邏輯學中，前提為假而命題為真的推論如何解釋？ - GetIt01

在數理邏輯中，的真值表，只有真假的時候，整個命題的值才為假。

可是為什麼為假時，無論怎樣，整個命題都是正確的呢？請分析說明，或者舉些例子吧！補充說明... 標籤：數學邏輯邏輯學 邏輯學中，前提為假而命題為真的推論如何解釋？ 11-17 在數理邏輯中，的真值表，只有真假的時候，整個命題的值才為假。

可是為什麼為假時，無論怎樣，整個命題都是正確的呢？請分析說明，或者舉些例子吧！ 補充說明：「僅當前件為真而後件為假時，直陳條件句『如果那麼才是錯的」的這條邏輯理論是誰最先發現的（或規定的）？為什麼要規定這樣一個明顯可以導致「實質蘊涵悖論」的邏輯理論？(實質蘊涵悖論：任何帶有錯誤前件的直陳條件句都是對的。

比如「假如我是外星人，那麼蘇格拉底就是永生的」將是對的) 經典邏輯中的實質蘊涵的演算規則由以下兩點支持： 經典邏輯中的實質蘊含運算元是真值函項邏輯連接詞 在特定的情況下，前件假的時候條件句理應為真。

（事實上，我們也能找到對應的情況，使得前件真後件假的情況下複合條件句為假，前件真後件真的情況下複合條件句為真，進而確定了蘊含運算元在所有可能情況下的取值） 第二點比較好理解：舉例：「如果這個圖形是正方形，那麼它有四條邊」顯然是正確的。

對於一個三角形來說，前件為假，後件為假。

對於一個普通的平行四邊形來說，前件假，後件真。

因此我們找到了一個特例：這個特例中，條件句在一切前件為假的情況下都是真的。

（事實上這個特例對於前後件同為真的情況下也成立。

而另一方面，我們可以考慮這個圖形的確是正方形的情況，進而鎖定了蘊含運算元的運算規則：僅當前件真，後件假的時候為假。

）第一點有點難以理解，這要從經典邏輯的性質說起。

經典邏輯是真值函項邏輯，就是說，邏輯連接詞（一元、二元邏輯謂詞）都是僅僅和（語句的）真值相關的函數。

對於真值函項邏輯連接詞，唯一能夠決定複合語句真值的，是子語句的真值。

因此，如果我們認定命題邏輯中的實質蘊含是一個真值函項邏輯連接詞，那麼這個連接詞就僅僅由子語句的真值而非意義決定。

（即便是非經典邏輯，只要我們接受一種外延式的語義值的說法，即，允許共指稱（等值）項替換保持整體真值（或者其它語義值）不變，那麼這個規則就依然需要被遵守。

）至於為什麼經典邏輯要採用真值函項邏輯，這是因為真值函項邏輯方便處理，不需要考慮語句內部結構。

另一方面也是因為對於大部分情況，真值函項邏輯是足夠使用的。

簡單的邏輯推理以及數學證明中大多不需要考慮真值函項邏輯中不相干的情況，因為我們所證明的東西必然是相干的東西。

另一方面，顯然日常語言中的「如果…那麼…」不完全是一個真值函項連接詞，這一點由蘊含悖論即可以得出。

所以蘊含悖論從這個意義上來說不構成悖論，而僅僅是告訴了我們「自然語言中的『如果…那麼…』不是一個真值函項連接詞」而已，其實這樣的詞在日常語言中有很多。

比如說「但是」：「我愛她，但是她不愛我」是可以接受的語句（雖然不一定為真，也不一定恰當），而「我愛她，但是我愛她」則是根本不可以接受的（沒人能理解你這個「但是」轉折在哪裡了）。

事實上，任何情況下我們都可以用語句連接詞「並且」來替換「但是」，並且保持語句的真，反之則值得商榷（如果恰當性算是語義值的話則不行，但是「不恰當」和「為假」並不是完全相同的概念）。

這體現出「但是」和「且」的關係是類似而不同的，它們或許具有相同的真值條件，但是有著不通的隱含推論（當然不是純粹真值邏輯的推論，而是語用上的實用推論）。

所以，試圖通過真值函項的方式直接還原所有自然語言連接詞本來就是一個非常勉強的事情，但是，我們不能因此說這種還原是沒有價值的，因為它似乎的確給出了一個必要條件，拋開反事實條件句不談，日常語言中的一般條件句成立的必要條件是：將對應的蘊含運算元替換成實質蘊含後，新的條件句依然為真。

（反事實條件句是指那種前件明顯和事實相反的條件句，英語中用虛擬語氣寫的基本都是反事實條件句，比如說「如果我是你，那麼我就不會這樣做」，前件顯然（在任何情況下）都不是真的，但是這個條件句根據語境並不必然為真。

）再補充一點，Quine批評過將「」理解為「推出」，他認為正確的翻譯應該是「如果…那麼…」。

考慮這兩句話： A推出B。

如果A那麼B。

第一句中，A和B都是作為句子的名稱出現。

而第二句中，A和B都是句子本身。

有什麼區別呢？我們可以說「戴德金切割定理推出確界存在定理」，但是不能說「如果戴德金切割定理，那麼確界存在定理」。

「推出」是一個二元謂詞，而「如果…那麼…」是一個二元邏輯連接詞。

「戴德金切割定理」可以作為它所指代的那個數學命題p的名稱，但是數學命題p本身，如果不嚴格地使用，也可以作為它自己的名稱。

當然，更準確的說是「p」能作為p的名稱。

因此我們應該說： 「今天下雨了」推出「地會濕」 而「今天下雨了推出地會濕」則是不嚴格的表述。

相對應地，「如果今天下雨，那麼地會濕」，和「因為今天下雨，所以地會濕」則是正確的表述。

有邏輯學家主張「如果…那麼…」本身的真值條件非常直觀，不需要進一步辯護，只是人們經常將其和「因為…所以…」以及「推出」混淆罷了。

還有順便吐槽一下，題主大概沒有能夠弄明白推出和蘊含運算元之間的關係，「」並不是推出，而是實質蘊含，推出（邏輯後承）的符號是「」。

以下兩個公式雖然是類似的，但是有所不同：第一個公式表示，假蘊含任意命題是一個系統內可證明的公式（可以由空集推出），而第二個表示矛盾能夠通過系統推出一切（無論真假）。

雖然根據演繹定理，兩個式子在命題邏輯中是完全同義的。

對應的，有：前者表示，「任何命題蘊含真」這個命題是系統內可證明的定理，而後者是由於表示真在系統內是可證的，進而，無論添加任何前提之後，真都是系統內可證的。

事實上，通過對於第二組表達式的討論，我們可以明白困難在哪裡：當我們觀測到這朵花是紅色的時候，「這朵花是紅色的」這個命題就不是一個真值開放的語句，而是一個真值封閉的語句，換而言之，這個語句和單純的真已經沒有區別了，因為真值函項邏輯只在乎命題的真值，而不在意它的意義，因為它研究的是語句之間的結構，而不是語句內結構。

進而，這個後天綜合命題就成為了一個真理被添加入了系統中，成為了一個系統內的永真式。

而任何永真式在系統內都是一個定理。

換而言之，將一個自然語言中的推理命題邏輯化的過程，尤其是將一個確定真值的語句命題化的過程，實際上就是將它除了真值之外的一切信息抹去的過程。

另外一個需要額外說明的事情是，「真」概念的樸素理解對於理解規定性的「如果……那麼……」真值表是有害的。

在樸素的理解下，我們說一個簡單命題，比如說「雪是白色的」，是真的，是因為我們可以找到對應的事實與之相符。

合取命題還好，僅僅是要求兩個事實同時出現，但是在析取的情況下問題就已經沒有那麼簡單了：當我們說「今天會下雨或者今天不會下雨的時候」，這個命題為真當然是因為它和事實相符，但是即便我說的不是今天而是一萬年之後，那個未來事實尚未出現，這個命題在經典邏輯中依然是真的（一些非經典邏輯則會採取不同的處理方式）。

換而言之，這個複合命題的真並不是「符合」出來的，而是約定出來的。

同樣地，我們在解釋蘊涵連接詞的真值表的時候僅僅也是一種約定的方式。

我們當然在別的不同的邏輯裡面有別的不同的約定方式，那些約定方式或許可以避免這種讓你覺得不自然的地方。

p→q的真值表如下表所示pqp→q 111 100 01? 00? 其中前二行沒有什麼爭議，關於後二行可以攷慮下面的命題。

對所有的實數x，若x&>2,則x2&>4。

這個命題若用符號寫出來是?x(x&>2→x2&>4) （＊）論域是所有實數，?x表示對每一個實數，必須對每一個實數x，都有x&>2→x2&>4，那麼?x(x&>2→x2&>4)才是真命題。

這個命題（*）在數學我們認為是真命題，但若我們定義p→q的真值表如下表所示pqp→q 111 100 010 00? 這時可以取x=-3，那x&>2是假命題，x2&>4是真命題，x&>2→x2&>4按上表是假命題，?x(x&>2→x2&>4)也成了假命題（因為存在一個值使得x&>2→x2&>4不成立）。

類似可以定義pqp→q 111 100 01? 000 這時可以取x=-1，那x&>2是假命題，x2&>4是假命題，x&>2→x2&>4是按上表是假命題，?x(x&>2→x2&>4)也成了假命題。

也就是說將第三行或第四行賦0，會使公認的真命題（＊）成假命題。

這個時候只剩下一種選擇pqp→q 111 100 011 001 也就是我們所熟知的蘊含的真值表。

當然這種真值表會有一個問題，就是會導致所謂的蘊含怪論。

例如，若1＋1＝3，則太陽從西方昇起。

這樣看起有些怪的命題也成為真命題。

但若不這麼賦值，將會使（＊）成為假命題，這一點我們更無法接受。

從自然演繹的視角看，公理是析取消除的極端情形。

因此相繼式可以用證明。

在LJ推理系統中，右弱化 是一條結構法則，故 說點直白的，畢竟樓主的困惑主要是語義上的。

在技術層面，我說的可能不對，但至少是有助於理解的。

樓主也不要困惑太多，教邏輯課的時候如何讓人弄明白這個問題，是很困難的。

很多邏輯大師都會困惑到底如何把這個講明白。

我們用：「如果地球上只有一個人，那麼北京是中國的首都」作為例子。

首先，樓主不要太在意「推出」這個詞。

「如果A，那麼B」，跟我們平常說的從一個東西里推出或者推論出另一個東西很不一樣。

按照我們日常的理解，從「地球上只有一個人」顯然推不出「北京是中國的首都」。

這倆事兒完全不挨著，何況前者還是錯的。

然後我們來看看這句話說了什麼。

這句話說的是，如果某個事情發生，那麼另一個事情發生。

如果天下雨，那麼地就濕。

如果我吃了午飯，那麼我就不餓。

假如一個人告訴你，「如果你給我800塊錢，那麼你明天就會找到女朋友」。

在什麼情況下這句話是錯的呢？你給了他800塊錢，但過了一周還沒找到女朋友，你就要去退錢了。

他騙你了啊。

但假如你從開始就不信，然後沒給他錢。

然後呢？然後就沒有然後了。

你連錢都沒給他，當然沒法說他是騙子。

所以，「如果A，那麼B」這樣的句子，你可以理解成，如果A發生，那麼B就發生。

它壓根沒說A要是不發生會怎麼樣。

所以，只有在A確實發生了，但B沒發生的情況下，這句話才是假的。

問題應該先問是不是。

比如極小邏輯就沒有這個事情。

極小邏輯擴張到直覺主義邏輯才有這個事情。

在直覺主義自然推演中這是一條規則： 直覺主義希爾伯特系統中這是一條公理：如果要問為什麼這是對的，這和問為什麼ModusPonens是對的，或者為什麼某條集合論公理是對的沒有本質區別。

語義上你不能解釋清楚MP規則為什麼是」正確「的，或者選擇公理為什麼是」正確「的，這裡亦然。

此外，無論有沒有這個規則，這裡壓根就沒有什麼悖論。

很簡單…套用我們老師的話了。

給出一個假設：只要你贏了，我就給你100塊錢。

此命題在什麼時候為假，只有在你贏了，我沒給錢的時候為假。

而，當你贏了，我又給你錢的時候為真，或者當你輸了的時候，無論給不給你錢都為真。

因為給的假設前提只規定了你贏的情況，而沒有規定輸的情況，所以如果你輸的話，我給不給你錢，假設都為真。

當年我們學離散的時候流行一句話如果你是人，那麼你不是人，這是一個假命題如果你不是人，那麼你是人，這是一個真命題 來補充一句上學期數理邏輯老師說的話好了w我覺得這樣更容易解釋清楚（至少我是這麼接受的「日常生活中使用的ifAthenB並不是數理邏輯中的A→B而是AB」。

錢學森為什麼敢用黨性保證人體科學（特異功能）的真實性？這就是一個典型的例子 《普林斯頓數學指南》： 實質蘊涵("A-&>B")的真值規定用來解釋假言推理的兩個有效形式是很好的，但是它只是對各學科定理的一個形式抽象，邏輯學研究的應該是以此為前提怎麼推出合乎邏輯的結論：實際上也就是假言推理的兩個有效形式，肯定前件式就是通常的證明，而否定後件式其實就是反證法；換個角度講，否定後件式其實就是逆否等價式的肯定前件式。

因此，實質蘊涵("A-&>B")的具體證明只能交由具體學科處理，邏輯學無能為力；換句話說，在邏輯學中，實質蘊涵("A-&>B")不能再作為後件了，也即"-&>"只能出現一次。

比如a-&>(b-&>a),~a-&>(a-&>b)之類，完全多餘，不但沒有用處，還帶來一堆麻煩！總之，要保留實質蘊涵的約定，並規避所謂蘊涵怪論，就必須限制"-&>"的連鎖出現！ 用具體的例子比較好理解一點。

比如說，若x&>3,則x+1&>4.你是否認為對所有實數x，上面的推理都是真的？當x=1呢？現有的規定雖然在語言上可能讓人難以適應，但是整體還是清晰的。

判斷p是否蘊含q只需看有沒有p真q假的情況，而完全不用擔心出來個r,s,t對問題的影響。

正好最近在上AI課，琢磨了一下這個問題，話糙理不糙，一張圖帶你看懂矛盾推出一切，另外，一直覺得imply說成蘊含有種奇奇怪怪的感覺，難道不應該是使p成立的model蘊含於使q成立的model嗎？Anyway，上圖~當使p成立的model的數量多於使q成立的model的數量時，總有使p為真使q為假的model存在，pimpliesq一定不成立。

在使p成立的model的數量小於等於使q成立的model數量時，有如下可能： 剛剛上邏輯學討論課看到組員在看這個回答，於是跑來圍觀一下。

數理邏輯中運用的是實質蘊涵，這種蘊涵只在外延上考慮前件與後件的關係，即只關注前後件的真假與整個條件命題的真假的關係。

舉個栗子，如果A，那麼B，你只需要單獨考慮A是真的么，B是真的么，就可以得出條件命題的真值。

A與B之間的關係純粹是偶然的。

作為對比，可以來考察一下聯結蘊涵，其定義為：一個條件命題，當它的後件的矛盾命題與它的前件不相容時就是真的。

你會發現在這種蘊涵的定義下，僅僅考慮A、B的真值是無法推出條件命題的真值的，你必須考慮的是二者之間的必然聯繫。

這裡其實就已經涉及到了模態邏輯，定義中的「不相容」可以理解為「不可能」。

所以關鍵在於你如何定義蘊涵關係。

實質蘊涵之所以成為主流，是因為它確實是最簡單、最經濟的一種定義方式。

如果是命題，是命題，表示下面幾種等價的說法 「若則」 「當成立時，也成立」 「蘊含」 「真只要真」 「真僅當真」 如果是真的， 當真時，「若則」是真的 當是假時，「若則」是假的 另一種方式來說，當真時，命題「若則」蘊含是真的。

但當是假時，命題「若則」關於的真假不提供任何信息；此命題是真的，但卻是空的(也就是說，除了前提是假的這一事實外，它不能傳遞任何新的信息)比如 設是整數，命題」若則"是真的，不管等於或不等於(儘管這個命題僅當是時才像是有用的)，這一命題並不斷言，也不斷言，只是斷言時，如果不等於，那麼命題依然是真，但不提供和的任何說法。

上述蘊含關係的一些特例是： 蘊含關係"若，則「是真的(真命題蘊含真命題) 蘊含關係"若，則「是真的(假命題蘊含假命題) 蘊含關係"若，則「是真的(假命題蘊含真命題) 後兩個蘊含關係式空的——由於它們的前提是假的，它們不提供任何新的信息總結一下就是如果是真的， 當真時，是真的 當是假時，是假的 如果是假的 是真的，但也是空的，不能用來判斷的真假。

因為將p→q定義為﹁p∨q，簡潔而優美，雖然並不完美，因為並不完全符合思維習慣，但仍然有非常多優良的性質。

不知你是否考慮過將p→q定義為其他的形式，比如你將它的真值表中某項進行修改，然後用寫真法或寫假法寫出它的等價形式，把每一個真值組合都寫出來，其實並不多只有16種而已，當然你可以只寫你覺得合理的幾種，然後對比發現原定義是所有形式裡面最簡單，性質最優良的。

這樣就能體會當初數學家選取這個定義的苦心了。

數學家希望對"如果p成立，那麼q必同時成立"唯一的否定方式為：至少存在一個這樣的情況："p成立，q沒有同時成立"。

即實質蘊含命題為假，當且僅當前件真且後件假。

也即任何實質蘊含命題，我們都先"善意地"假設/默認其為真，任何無法"駁倒"這個命題的例子都無法影響它是真的這個事實，只有舉出了"反例"，它才是假的。

為什麼數學家希望這樣？為什麼數學家有善意？因為在數學研究中常常面臨一些情況，這些情況下用這種判斷真假的方式非常有利。

比如數學上常常有類似的情況：阿勾去做客，不好好聊天，看地上磚頭，發現磚頭面積似乎可以證明這樣的規律：直角三角形斜邊平方等於另兩邊的平方和。

他很高興，回家又畫了好幾個類似的，發現都符合這樣的規律，於是阿勾得出一個結論(命題)：如果一個圖形是直角三角形，那麼其斜邊平方等於另兩邊的平方和。

1.這個小故事首先告訴了我們為什麼出現了一系列奇奇怪怪的實質蘊含怪論：實質蘊含能"精確處理"的範圍一開始就沒這麼大，本來就是適合處理必然有聯繫的，通過觀察後確實可能有強烈蘊含關係的東西，比如數學上通過一些規律得出的一些猜想，還有一些天下雨地濕的簡單情況推理。

不是說不能把更複雜的情況往裡套，而是說這樣處理出的結果往往不讓人滿意。

此外，數學家們善良地認為，沒人會閑的蛋疼來說一些類似"如果圖形是正方形，那麼它有三條邊"的故意找茬的話。

找茬的情況下確實出現奇怪的結果，但實際上研究中默認不會有人故意搞這些強烈違反觀察與已被證的玩意，這無益於研究，沒有意義。

但如果確實要來讓外星人和蘇格拉底找茬，好吧，別欺負經典邏輯，出門左轉找到現代邏輯會讓你服氣的。

2.我們今天都把勾股定理用得活靈活現，可從第一個發現勾股定理的人到你和我，千百年來沒人"窮盡"地驗證過"是不是每個直角三角形都適用這個定理"，當然或許永遠也不會有人有能力窮盡地驗證，那我們憑什麼說得這麼絕，把勾股定理套到每一個直角三角形中去呢？我們可以使用歸納法，然而歸納法不是什麼情況下都可以使用的。

另一個原因是因為勾股定理從來沒出過錯，每一個試圖新造一個直角三角形去驗證的人都拜倒在勾股定理的裙下，也就是說：從來沒有反例出現，也從來沒人舉出過反例，每個不服氣的人的嘗試都失敗了。

進而我們說：某些無法從正面"窮盡地"證明的理論可能真的不是真理，(類似於《諾獎得主尤金·維格納：數學在自然科學中不合理的有效性》中提到的：我們很自然的會莞爾於這位老同學思路的單純。

然而我必須承認，當聽到這個故事時，我心中油然生起異樣之感，因為故事中這位同學的反應，流露的不過是直白的常理。

但更讓我納悶的是，後來沒過多久有人找我討論一個疑惑【註：此人是當時就讀於普林斯頓的維納（F.Werner）】，亦即當我們測試理論時，只選用了很小範圍的數據。

他說：「如果我們建構理論時，根據的是現在忽略的現象，並且忽略一些現在關注的現象，我們怎麼知道會不會建構出與現在理論大相逕庭、但對現象卻有同等解釋效力的另一理論？」的確要承認，我們沒有明確的證據判定不會有這樣的理論。

)但我們不會由此拋棄這樣的理論，正相反，我們今天習以為常的，作為各個領域基石的，在生活與學術中發揮重大作用的很多理論(甚至可以說是全部)都是這樣沒被"窮盡地證明"的理論，只要他不與已知或已被承認事物/概念產生矛盾，且根本舉不出反例，至少在對我們有意義的範疇內，確實和真理一樣works。

這是一種無奈，我們人類的生化物理結構和思維構成的極限就到這為止了，剩下的就抱著實用主義的態度去處理： 不論他們到底是不是真理，但他們確實和真理髮揮著一樣的作用，符合真理一切有可能可以被我們認知的表徵，那我們又有什麼理由要一定去找出那個「真的真理」呢。

如果世界是虛擬的，那麼有哪些證據可以證明這一點？-知乎一樣的道理，就算類似黑客帝國的情況發生：「我們的身體其實完全不存在，只是我們的大腦被邪惡科學家浸泡在營養液中，上面插著滿滿的電線，各種電刺激不斷的傳輸過來，好像我們確實存在一樣。

」我們也不在乎，只是讓這念頭在吃飯的時候飄一下而已：既然這樣和真的活著沒有任何差別，符合「確實存在於世」一切有可能可以被我們認知的表徵。

，並且我們也根本無法對這樣的情況做出正面的證明（比如找到這群邪惡科學家，把他們的衣領揪起來暴打一頓然後遊街示眾），糾結又有什麼意義？ 某種程度上，我們所擁有的一切理論大概都是經驗方程而已。

（也可以思考一下：為什麼主流科學界對轉基因抱著積極的態度？）這就是為什麼數學家希望對"如果p成立，那麼q必同時成立"唯一的否定方式為：至少存在一個這樣的情況："p成立，q沒有同時成立"。

即實質蘊含命題為假，當且僅當前件真且後件假。

這樣規定確實符合我們的認知規律，確實符合我們研究真理的過程，確實對我們很有用。

不知道這樣回答對不對首先說為什麼這麼規定。

因為方便，其實它還有其他等效的表述方式：若p則q等效於非（p且非q）例如：如果我有錢，就請你吃飯等效於我絕不可能有錢也不請你吃飯之所以定義「若p則q」很方便，其實與它的名字有關，它叫「蘊含」，從名字可以看出，這個表達式隱含著序性 用0表示假命題，用1表示真命題，「若p則q」其實是p小於等於q的意思p為真，等於1，「p小於等於q"，q只能也為1p為假，等於0，「p小於等於q"，q為1或0都可以而且小於等於這個概念非常符合人的直覺，人們反應會非常迅速，所以這個邏輯便被創造出來，用其它等效表達在腦中還要運算一番，自然慢了一拍。

「實質蘊含悖論」只不過因為人們很少把無關的兩件事放在一起，因為實在沒有用處，所以不習慣罷了。

蘊含號抽象的是所有「如果……那麼……」都具有的性質，而那個性質就是「前件真後件一定真」，也就是所謂的實質蘊含。

那麼蘊含怪論是怎麼產生的呢？為什麼沒有析取怪論呢？析取抽象了所有「或」都具有的性質，但日常語言中有時候我們用「或」卻不止是那個意思，比方說「你或者跟我道歉，或者滾蛋」，這裡是一個二選一，不能都選的情況。

但我們不說這裡有析取悖論，因為大多數「或」用最一般的析取解釋時並不怪，而日常語言中大多數「如果……那麼……」的前後件都相干。

然而，只要有一句「如果……，那麼……」前後件不相干，蘊含所抽象的就不包含前後件的相干關係。

因此抽象出來的顯得和日常語言不符，才顯得很怪。

P:x屬於AQ:x屬於B如果對於任意xP-&>Q成立則A是B的子集。

把A換成空集，則P恆為假，P-&>Q恆為真，所以空集是任意集合的子集。

一個應用，再深究原理我也不知道。

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