以公式明晰地表示。

在經典命題邏輯里，這種公式通常由以下3種符號組成：①表示任意命題的命題變元，它們是p,q,r,p1,q1,...；②5個基本的命題聯結詞,即塡、∧、∨、→、凮；③用來顯示公式的結構層次的括弧(,)。

5個基本的命題聯結詞依次稱為否定詞、合取詞、析取詞、蘊涵詞和等值詞；在漢語中，它們通常分別用語詞"並非"、"並且"、"或者（可兼的）"、"如果...則"以及"若且唯若"表達，在這5個聯結詞中,否定詞屬一元聯結詞，其餘4個都是連線兩個命題以構成複合命題，稱為二元聯結詞。

複合命題的形式都可以用這3類符號構成的公式表示。

如塡p表示否定命題的形式，p∧q、p∨q、p→q、p凮q，分別依次表示合取、析取、蘊涵和等值命題的形式。

它們是和5個基本的聯結詞相應的5個基本的複合命題形式。

命題聯結詞的解釋和真值函項　經典命題邏輯把命題看成或者真的或者假的，認為複合命題的真假可唯一地由其支命題的真假決定。

命題的真和假叫做命題的真值。

命題變元是取真值（真或假）為值的變元，也就是以真值組成的集合為變域的變元。

聯結詞是施於命題以形成命題的運算元，特別是從命題的真值得出命題真值的運算元。

命題形式是一種真值函項，即以真值集為變元的定義域，並以真值集為值域的函項。

這種真值函項可以用真值表定義。

5個基本命題形式的真值表為:這個真值表規定了其中聯結詞的意義。

其中的1代表真，0代表假。

從表中可以看出這5個基本命題形式的值怎樣由其中變元的值決定。

例如，最左邊的表表示，塡p的值由p的值決定，當p的值為1時，塡p的值為0；當p的值為0時，塡p的值為1。

這也就是對塡的解釋。

命題邏輯聯結詞可以相互定義,例如,∨可用塡和→定義，即把p∨q定義為塡p→q。

事實上，所有聯結詞都可以用某些基本聯結詞定義出來。

例如，所有聯結詞都可以歸結到塡和→，或者塡和∧，或者塡和∨。

常真式　常真式或稱重言式是經典命題邏輯的一個公式，稱為常真的。

如果其中的命題變元不論賦予真值1或0，該公式的值常為1；如果對命題變元的每一組真值賦值一公式的值常為0，此公式便稱為常假式或矛盾式。

命題邏輯的公式可以分為常真的、常假的、以及對命題變元的某些組賦值取值1而對其它賦值取值0的公式3種類型。

常真式表達著命題邏輯的定律（規律）,具有特殊的意義。

例如p∨塡p、p∧(p→q)→q，都是常真式。

前者表示排中律，後者是表示肯定前件假言推理的推理形式的公式。

一個公式是不是常真的，可以用真值表方法確定，即由依據5個基本命題形式的真值表所逐步構造出的真值表確定。

下表可以說明怎樣用真值表確定一個公式的真值，確定一個公式是否常真。

表中最後一橫行圈內的數碼錶示逐步求值的次序，縱列⑦是要確定其是否常真的公式的真值,因其全部是1,從而表明該公式常真,是一常真式。

我們用元語言符號Ａ、Ｂ等表示任一公式,用喺Ａ表示Ａ是一常真式。

還用Ａ喺Ｂ表示對於Ａ和Ｂ中出現的命題變元的每一組賦值,當Ａ的值為1時,Ｂ的值必定也是1。

喺與公理系統所用到的儱不同，前者是語義符號，而後者是語法方面的符號，它表示在系統中可以證明。

按照常真式的定義，顯然有：一公式A常真，若且唯若它的否定塡Ａ常假。

命題邏輯公理系統　經典命題邏輯的常真式為數無窮，它們在一定意義上都表達邏輯定律。

為了系統地研究和掌握這些邏輯定律，需要對它們作整體的考慮，將全部常真式都包括在一個系統之中。

為此，可用公理方法將命題邏輯的全部定律系統化，從而得到一種形式系統，即稱為命題演算的公理系統。

在一個形式系統中，其語法部分，包括作為出發點的初始符號、形成規則、公理和變形規則。

以下陳述的是經20世紀波蘭邏輯學家J.盧卡西維茨簡化過的弗雷格的系統。

該系統的初始符號為：①邏輯常項，即命題聯結詞，用塡、→表示；②命題變元，以p、q、r、p1、p2,...表示;③括弧,即(,)。

該系統的形成規則，在於規定怎樣組合起來的有窮長的符號序列是系統中的合式公式。

這個系統的形成規則有4條：①單獨一個命題變元ｘ是一合式公式；②如果符號序列Ｘ是合式公式，則塡Ｘ是合式公式；③如果符號序列Ｘ,Ｙ是合式公式，則(Ｘ→Ｙ)是合式公式。

④只有適合以上3條的是合式公式。

這個系統的公理共有3條，即：①　儱p→(q→p)；②　儱(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))；③　儱(塡p→塡q)→(q→p)。

變形規則也稱推理規則。

變形規則有兩條：①代入規則是將一公式A中出現的命題變元π處處代以公式B，得到公式,稱為代入,以"如果儱Ａ,則儱"表示。

②分離規則為"如果儱Ａ→Ｂ並且儱Ａ，則儱Ｂ"。

命題聯結詞∧、∨和凮可以通過定義引入，把　(Ａ∧Ｂ)定義為塡(Ａ→塡Ｂ)；　(Ａ∨Ｂ)定義為(塡Ａ→Ｂ)；　(Ａ凮Ｂ)定義為(Ａ→Ｂ)∧(Ｂ→Ａ)。

在上述規則、定義中出現的符號ｘ,X,Y,Ａ,Ｂ等，是元語言符號。

ｘ表示任意命題變元；X,Y表示任意的符號序列；Ａ,Ｂ表示任一合式公式；儱是語法符號,表示緊跟在儱後面的公式是系統中的定理。

公式的有窮序列Ａ1,Ａ2,...,Ａn稱為是一個證明，如果其中每一Ａi(i=1,2,...,n)或者是公理，或者由在先的一個公式套用規則R1而得，或者由在先的兩個公式套用規則R2而得。

一個證明Ａ1,Ａ1,...,Ａn也說是它的最後一個公式Ａn的證明。

一個公式Ｂ是系統中的定理,如果它有一個證明，即存在一個證明Ａ1,Ａ1,...,Ａn，而Ａn即是B。

根據定理的定義，每一公理都是定理。

一個公式是定理，若且唯若它是可證明的。

定理和可證明性都是語法概念。

這個系統的語義，即對符號和公式的解釋，就是前面對於命題聯結詞和公式所作的解釋，這個解釋稱為標準語義。

此外還可作其他非標準的解釋。

在標準解釋下，所有公理都是常真式，並且變形規則保持常真性，即把變形規則套用於常真公式而得到的公式也是常真式。

由此表明，所有定理都是常真式，也就是"如果儱Ａ，則喺Ａ"。

這是關於這個演算系統的一個重要的元定理,稱為可靠性定理。

它的另一個重要的元定理是完全性定理，即凡常真式都是定理,可表示為"如果儱Ａ,則儱Ａ"。

該系統還有一個重要的性質，即：在這個系統中不可能同時證明一個公式Ａ及其否定塡Ａ。

這個性質稱為一致性。

自然推理系統　命題邏輯也可以用另一種形式實現系統化，即構造自然推理系統。

自然推理系統是一種邏輯演算。

它與公理系統相比，是在自然推理系統中，並不給出公理而只給出一組適當的初始推演規則。

這些推演規則規定從什麼前提能推出什麼結論，或者規定在某個推理關係成立的條件下，另一個推理關係也成立。

一個與簡化過的弗雷格公理系統相應的自然推理系統，它的初始符號和形成規則和前者相同。

這個系統共有5條初始推演規則：①　Ａ1,Ａ1,...,Ａn儱Ａi（i=1,2,...,n）,肯定前提規則；②　г儱Δ儱Ａ（Δ不空），演繹推理傳遞規則；③　如果г,塡Ａ儱Ｂ,並且г,塡Ａ儱塡Ｂ，則г儱Ａ,否定詞消去規則，或稱反證律；④A→Ｂ,Ａ儱Ｂ，蘊涵詞消去規則；⑤　如果г,Ａ儱Ｂ，則г儱Ａ→Ｂ，蘊涵詞引入規則。

在這5條規則中，Ａ、Ｂ表示任一公式，г、Δ表示公式序列，儱表示前提和結論之間的推理關係。

規則②表示從г能推出Δ，而從Δ能推出A，則從г能推出A，表明推理關係是傳遞的。

在這一自然推理系統中，聯結詞∧、∨和凮也可以通過定義引入，並且從初始推演規則導出關於∧、∨和凮的推演規則。

該系統對每一常真公式Ａ，都有儱Ａ，也就是說,凡常真式,都能不需前提而用推演規則推出；並且,如果儱Ａ成立,則Ａ為常真式。

這個自然推理系統與簡化過的弗雷格的系統有如下關係，即一個公式A是公理系統中定理，在自然推理系統中就有儱Ａ；反之,如果儱Ａ成立，則Ａ是公理系統中的定理。

同時，這個自然推理系統也具有一致性、可靠性和完全性這幾個重要的元邏輯性質。

命題邏輯是否是語法完全的形式系統的完全性問題是邏輯系統重要的元理論問題之一。

一般而言,有如下三種意義的完全性:1、一個形式系統如果對於其中的任一公式α,或者α在系統中可證,或者﹁α在系統中可證,則稱該系統是古典完全的;2、如果把系統中的任一不可證邏輯小品詞一般語法著作都是把“不”看作否定副詞,然後根據語法分布來研究它修飾否定動詞、形容詞、助動詞、副詞的情況。

這些語法著作都有一個共同點:就是首先把“不”定位為一個否定副詞、否定載體形象,然後,就“不”的否定用法列舉分類闡述。

這樣,長期以來,就在人們的配圖相關連線相關詞條 歸結原理 命題邏輯歸結原理在命題邏輯歸結原理的推理圖式中，P、Q和R稱為原子公式...子句的形式，這不論對命題邏輯還是對一階謂詞邏輯都不例外。

在命題邏輯中...形式邏輯中充分條件的假言聯鎖推理的符號化，只能直接演變為命題邏輯的歸結原理... 命題邏輯   基本思想   一階謂詞邏輯   套用方法   實施步驟  謂詞邏輯 性質和規律。

謂詞邏輯把命題邏輯作為子系統，但為了研究方便，同時也由於它具有某些重要的特殊性質，命題邏輯通常又作為一個獨立的系統先研究，而在謂詞...經典的謂詞邏輯和非經典的謂詞邏輯，後者包括作為子系統的非經典的命題邏輯... 概述   注意事項   公式與解釋   命題形式   例子 《哲學邏輯研究》 ，開拓領域。

目錄第1章一階邏輯第1節命題邏輯的證明方法...命題邏輯第3節相干命題邏輯的關係語義第7章直覺主義邏輯第1節直覺主義命題邏輯第2節直覺主義謂詞邏輯第3節克里普克語義第4節... 內容簡介   編輯推薦   目錄 哲學邏輯研究 基本理論研究。

目錄前言第1章一階邏輯第1節命題邏輯的證明方法第2節不用...蘊涵部分第2節相干命題邏輯第3節相干命題邏輯的關係語義第7章直覺主義邏輯第1節直覺主義命題邏輯第2節直覺主義謂詞邏輯第3節克里普克語義第4節... 版權資訊   內容簡介   目錄 模糊邏輯與神經網路：理論研究與探索 與心得體會。

全書共分五篇，內容包括：智慧型模擬中的模糊邏輯與神經網路；模糊命題邏輯...與高階模糊集第二章模糊命題邏輯2.1模糊命題及其真值表示方法2.1.1...模糊命題邏輯及其合式公式2.2.1幾種典型三值邏輯簡介2.2.2狹義模糊... 內容介紹   作者介紹   作品目錄 判定問題 確定是否具有某一特定的性質。

例如，命題邏輯的任一公式是不是常真這個問題...。

邏輯系統的判定問題　命題邏輯的任一公式是否常真以及是否可證都是能行...這個問題迄今未能作出肯定的或否定的回答。

70年代以來，通過研究命題邏輯... 判定問題   正文   配圖   相關連線 《離散數學教程》 。

圖書目錄第1章數理邏輯1.1命題邏輯的基本概念...1.1.9範式1.2命題邏輯中的推理規則和證明方法...1.3.7其他命題邏輯公理系統1.4一階謂詞邏輯的基本概念... 自然演繹邏輯導論 即關於命題邏輯的元理論，而沒有包括謂詞邏輯和模態邏輯的元理論。

關於命題邏輯元理論的討論並非緊跟命題邏輯的章節之後，而是放在謂詞邏輯和模態邏輯...把邏輯學教學的可接受性和嚴格性兼顧起來。

本書關於命題邏輯元理論的討論在很大... 圖書信息   內容簡介   圖書目錄 面向計算機科學的數理邏輯系統建模與推理 的數理邏輯進行了綜合介紹，涵蓋命題邏輯、謂詞邏輯、模態邏輯與代理、二叉判定圖...1章命題邏輯1．1判斷語句1．2自然演繹1．2．1自然演繹規則...側記：反證法1．3作為形式語言的命題邏輯1．4命題邏輯的語義... 內容簡介   作者簡介   目錄 相關搜尋集合論公理系統埃舍爾效應多值邏輯公理化和形式化多複變函數論一階邏輯千分尺西方邏輯史標準差三角函式圓周率日函式丘成桐五角星命題邏輯圓周率高階邏輯數理邏輯史集合論陳景潤謂詞邏輯熱門詞條AMD顯示卡certiportdaineseetsgone可頌麵包名門紳士之珍愛妙方土地奧特曼格鬥進化3感恩的心我家那小子敦南科技暑假遊學無人熟識皮衣紀曉君避風港閣樓雜誌阿峴洞夫人陳歐靠得住高毅黃鬱善黑框眼鏡51區affiliationhorse介形蟲休閒褲參天吉川愛美名將傳說天秤座微分方程最強升級系統牛粒紐約紐約讓·皮亞傑避孕環雨水一盒電暖袋青木時代馬裡奧驗孕試紙72法則FREEZEIggyAzaleaOriginalFake立體口罩網球王子羅馬鬥獸場風水有關係命題邏輯@百科知識中文網