曲線積分- 維基百科，自由的百科全書

在數學中，線積分（英語：Line integral）是積分的一種。

積分函數的取值沿的不是區間，而是被稱為積分路徑的特定曲線。

... 曲線積分在物理學中是很重要的工具，例如計算電場 ... 曲線積分 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 系列條目微積分學 函數 極限論 微分學 積分 微積分基本定理 微積分發現權之爭（英語：Leibniz–Newtoncalculuscontroversy） 基礎概念（含極限論和級數論） 實數性質 函數 ·單調性 ·初等函數 ·數列 ·極限 ·實數的構造（1=0.999…） ·無窮大（銜尾蛇） ·無窮小量 ·ε-δ式定義（英語：(ε,δ)-definitionoflimit） ·實無窮（英語：Actualinfinity） ·大O符號 ·上確界 ·收斂數列 ·芝諾悖論 ·柯西序列 ·單調收斂定理 ·夾擠定理 ·波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理 ·斯托爾茲－切薩羅定理 ·上極限和下極限 ·函數極限 ·漸近線 ·鄰域 ·連續 ·連續函數 ·間斷點 ·狄利克雷函數 ·稠密集 ·均勻連續 ·緊緻集 ·海涅－鮑萊耳定理 ·支撐集 ·歐幾里得空間 ·內積 ·外積 ·混合積 ·拉格朗日恆等式 ·等價範數 ·坐標系 ·多元函數 ·凸集 ·壓縮映射原理 ·級數 ·收斂級數（英語：convergentseries） ·幾何級數 ·調和級數 ·項測試 ·格蘭迪級數 ·收斂半徑 ·審斂法 ·柯西乘積 ·黎曼級數重排定理 ·函數項級數（英語：functionseries） ·均勻收斂 ·迪尼定理 數列與級數 連續 函數 一元微分 差分 ·差商 ·微分 ·微分的線性（英語：linearityofdifferentiation） ·導數（流數法 ·二階導數 ·光滑函數 ·高階微分 ·萊布尼茲記號（英語：Leibniz's_notation） ·幽靈似的消失量） ·介值定理 ·微分均值定理（羅爾定理 ·拉格朗日均值定理 ·柯西均值定理） ·泰勒公式 ·求導法則（乘法定則 ·廣義萊布尼茨定則（英語：GeneralLeibnizrule） ·除法定則 ·倒數定則 ·連鎖律） ·羅必達法則 ·反函數及其微分 ·FaàdiBruno公式（英語：FaàdiBruno'sformula） ·對數微分法 ·導數列表 ·導數的函數應用（單調性 ·切線 ·極值 ·駐點 ·反曲點 ·求導檢測（英語：derivativetest） ·凸函數 ·凹函數 ·琴生不等式 ·曲線的曲率 ·埃爾米特插值） ·達布定理 ·魏爾斯特拉斯函數 一元積分 積分表 定義 不定積分 定積分 黎曼積分 達布積分 勒貝格積分 積分的線性 求積分的技巧（換元積分法 ·三角換元法 ·分部積分法 ·部分分式積分法 ·降次積分法）微元法 ·積分第一均值定理 ·積分第二均值定理 ·牛頓-萊布尼茨公式 ·反常積分 ·柯西主值 ·積分函數（Β函數 ·Γ函數 ·古德曼函數 ·橢圓積分） ·數值積分（矩形法 ·梯形法 ·辛普森積分法 ·牛頓-寇次公式） ·積分判別法 ·傅立葉級數（狄利克雷定理 ·週期延拓） ·魏爾斯特拉斯逼近定理 ·帕塞瓦爾定理 ·萊歐維爾定理 多元微積分 偏導數 ·隱函數 ·全微分（微分的形式不變性） ·二階導數的對稱性 ·全導數 ·方向導數 ·純量場 ·向量場 ·梯度（Nabla算子） ·多元泰勒公式 ·拉格朗日乘數 ·海森矩陣 ·鞍點 ·多重積分（逐次積分（英語：iteratedintegral） ·積分順序（英語：Orderofintegration(calculus)）） ·積分估值定理 ·旋轉體 ·帕普斯-古爾丁中心化旋轉定理 ·祖暅-卡瓦列里原理 ·托里拆利小號 ·雅可比矩陣 ·廣義多重積分（高斯積分） ·若爾當曲線 ·曲線積分 ·曲面積分（施瓦茨的靴（俄語：СапогШварца）） ·散度 ·旋度 ·通量 ·可定向性 ·格林公式 ·高斯公式 ·斯托克斯公式及其外微分形式 ·若爾當測度 ·隱函數定理 ·皮亞諾-希爾伯特曲線 ·積分轉換 ·摺積定理 ·積分符號內取微分(萊布尼茨積分定則（英語：Leibnizintegralrule）) ·多變數原函數的存在性（全微分方程式） ·外微分的映射原像存在性（恰當形式） ·向量值函數 ·向量空間內的導數推廣（英語：generalizationsofthederivative）（加托導數 ·弗雷歇導數（英語：Fréchetderivative） ·矩陣的微積分（英語：matrixcalculus）） ·弱導數 微分方程式 常微分方程式 ·柯西-利普希茨定理 ·皮亞諾存在性定理 ·分離變數法 ·級數展開法 ·積分因子 ·拉普拉斯算子 ·歐拉方法 ·柯西-歐拉方程式 ·伯努利微分方程式 ·克萊羅方程式 ·全微分方程式 ·線性微分方程式 ·疊加原理 ·特徵方程式 ·朗斯基行列式 ·微分算子法 ·差分方程式 ·拉普拉斯轉換法 ·偏微分方程式（拉普拉斯方程式 ·卜瓦松方程式） ·史特姆-萊歐維爾理論 ·N體問題 ·積分方程式 相關數學家 牛頓 ·萊布尼茲 ·柯西 ·魏爾斯特拉斯 ·黎曼 ·拉格朗日 ·歐拉 ·帕斯卡 ·海涅 ·巴羅 ·波爾查諾 ·狄利克雷 ·格林 ·斯托克斯 ·若爾當 ·達布 ·傅立葉 ·拉普拉斯 ·雅各布·伯努利 ·約翰·伯努利 ·阿達馬 ·麥克勞林 ·迪尼 ·沃利斯 ·費馬 ·達朗貝爾 ·黑維塞 ·吉布斯 ·奧斯特羅格拉德斯基 ·萊歐維爾 ·棣美弗 ·格雷果里 ·瑪達瓦（英語：MadhavaofSangamagrama） ·婆什迦羅第二 ·阿涅西 ·阿基米德 歷史名作 從無窮小量分析來理解曲線（英語：AnalysedesInfinimentPetitspourl'IntelligencedesLignesCourbes） ·分析學教程（英語：Coursd'Analyse） ·無窮小分析引論 ·用無窮級數做數學分析（英語：Deanalysiperaequationesnumeroterminoruminfinitas） ·流形上的微積分（英語：CalculusonManifolds(book)） ·微積分學教程 ·純數學教程（英語：ACourseofPureMathematics） ·機械原理方法論（英語：TheMethodofMechanicalTheorems） 分支學科 實變函數論 ·複變函數論 ·傅立葉分析 ·變分法 ·特殊函數 ·動態系統 ·微分幾何 ·微分代數 ·向量分析 ·分數微積分 ·瑪里亞溫微積分（英語：Malliavincalculus） ·隨機分析 ·最佳化 ·非標準分析 閱論編 在數學中，線積分（英語：Lineintegral）[註1]是積分的一種。

積分函數的取值沿的不是區間，而是被稱為積分路徑的特定曲線。

[註2] 在曲線積分中，被積的函數可以是純量函數或向量函數。

當被積函數是純量函數時，積分的值是積分路徑各點上的函數值乘上該點切向量的長度，在被積分函數是向量函數時，積分值是積分向量函數與曲線切向量的內積。

在函數是純量函數的情形下，可以把切向量的絕對值（長度）看成此曲線把該點附近定義域的極小區間，在對應域內拉長了切向量絕對值的長度，這也是曲線積分與一般區間上的積分的主要不同點。

物理學中的許多簡潔公式（例如W=F·s）在推廣之後都是以曲線積分的形式出現 W = ∫ C F ⋅ d s {\displaystyleW=\int_{C}\mathbf{F}\cdotd\mathbf{s}} 。

曲線積分在物理學中是很重要的工具，例如計算電場或重力場中的做功。

目次 1向量分析 1.1純量場的曲線積分 1.1.1定義 1.1.2推導 1.2向量場的曲線積分 1.3與路徑無關的條件 1.4應用 1.5曲線積分與複分析的關係 2複曲線積分 2.1例子 3量子力學 4參看 5注釋 6參考文獻 7外部連結 向量分析[編輯] 大致來說，向量分析中的曲線積分可以看成在某一場中沿特定路徑的累積效果。

更具體地說，如果曲線 C ⊆ R 2 {\displaystyleC\subseteq\mathbb{R}^{2}} ，純量場的曲線積分可以想成某個曲線（不是 C {\textstyleC} ）向下切割出的面積，這可以通過建立函數z=f(x,y)和x-y平面內的曲線C來想像這個曲面，可以把 x - y {\displaystylex{\text{-}}y} 平面上的曲線 C {\displaystyleC} 想成屏風的底座， f {\displaystylef} 代表在該點屏風的高度（這裡假設 f ≥ 0 {\displaystylef\geq0} ），則 f {\displaystylef} 的曲線積分就是該「屏風」的面積，也就是前面所說曲線 ( x ( t ) , y ( t ) , f ( x , y ) ) {\textstyle(x(t),y(t),f(x,y))} 向下切割的面積，其中 ( x ( t ) , y ( t ) ) {\textstyle(x(t),y(t))} 是曲線 C {\textstyleC} 的參數化。

純量場的曲線積分[編輯] 梯度場中的曲線積分 定義[編輯] 設有純量場：F :U⊆Rn → {\displaystyle\to} R，則對於路徑C⊂U，F的曲線積分是： ∫ C f d s = ∫ a b f ( r ( t ) ) | r ′ ( t ) | d t . {\displaystyle\int_{C}f\,ds=\int_{a}^{b}f(\mathbf{r}(t))|\mathbf{r}'(t)|\,dt.} 其中，r:[a,b] → {\displaystyle\to} C是一個一一對應的參數方程式，並且r(a)和r(b)分別是路徑曲線C的兩個端點。

f稱為積分函數，C是積分路徑。

不嚴格地說，ds可以被看作積分路徑上的一段很小的「弧長」。

曲線積分的結果不依賴於參量化函數r。

幾何上，當純量場f定義在一個平面（n=2）上時，它的圖像是空間中一個曲面z=f(x,y)，曲線積分就是以曲線C為界的有符號的截面面積。

參見動畫演示。

推導[編輯] 對於純量場上的曲線積分， 向量場的曲線積分[編輯] 向量場的曲線積分 設有向量場：F :U⊆Rn → {\displaystyle\to} Rn，則其在路徑C⊂U上關於方向r的曲線積分是： ∫ C F ( r ) ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t . {\displaystyle\int_{C}\mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.} 其中，r:[a,b] → {\displaystyle\to} C是一個一一的參量化函數，並且r(a)和r(b)分別是路徑曲線C的兩個端點。

這時曲線積分值的絕對值與參量化函數r無關，但其方向與參量化函數r的選擇有關。

特別地，當方向相反時，積分值也相反。

與路徑無關的條件[編輯] 如果向量場F是一個純量場G的梯度，即： ∇ G = F , {\displaystyle\nablaG=\mathbf{F},} 那麼，由G和r組成的複合函數的導數是： d G ( r ( t ) ) d t = ∇ G ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) = F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) {\displaystyle{\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}}=\nablaG(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)} 於是對路徑C就有： ∫ C F ( r ) ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t = ∫ a b d G ( r ( t ) ) d t d t = G ( r ( b ) ) − G ( r ( a ) ) {\displaystyle\int_{C}\mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt=\int_{a}^{b}{\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf{r}(b))-G(\mathbf{r}(a))} 。

用文字表示，就是說若F是一個梯度場，那麼F的曲線積分與所取的路徑無關，而只與路徑的起點和終點的選取有關。

應用[編輯] 在各種保守力的場都是路徑無關的，一個常見的例子就是重力場或電場。

在計算這種場的做功時，可以選擇適當的路徑進行積分，使得計算變得簡單。

曲線積分與複分析的關係[編輯] 如果將複數看作二維的向量，那麼二維向量場的曲線積分就是相應複函數的共軛函數在同樣路徑上的積分值的實部。

根據柯西-黎曼方程式，一個全純函數的共軛函數所對應的向量場的旋度是0。

複曲線積分[編輯] 在複分析中，曲線積分是通過複數的加法和乘法定義的。

令U為複數集C的一個開子集，f :U → {\displaystyle\to} C是一個函數， L ⊂ U {\displaystyleL\subsetU} 是一個參數為 γ : [ a , b ] → L {\displaystyle\gamma:[a,b]\toL} 的可求長曲線，其中 γ ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) {\displaystyle\gamma(t)=x(t)+iy(t)} 。

則曲線積分： ∫ L f ( z ) d z {\displaystyle\int_{L}f(z)\,dz} 可以通過將區間[a,b]分劃為a=t0