9.6線積分

同樣地, 我們也可利用物理上功的概念, 來定義一向量值函數在一平滑曲線上的積分。

這種積分稱為線積分。

設 $\mbox{\boldmath {$F$}}$ 為一常數的力, ... 線  積 分  a         以前我們用面積的概念, 來解釋一函數在一區間之積分。

同樣地, 我們也可利用物理上功的概念, 來定義一向量值函數在一平滑曲線上的積分。

這種積分稱為線積分 。

　　 　　設 為一常數的力,作用在一沿向量 移動之粒子上。

則由物理中的知識知,此力所做的功為 ,其中表 與 之夾角。

　　現設 為中一平滑曲線,其參數式為 若力與位置有關,即設在 上一點之力為 。

且設 之二分量為及,即 為一,之向量值函數。

設及皆連續, 我們想求 作用在曲線 上的功。

　　設 為之一分割。

點 , ,將曲線 分成段子弧。

對 ,令 且以 表連接 及 之向量, 見圖6.1。

圖6.1. 　　對 ,由均值定理,分別存在及 ,使得 令 , , 。

則對 ,常數向量 可用來做為 沿著子弧由 至 之近似值。

又由 至 之子弧可以 來逼近。

則常數向量 作用在一沿著 移動之粒子所得的功為 故我們可以和 (6.1) 做為 沿著 所做的功之近似值。

又 為函數 在區間之一Riemann和。

同理(6.1)中第二個和為函數 在區間 之一Riemann和。

故令 ,(6.1)中之二項和趨近至 (6.2)                                 有時我們也可有下述寫法 (6.3) 　　 定義1.設 為一定義在之平滑曲線,在每一 上的點有一力 ,則一粒子沿著 所得之總功為 而上述積分也稱為 在 上的線積分。

  a 　　若 且利用, ,則我們可有一較簡潔的線積分符號,即 其中及當然必須在可積。

　　若 為三維中一平滑曲線,且有一三維的向量值函數 ,定義在 上每一點。

若 則對應的線積分可寫成 　　在很多實際應用裡, 只假設為逐段平滑,即 有一有界的導數 ,除了可能在一些有限的點外, 皆連續。

例1.求 ,其中 為由(0,0)至(1,1) 的拋物線的弧。

　　 例2.求 其中 ,由至。

     a 進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 線積分。

微積分講義第九章，國立高雄大學應用數學系。