三角函數公式整理- sin，cos，tan、單位圓 - 學呀

幾何上的運用. 當我們有一個三角形，邊長與角度如上圖所示時，則面積會等於一半的 ... 返回目錄頁 多項式的運算 什麼是多項式？ 多項式的四則運算 二項式定理 綜合除法 因式定理 餘式定理 三角函數 三角函數的基本概念 單位圓上的三角函數 正弦定理 餘弦定理 三角函數公式整理 平面與空間向量 矩陣 圓錐截痕 排列組合與機率 尚未登入 前去登入/註冊 首頁&搜尋 所有課程 分享資源 最愛課程 收藏內容 常見問題 關於學呀 線上募款 馬上練習 第題，共題 檢查答案 做得漂亮💖 正確題數：/，共獲得分 恭喜答對了！ 分享章節 將此章節分享到您所屬的Google教室班級中。

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致教育 感謝以下內容貢獻者的編輯 NeilLu CarisaLi davidwu0709 汪峻湳 三角函數公式整理 課程目錄 編輯課程 開始練習 分享至Google教室 三角函數的定義 三角函數，是人們用來表示三角形上邊長與邊長之間關係的函數。

當我們觀察一個直角三角形時，我們可以將各個函數定義作如下：$$sin(\theta)=\frac{對邊}{斜邊}，cos(\theta)=\frac{臨邊}{斜邊}$$$$csc(\theta)=\frac{斜邊}{對邊}，sec(\theta)=\frac{斜邊}{臨邊}$$$$tan(\theta)=\frac{對邊}{臨邊}，cot(\theta)=\frac{臨邊}{對邊}$$ 利用這些定義，我們可以衍伸出一些式子，表達不同三角函數間的關係：$$tan(\theta)=\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}，cot(\theta)=\frac{cos(\theta)}{sin(\theta)}$$$$ sec(\theta)=\frac{1}{cos(\theta)}，csc(\theta)=\frac{1}{sin(\theta)}$$ 在單位圓中，我們可以將這些函數所對應的值在圖形上表示出來，也就是：$$sin(\theta)=y，cos(\theta)=x$$$$tan(\theta)=半徑r的斜率$$ 衍伸的公式 將$cos$與$sin$的定義進行整理，我們可以得到：$$sin^2\theta+cos^2\theta=1$$$$ \Rightarrowsin^2\theta=(1+cos\theta)(1-cos\theta)$$$$ \Rightarrowcos^2\theta=(1+sin\theta)(1-sin\theta)$$ 接著一樣很重要的是角度加減的公式：$$sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\cdotcos\beta+cos\alpha\cdotsin\beta$$$$sin(\alpha-\beta)=sin\alpha\cdotcos\beta-cos\alpha\cdotsin\beta$$$$cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\cdotcos\beta-sin\alpha\cdotsin\beta$$$$cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cdotcos\beta+sin\alpha\cdotsin\beta$$ 藉由$sin$與$cos$的加減公式，我們可以得到：$$tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\cdottan\beta}$$$$tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha\cdottan\beta}$$ 若將$\alpha$和$\beta$代入相同的值，我們便能得到兩倍角公式：$$sin(2\theta)=2\cdotsin\theta\cdotcos\theta$$$$cos(2\theta)=cos^2\theta-sin^2\theta$$$$tan(2\theta)=\frac{2\cdottan\theta}{1-tan^2\theta}$$ 將上述公式代入不同符號並整理，可得半角公式：$$sin(\frac{\theta}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-cos\theta}{2}}$$$$cos(\frac{\theta}{2})=\pm\sqrt{\frac{1+cos\theta}{2}}$$$$tan(\frac{\theta}{2})=\pm\frac{sin\theta}{1+cos\theta}$$ 最後是$sin$與$cos$的加減公式：$$sin\alpha+sin\beta =2\cdotsin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cdotcos(\frac{\alpha-\beta}{2})$$$$sin\alpha-sin\beta=2\cdotsin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdotcos(\frac{\alpha+\beta}{2})$$$$ cos\alpha+cos\beta=2\cdotcos(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdotcos(\frac{\alpha+\beta}{2})$$$$ cos\alpha-cos\beta=2\cdotsin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdotsin(\frac{\alpha+\beta}{2})$$ 幾何上的運用 當我們有一個三角形，邊長與角度如上圖所示時，則面積會等於一半的兩邊乘上夾角的$sin$值：$$面積=\frac{1}{2}\cdota\cdotb\cdotsin(\angleC)$$三邊長與對角的關係呈：$$\frac{a}{sin\angleA}=\frac{b}{sin\angleB}=\frac{c}{sin\angleC}$$任意一邊長與另外兩邊的關係為：$$c^2=a^2+b^2-2\cdota\cdotb\cdotcos\angleC$$若我們將$\angleC$以90度帶入，則：$$let\angleC=90^{\circ}$$$$\Rightarrowcos\angleC=0$$$$\Rightarrowc^2=a^2+b^2$$即得畢氏定理。

六邊形速記法 六頂點排列 六邊形左側為正、右側為餘，從上到下分別為弦/切/割 相乘為中間 1.對任一相鄰三頂點，兩側值相乘為中間值$$cos(\theta)\cdottan(\theta)=sin(\theta)$$$$sin(\theta)\cdotsec(\theta)=tan(\theta)$$$$tan(\theta)\cdotcsc(\theta)=sec(\theta)$$$$sec(\theta)\cdotcot(\theta)=csc(\theta)$$$$csc(\theta)\cdotcos(\theta)=cot(\theta)$$$$cot(\theta)\cdotsin(\theta)=cos(\theta)$$ 2.對任一對角線，兩側值相乘為中間值$(1)$，即兩側值互為倒數$$sin(\theta)\cdotcsc(\theta)=1$$$$cos(\theta)\cdotsec(\theta)=1$$$$tan(\theta)\cdotcot(\theta)=1$$ 上頂點之平方和為下頂點平方 對任一倒三角形(灰三角形)，上方兩頂點的平方和為下方頂點的平方$$sin^2(\theta)+cos^2(\theta)=1^2$$$$tan^2(\theta)+1^2=sec^2(\theta)$$$$1^2+cot^2(\theta)=csc^2(\theta)$$ 同橫排有餘角關係 若兩三角函數在六邊形的同一橫排，兩者有餘數關係$$sin(90\degree-\theta)=cos(\theta)，cos(90\degree-\theta)=sin(\theta)$$$$tan(90\degree-\theta)=cot(\theta)，cot(90\degree-\theta)=tan(\theta)$$$$sec(90\degree-\theta)=csc(\theta)，csc(90\degree-\theta)=sec(\theta)$$ 馬上練習！ 完成10個練習題，並且獲取學習點數！ 開始練習 上一章節 下一章節 使用者分享的影片來自YouTube。

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