三角函數- 維基百科，自由的百科全書

在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程式的解，允許它們的取值 ... 另一個關鍵的聯繫是和差公式，它根據兩個角度自身的正弦和餘弦而給出它們的和與 ... 三角函數 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 三角函數圖像（動畫演示） 三角學 歷史（英語：Historyoftrigonometry） 三角函數 (反三角函數) 廣義三角函數（英語：Generalizedtrigonometry） 參考 恆等式 精確值 三角表（英語：Trigonometrictables） 單位圓 定理 正弦 餘弦 正切 餘切 畢氏定理 微積分 三角換元法 積分 (反三角函數) 微分 閱論編 三角函數（英語：trigonometricfunctions[註1]）是數學中常見的一類關於角度的函數。

三角函數將直角三角形的內角與它的兩個邊的比值相關聯，也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。

三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究振動、波、天體運動以及各種週期性現象的基礎數學工具[1]。

在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程式的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是複數值。

常見的三角函數包括正弦函數（ sin {\displaystyle\sin} ）、餘弦函數（ cos {\displaystyle\cos} ）和正切函數（ tan {\displaystyle\tan} 或者 tg {\displaystyle\operatorname{tg}} ）[1]；在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如餘切函數（ cot {\displaystyle\cot} 或者 ctg {\displaystyle\operatorname{ctg}} ）、正割函數（ sec {\displaystyle\sec} ）、餘割函數（ csc {\displaystyle\csc} ）、正矢函數、半正矢函數等其他的三角函數。

不同的三角函數之間的關係可以透過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恆等式。

三角函數一般用於計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。

另外，以三角函數為模版，可以定義一類相似的函數，叫做雙曲函數[2]。

常見的雙曲函數也被稱為雙曲正弦函數、雙曲餘弦函數等等。

目次 1歷史 2幾何定義 2.1直角三角形中的定義 2.2直角坐標系中的定義 2.3單位圓定義 3基本性質 3.1三角恆等式 3.2微積分 4分析學定義 4.1級數定義 4.1.1與指數函數和複數的聯繫 4.2較少見的三角函數 4.3微分方程定義 4.3.1弧度的重要性 4.4利用函數方程定義三角函數 5計算 5.1三角函數的特殊值 6反三角函數 7相關定理 7.1正弦定理 7.2餘弦定理 7.3正切定理 7.4餘切定理 7.5周期函數 8參見 9注釋 10參考資料 11延伸閱讀 12外部連結 歷史[編輯] 早期對於三角函數的研究可以追溯到古代。

例如古埃及數學家在鑑別尼羅河泛濫後的土地邊界、保持金字塔每邊斜度相同，都使用了三角術，只是他們可能還沒有對這種方式定名而已。

古希臘三角術的奠基人是公元前2世紀的喜帕恰斯。

他按照古巴比倫人的做法，將圓周分為360等份（即圓周的弧度為360度，與現代的弧度制不同）。

對於給定的弧度，他給出了對應的弦的長度數值，這個記法和現代的正弦函數是等價的。

喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函數數值表。

然而古希臘的三角學基本是球面三角學。

這與古希臘人研究的主體是天文學有關。

梅涅勞斯在他的著作《球面學》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。

古希臘三角學與其天文學的應用在埃及的托勒密時代達到了高峰，托勒密在《數學彙編》（SyntaxisMathematica）中計算了36度角和72度角的正弦值，還給出了計算和角公式和半角公式的方法。

托勒密還給出了所有0到180度的所有整數和半整數弧度對應的正弦值[3]:133-140[4]:151-152。

希臘文化傳播到古印度後，印度人對三角術進行了進一步的研究。

公元5世紀末的數學家阿耶波多提出用弧對應的弦長的一半來對應半弧的正弦，這個做法被後來的古印度數學家使用，和現代的正弦定義一致了[4]:189。

阿耶波多的計算中也使用了餘弦和正割。

他在計算弦長時使用了不同的單位，重新計算了0到90度中間隔三又四分之三度（3.75°）的三角函數值表[4]:193。

然而古印度的數學與當時的中國一樣，停留在計算方面，缺乏系統的定義和演繹的證明。

阿拉伯人也採用了古印度人的正弦定義，但他們的三角學是直接繼承於古希臘。

阿拉伯天文學家引入了正切和餘切、正割和餘割的概念，並計算了間隔10分（10′）的正弦和正切數值表[3]:214-215。

到了公元14世紀，阿拉伯人將三角計算重新以算術方式代數化（古希臘人採用的是建立在幾何上的推導方式）的努力為後來三角學從天文學中獨立出來，成為了有更廣泛應用的學科奠定了基礎。

[3]:225 進入15世紀後，阿拉伯數學文化開始傳入歐洲。

隨著歐洲商業的興盛，航行、曆法測定和地理測繪中出現了對三角學的需求。

在翻譯阿拉伯數學著作的同時，歐洲數學家開始製作更詳細精確的三角函數值表。

哥白尼的學生喬治·約阿希姆·瑞提克斯（英語：GoergJoachimRheticus）製作了間隔10秒（10″）的正弦表，有9位精確值。

瑞提克斯還改變了正弦的定義，原來稱弧對應的弦長是正弦，瑞提克斯則將角度對應的弦長稱為正弦。

16世紀後，數學家開始將古希臘有關球面三角的結果和定理轉化為平面三角定理。

弗朗索瓦·韋達給出了托勒密的不少結果對應的平面三角形式。

他還嘗試計算了多倍角正弦的表達方式。

[3]:275-278 18世紀開始，隨著解析幾何等分析學工具的引進，數學家們開始對三角函數進行分析學上的研究。

牛頓在1669年的《分析學》一書中給出了正弦和餘弦函數的無窮級數表示。

Collins將牛頓的結果告訴了詹姆斯·格列高里，後者進一步給出了正切等三角函數的無窮級數。

萊布尼茲在1673年左右也獨立得到了這一結果[5]:162-163。

歐拉的《無窮小量分析引論》（IntroductioinAnalysinInfinitorum，1748年）對建立三角函數的分析處理做了最主要的貢獻，他定義三角函數為無窮級數，並表述了歐拉公式，還有使用接近現代的簡寫sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。

1631年徐光啟與鄧玉函、湯若望合撰《大測》首次將三角函數引入中國並確立了正弦、餘弦等譯名。

幾何定義[編輯] 直角三角形中的定義[編輯] a,b,h分別為角A的對邊、鄰邊和斜邊 在直角三角形中僅有銳角（大小在0到90度之間的角）三角函數的定義[6]。

給定一個銳角 θ {\displaystyle\theta} ，可以做出一個直角三角形，使得其中的一個內角是 θ {\displaystyle\theta} 。

設這個三角形中， θ {\displaystyle\theta} 的對邊、鄰邊和斜邊長度分別是 a , b , h {\displaystylea,b,h} ，那麼 θ {\displaystyle\theta} 的正弦是對邊與斜邊的比值： sin ⁡ θ = a h {\displaystyle\sin{\theta}={\frac{a}{h}}} θ {\displaystyle\theta} 的餘弦是鄰邊與斜邊的比值： cos ⁡ θ = b h {\displaystyle\cos{\theta}={\frac{b}{h}}} θ {\displaystyle\theta} 的正切是對邊與鄰邊的比值： tan ⁡ θ = a b {\displaystyle\tan{\theta}={\frac{a}{b}}} θ {\displaystyle\theta} 的餘切是鄰邊與對邊的比值： cot ⁡ θ = b a {\displaystyle\cot{\theta}={\frac{b}{a}}} θ {\displaystyle\theta} 的正割是斜邊與鄰邊的比值： sec ⁡ θ = h b {\displaystyle\sec{\theta}={\frac{h}{b}}} θ {\displaystyle\theta} 的餘割是斜邊與對邊的比值： csc ⁡ θ = h a {\displaystyle\csc{\theta}={\frac{h}{a}}} 直角坐標系中的定義[編輯] 設 P ( x , y ) {\displaystyleP(x,y)} 是平面直角坐標系 x O y {\displaystylexOy} 中的一個點， θ {\displaystyle\theta} 是橫軸正向 O x → {\displaystyle{\vec{Ox}}} 逆時針旋轉到 O P → {\displaystyle{\vec{OP}}} 方向所形成的角， r = x 2 + y 2 > 0 {\displaystyler={\sqrt{x^{2}+y^{2}}}>0} 是 P {\displaystyleP} 到原點 O {\displaystyleO} 的距離，則 θ {\displaystyle\theta} 的六個三角函數定義為[7]： 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 sin ⁡ θ = y r {\displaystyle\sin\theta={\frac{y}{r}}} cos ⁡ θ = x r {\displaystyle\cos\theta={\frac{x}{r}}} tan ⁡ θ = y x {\displaystyle\tan\theta={\frac{y}{x}}} cot ⁡ θ = x y {\displaystyle\cot\theta={\frac{x}{y}}} sec ⁡ θ = r x {\displaystyle\sec\theta={\frac{r}{x}}} csc ⁡ θ = r y {\displaystyle\csc\theta={\frac{r}{y}}} 這樣可以對0到360度的角度定義三角函數。

要注意的是以上的定義都只在定義式有意義的時候成立。

比如說當 x = 0 {\displaystylex=0} 的時候， y x {\displaystyle{\frac{y}{x}}} 和 r x {\displaystyle{\frac{r}{x}}} 都沒有意義，這說明對於90度角和270度角，正切和正割沒有定義。

同樣地，對於0度角和180度角，餘切和餘割沒有定義。

單位圓定義[編輯] 三角函數也可以依據直角坐標系 x O y {\displaystylexOy} 中半徑為1，圓心為原點 O {\displaystyleO} 的單位圓來定義[1]。

給定一個角度 θ {\displaystyle\theta} ，設 A ( 1 , 0 ) {\displaystyleA(1,0)} 為起始點，如果 θ > 0 {\displaystyle\theta>0} 則將 O A {\displaystyleOA} 逆時針轉動，如果 θ < 0 {\displaystyle\theta<0} 則順時針移動，直到轉過的角度等於 θ {\displaystyle\theta} 為止。

設最終點A轉到的位置為 P ( x , y ) {\displaystyleP(x,y)} ，那麼： 用單位圓定義三角函數 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 sin ⁡ θ = y {\displaystyle\sin\theta=y} cos ⁡ θ = x {\displaystyle\cos\theta=x} tan ⁡ θ = y x {\displaystyle\tan\theta={\frac{y}{x}}} cot ⁡ θ = x y {\displaystyle\cot\theta={\frac{x}{y}}} sec ⁡ θ = 1 x {\displaystyle\sec\theta={\frac{1}{x}}} csc ⁡ θ = 1 y {\displaystyle\csc\theta={\frac{1}{y}}} 這個定義和坐標系的定義類似，但角度θ可以是任何的數值。

對於大於360°或小於-360°的角度，可以認為是逆時針（順時針）旋轉了不止一圈。

而多轉或少轉了整數圈不會影響三角函數的取值[8]。

如果按弧度制的方式記錄角度，將弧長作為三角函數的輸入值（360°等於 2 π {\displaystyle2\pi} ），那麼三角函數就是取值為全體實數R，週期為 2 π {\displaystyle2\pi} 的週期函數。

比如： sin ⁡ θ = sin ⁡ ( θ + 2 π k ) , ∀ θ ∈ R , k ∈ Z {\displaystyle\sin\theta=\sin\left(\theta+2\pik\right),\quad\forall\theta\in\mathbb{R},\;\;k\in\mathbb{Z}} cos ⁡ θ = cos ⁡ ( θ + 2 π k ) , ∀ θ ∈ R , k ∈ Z {\displaystyle\cos\theta=\cos\left(\theta+2\pik\right),\quad\forall\theta\in\mathbb{R},\;\;k\in\mathbb{Z}} 週期函數的最小正週期叫做這個函數的基本週期。

正弦、餘弦、正割或餘割的基本週期是 2 π {\displaystyle2\pi} 弧度或360°；正切或餘切的基本週期是 π {\displaystyle\pi} 弧度或180°。

基本性質[編輯] 在直角坐標系平面上f(x)=sin(x)和f(x)=cos(x)函數的圖像 從幾何定義中可以推導出很多三角函數的性質。

比如說，正弦函數、正切函數、餘切函數和餘割函數是奇函數，餘弦函數和正割函數是偶函數[9]。

正弦和餘弦函數的圖像形狀一樣（見右圖），可以看作是沿坐標橫軸平移得到的兩個函數。

正弦和餘弦函數關於 x = π 4 {\displaystylex={\frac{\pi}{4}}} 軸對稱。

正切函數和餘切函數、正割函數和餘割函數也分別如此。

三角恆等式[編輯] 主條目：三角恆等式 不同的三角函數之間存在很多對任意的角度取值都成立的等式，被稱為三角恆等式。

其中最著名的是畢達哥拉斯恆等式，它說明對於任何角，正弦的平方加上餘弦的平方總是1[1]。

這可從斜邊為1的直角三角形應用畢氏定理得出。

用符號形式表示，畢達哥拉斯恆等式為： sin 2 x + cos 2 x = 1. {\displaystyle\sin^{2}\!x+\cos^{2}\!x=1.} 因此可推導出: tan 2 x + 1 = sec 2 x . {\displaystyle\tan^{2}\!x+1=\sec^{2}\!x.} 1 + cot 2 x = csc 2 x . {\displaystyle1+\cot^{2}\!x=\csc^{2}\!x.} 另一個關鍵的聯繫是和差公式，它根據兩個角度自身的正弦和餘弦而給出它們的和與差的正弦和餘弦[1]。

它們可以用幾何的方法使用托勒密的論證方法推導出來；還可以用代數方法使用歐拉公式檢定[註2]。

sin ⁡ ( x + y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y + cos ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle\sin\left(x+y\right)=\sinx\cosy+\cosx\siny} cos ⁡ ( x + y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle\cos\left(x+y\right)=\cosx\cosy-\sinx\siny} tan ⁡ ( x + y ) = tan ⁡ x + tan ⁡ y 1 − tan ⁡ x tan ⁡ y {\displaystyle\tan\left(x+y\right)={\frac{\tanx+\tany}{1-\tanx\tany}}} sin ⁡ ( x − y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y − cos ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle\sin\left(x-y\right)=\sinx\cosy-\cosx\siny} cos ⁡ ( x − y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle\cos\left(x-y\right)=\cosx\cosy+\sinx\siny} tan ⁡ ( x − y ) = tan ⁡ x − tan ⁡ y 1 + tan ⁡ x tan ⁡ y {\displaystyle\tan\left(x-y\right)={\frac{\tanx-\tany}{1+\tanx\tany}}} 當兩個角相同的時候，和角公式簡化為更簡單的等式，稱為二倍角公式（或倍角公式）： sin ⁡ ( 2 x ) = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x {\displaystyle\sin(2x)=2\sinx\cosx} cos ⁡ ( 2 x ) = cos 2 ⁡ x − sin 2 ⁡ x {\displaystyle\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x} tan ⁡ ( 2 x ) = 2 tan ⁡ x 1 − tan 2 ⁡ x {\displaystyle\tan(2x)={\frac{2\tanx}{1-\tan^{2}x}}} 這些等式還可以用來推導積化和差恆等式[10]，以前曾用它把兩個數的積轉換成兩個數的和而像對數那樣使運算更加快速。

（利用制好的三角函數表） 還有半角公式： sin ⁡ x 2 = ± 1 − cos ⁡ x 2 {\displaystyle\sin{\frac{x}{2}}=\pm{\sqrt{\frac{1-\cosx}{2}}}} cos ⁡ x 2 = ± 1 + cos ⁡ x 2 {\displaystyle\cos{\frac{x}{2}}=\pm{\sqrt{\frac{1+\cosx}{2}}}} tan ⁡ x 2 = ± 1 − cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 − cos ⁡ x sin ⁡ x = sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x {\displaystyle\tan{\frac{x}{2}}=\pm{\sqrt{\frac{1-\cosx}{1+\cosx}}}={\frac{1-\cosx}{\sinx}}={\frac{\sinx}{1+\cosx}}} 微積分[編輯] 三角函數的積分和導數可參見導數表、積分表和三角函數積分表。

下面是六個基本三角函數的導數和積分的列表。

函數   sin ⁡ x {\displaystyle\,\\sinx}   cos ⁡ x {\displaystyle\,\\cosx}   tan ⁡ x {\displaystyle\,\\tanx}   cot ⁡ x {\displaystyle\,\\cotx}   sec ⁡ x {\displaystyle\,\\secx}   csc ⁡ x {\displaystyle\,\\cscx} 導函數   cos ⁡ x {\displaystyle\,\\cosx}   − sin ⁡ x {\displaystyle\,\-\sinx}   sec 2 ⁡ x {\displaystyle\,\\sec^{2}x}   − csc 2 ⁡ x {\displaystyle\,\-\csc^{2}x}   sec ⁡ x tan ⁡ x {\displaystyle\,\\sec{x}\tan{x}}   − csc ⁡ x cot ⁡ x {\displaystyle\,\-\csc{x}\cot{x}} 反導函數*   − cos ⁡ x {\displaystyle\,\-\cosx}   sin ⁡ x {\displaystyle\,\\sinx}   − ln ⁡ | cos ⁡ x | {\displaystyle\,\-\ln\left|\cosx\right|} ln ⁡ | sin ⁡ x | {\displaystyle\ln\left|\sinx\right|} ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | {\displaystyle\ln\left|\secx+\tanx\right|} ln ⁡ | csc ⁡ x − cot ⁡ x | {\displaystyle\ln\left|\cscx-\cotx\right|} *不計常數項 分析學定義[編輯] 級數定義[編輯] 正弦函數（藍色）十分接近於它的7次泰勒級數（粉色） 幾何學中，三角函數的定義是建立在幾何直觀上的，只用幾何和極限的性質，就可直接獲知正弦和餘弦的導數。

分析學中，三角函數是解析函數，數學家用泰勒級數給出了不依賴幾何直觀的代數定義[11]： sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ {\displaystyle\sinx=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac{x^{3}}{3!}}+{\frac{x^{5}}{5!}}-{\frac{x^{7}}{7!}}+\cdots} cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ {\displaystyle\cosx=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac{x^{2}}{2!}}+{\frac{x^{4}}{4!}}-{\frac{x^{6}}{6!}}+\cdots} 可以證明以上的無窮級數對任意實數 x {\displaystylex} 都是收斂的，所以很好地定義了正弦和餘弦函數。

三角函數的級數定義經常被用做三角函數的嚴格處理和應用的起點（比如，在傅立葉級數中），因為無窮級數的理論可從實數系的基礎上發展而來，不需要任何幾何方面的考慮。

這樣，這些函數的可微性和連續性便可以單獨從級數定義來確立。

其他三角函數的級數定義：[12] tan ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + ⋯ ( | x | < π 2 ) {\displaystyle\tanx=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}=x+{\frac{x^{3}}{3}}+{\frac{2x^{5}}{15}}+{\frac{17x^{7}}{315}}+\cdots\left(|x|