曲線積分 - 中文百科知識

曲線積分，在數學中，曲線積分或路徑積分是積分的一種。

積分函式的取值沿的不是區間，而是特定的曲線，稱為積分路徑。

曲線積分有很多種類，當積分路徑為閉合曲線時， ... 曲線積分 曲線積分，在數學中，曲線積分或路徑積分是積分的一種。

積分函式的取值沿的不是區間，而是特定的曲線，稱為積分路徑。

曲線積分有很多種類，當積分路徑為閉合曲線時，稱為環路積分或圍道積分。

基本信息中文名：曲線積分英文名：Curvilinearintegral類別：第一、二類曲線積分定義：弧長曲線積分也叫第一類曲線積分套用：重力場或電場等內容：積分聯繫、量子力學、復分關係等基本簡介：∫ρ(x,y)ds叫對弧長的曲線積分基本簡介舉例曲線積分先看一個例子：設有一曲線形構件占xOy面上的一段曲線，設構件的密度分布函式為ρ(x,y)，設ρ(x,y)定義在L上且在L上連續，求構件的質量。

對於密度均勻的物件可以直接用ρS求得質量；對於密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對弧長的曲線積分。

定義設L為xOy平面上的一條光滑的簡單曲線弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一點列M1,M2,M3…,Mn把L分成n個小弧段ΔLi的長度為ds，又Mi(x,y)是L上的任一點，作乘積f(x,y)i*ds,並求和即Σf(x,y)i*ds，記λ=max(ds)，若Σf(x,y)i*ds的極限在當λ→0的時候存在，且極限值與L的分法及Mi在L的取法無關，則稱極限值為f(x,y)在L上對弧長的曲線積分，記為：∫f(x,y)*ds；其中f(x,y)叫做被積函式，L叫做積分曲線，對弧長的曲線積分也叫第一類曲線積分。

類別曲線積分分為：對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）對坐標軸的曲線積分（第二類曲線積分）兩種曲線積分的區別主要在於積分元素的差別；對弧長的曲線積分的積分元素是弧長元素ds；例如：對L的曲線積分∫f(x,y)*ds。

對坐標軸的曲線積分的積分元素是坐標元素dx或dy，例如：對L’的曲線積分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。

但是對弧長的曲線積分由於有物理意義，通常說來都是正的，而對坐標軸的曲線積分可以根據路徑的不同而取得不同的符號。

其他信息積分聯繫曲線積分對弧長的曲線積分和對坐標軸的曲線積分是可以互相轉化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;這樣對弧長的曲線積分都可以轉換成對坐標軸的曲線積分了。

在曲線積分中，被積的函式可以是標量函式或向量函式。

積分的值是路徑各點上的函式值乘上相應的權重（一般是弧長，在積分函式是向量函式時，一般是函式值與曲線微元向量的標量積）後的黎曼和。

帶有權重是曲線積分與一般區間上的積分的主要不同點。

物理學中的許多簡單的公式（比如說）在推廣之後都是以曲線積分的形式出現。

曲線積分在物理學中是很重要的工具，例如計算電場或重力場中的做功，或量子力學中計算粒子出現的機率。

量子力學量子力學中的“曲線積分形式”和曲線積分並不相同，因為曲線積分形式中所用的積分是函式空間上的泛函積分，即關於空間中每個路徑的機率函式進行積分。

然而，曲線積分在量子力學中仍有重要作用，比如說復圍道積分常常用來計算量子散射理論中的機率振幅。

復分關係如果將複數看作二維的向量，那么二維向量場的曲線積分就是相應復函式的共軛函式在同樣路徑上的積分值的實部。

根據柯西-黎曼方程，一個全純函式的共軛函式所對應的向量場的鏇度是0。

套用在各種保守力的場都是路徑無關的，一個常見的例子就是重力場或電場。

在計算這種場的做功時，可以選擇適當的路徑進行積分，使得計算變得簡單。

相關詞條 曲線 曲線，是微分幾何學研究的主要對象之一。

直觀上，曲線可看成空間質點運動的軌跡。

微分幾何就是利用微積分來研究幾何的學科。

為了能夠套用微積分的知識，我們不能考... 簡介   局部性質   特殊曲線   整體性質 《微分方程所定義的積分曲線》 《微分方程所定義的積分曲線》，作者是秦元勛，由科學出版社於1959年出版，描述的是直接從方程本身尋找答案，這時由方程決定的性質必然是定性的。

這種思想與代... 內容簡介   相關詞條   參考資料 積分[數學術語] 積分是微積分學與數學分析里的一個核心概念。

通常分為定積分和不定積分兩種。

直觀地說，對於一個給定的正實值函式，在一個實數區間上的定積分可以理解為在坐標平面... 基本介紹   術語和標記   嚴格定義   性質   種類 積分幾何學 積分幾何學是通過各種積分考察圖形性質的一門學科，本質上屬於整體微分幾何範疇。

積分幾何的研究從歐氏平面和三維歐氏空間開始，逐步拓廣到高維歐氏和非歐空間，然... 積分幾何學   正文   配圖   相關連線 資源曲線 資源曲線是表達資源計畫的一種形式，它是反映計畫資源配置情況的圖形，也就是與時間進度計畫相應的資源使用計畫。

定義   形成   常用類型 曲線放貸 信貸全面趨緊，多數銀行的個人房貸、消費貸款相較歷年不易獲批。

在此背景下，有銀行推出最長三年期的信用卡預借現金業務，客戶只要在電話中認可，最快一天就可以在... 簡介   借道信用卡曲線放貸   不買基金，房貸沒戲   銀行返價購房者聲討   隱患 積分曲線 積分曲線，是天文學專有名詞。

內容簡介   補充說明   資料來源 路徑積分 路徑積分是由理察費曼發明，就是積分沿著一條曲線或直線。

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