樣本空間與事件

因事件為一集合, 故事件的聯集(union)、交集(intersection)和餘集(complement)仍然是一事件。

設 、 為樣本空間兩個事件, 則可定義出下述事件: (1) 事件 與事件 的聯集 ...            我們要探討的機率通常是由一真正或假想的試驗而來, 而對於每一次的試驗,我們往往事先不知 道試驗結果會如何, 如投擲一公正的銅板一次, 我們事先不知試驗結果會出現正面還是反面。

對 於這種每次可能產生不一定相同的試驗結果,我們稱之為『隨機試驗』(random experiment)。

下面均 為隨機試驗：         (1)投擲一公正的骰子10次。

        (2) 不斷地擲一公正的骰子,每次記錄其出現的點數, 直到累積點數之和超過50才停止。

        (3)從一副52張撲克牌中, 任意抽取5張。

     一隨機試驗, 其所有可能的結果(outcome)之集合,稱為樣本空間(sample space),通常以大寫希臘 字母來表示樣本空間。

如, 丟一銅板一次,觀測所得的結果,則樣本空間包含正面與反面, 即                                   ={正面,反面}。

 又如,投擲一公正的骰子一次, 觀察所得的點數,則                                    ={1,2,3,4,5,6}     若觀測某班學生數學段考成績,假設成績皆為整數, 且最低為0分,最高為100分,則可取0至  100的整數集合, 即                                    ={0,1,2,…,100}。

    如果是觀測某城市一年之車禍次數,則可取非負整數的集合, 即                                    ={0,1,2,…}。

          對於樣本空間中的每一個元素, 便稱為一樣本點(samplepoint),通常以 的小寫表之。

目前我們將只針對樣本空間有限集合或無限集合且與自然數有一對一的對應, 進行討論。

    一旦樣本空間決定了, 便可以考慮事件(event)。

樣本空間的任何一子集合皆為事件, 亦即樣 本點所構成之集合。

通常以大寫英文字母、…等來表示一事件。

如, 投擲一公正的骰子一次, 觀察其出現之點數,則樣本空間={1,2,3,4,5,6}, 若令表點數大於3之事件, 則={4,5,6}; 同 理, 若令表得到偶數之事件,則={2,4,6}。

當樣本空間有個樣本點, 可形成個子集合(因 每個樣本點均有"取"與"不取"兩種情況),因此就有個事件。

　  一事件可依包含樣本點多寡,區分為             (1) 簡單事件(simpleevent):又稱基本事件, 表事件只包含一個樣本點             (2) 複合事件(compositeevent):事件含有兩個或兩個以上之樣本點 如投擲一公正的骰子,令表出現偶數之事件, 表出現點數為4之事件, 則={2,4,6}為一複合 事件, 而={4}為一簡單事件。

此外也有兩個特別的事件:     (i)必然事件:又稱全事件, 表樣本空間本身。

因試驗的結果必定在中, 所以事件必然發    生。

  (ii)不可能事件: 又稱空事件,表空集合。

因它不包含任何元素, 所以試驗結果也一定不屬於    , 也就是事件永遠不會發生, 因此稱之為不可能事件。

　      因事件為一集合, 故事件的聯集(union)、交集(intersection)和餘集(complement)仍然是一事件。

 設、為樣本空間兩個事件, 則可定義出下述事件:   (1) 事件與事件的聯集,稱為與的和事件(sum event),以表示。

即二事件、    至少有一事件會發生的事件。

  (2)  事件與事件的交集,稱為與的積事件(product event), 以表示。

即二事件、    同時發生的事件。

   (3) 在樣本空間內, 但不在事件中之事件, 稱為在中的餘事件(complement event),以    表示。

即發生事件以外的事件。

   (4) 當=, 則稱與為互斥事件(mutuallyexclusive events)。

即二事件、不會同     時發生。

　    由於事件就是集合, 所以關於事件的很多性質,皆可對應集合中的性質, 我們列出一些常見的性 質, 證明則略去。

  設,,為定義於某樣本空間的三事件。

則下述各性質成立:   (i)交換律: ,     (ii)結合律:,    (iii)分配律:  ,   (iv)棣莫根法則:,        註:棣莫根(De Morgan,1806-1871),為英國數學家。

  生活中的實例1:   一袋內有白球7個,紅球3個,試問 (1)若取出一球觀察其顏色,則樣本空間為何?  (2)若依序抽出三球,取後不置回,則樣本空間為何?  [解]:      (1)因袋內只有白球與紅球兩種, 故樣本空間={白球, 紅球}     (2)若以RWR表依序抽出紅球、白球、紅球, 餘類推,則樣本空間為           ={RRR, RRW,RWR,RWW,WRR,WRW,WWR,WWW} 　 隨堂練習1:   一袋內有白球8個,紅球2個, 若依序抽出三球,取後不置回,試問樣本空間中有多少個樣本點?  [解]:7個 　 生活中的實例2:  某人投擲一公正的銅板一次,觀察其出現的情形, 試寫出所有可能的事件。

[解]:        因銅板只有正面與反面, 所以樣本空間={正面, 反面},又樣空間中有2個樣本點,因此 共有4種不同的事件,即,  ,{正面}, {反面}。

　 隨堂練習2 某人投擲一公正的骰子一次,觀察其出現的點數, 則樣本空間中共有多少個事件。

[解]：64個 　 生活中的實例3 一盒中有10個球,球上分別印有號碼1至10, 今由盒中抽出一球,令表抽出球的號碼為偶數的事件,  表抽出球的號碼大於7的事件,試寫出 (1)樣本空間   (2)事件 (3) 事件 (4)與的和事件   (5)與的積 事件 (6)的餘事件。

[解]:  (1)樣本空間為其所有可能出現的號碼,即={1,2,3,…,10}。

(2)={2,4,6,8,10}。

(3)={8,9,10}。

(4)={2,4,6,8,9,10}。

(5)={8,10}。

(6)的餘事件即抽出球的號碼為奇數的事件, 故={1,3,5,7,9}。

　 隨堂練習3:   (1)投擲一公正的骰子,令表出現點數為偶數的事件, 表出現點數不超過4的事件, 試問 、二事件是否互斥? (2)一袋中有3個紅球,2個黑球,1個白球,從袋中任取一球, 令表抽出紅球的事件, 表抽出 黑球的事件, 試問、二事件是否互斥? [解]:(1)不互斥,(2)互斥。

                                 設有一列北上的火車, 已知停靠的站由南至北分別為S1,S2,…S10等10站。

若甲在S3站買票,乙在 S6站買票。

設樣本空間表火車所有可能停靠的站, 令事件表甲可能到達的站, 事件表乙可 能到達的站。

試問 (1)樣本空間為何?  (2) 與的和事件為何? (3) ,二事件是否互斥? (4)鐵路局共需準備多少種北上的車票? 　 [解答](1)　={S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10}。

(2) ={S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10}。

(3) 不互斥 (4) 45種 設本週值日生由三男(甲、乙、丙)及二女(丁、戊)所組成。

若規定本週5個上課日中, 每天兩名 值日生中至少需有一名男生。

試問此樣本空間共有多少個樣本點。

設樣本空間={1,2,3,4,5,6,7} , 試問 (1)中共有多少種不同的事件? (2)含三個樣本點之事件有多少個? (3)含五個樣本點之事件有多少個? 有三位學生各出剪刀、石頭、布猜拳, 若樣本空間表每位學生出的拳,試問 (1)樣本空間共有多少個樣本點? (2)三人彼此不分勝負的事件有多少個? 設樣本空間={1,2,3},若有一事件={1},  試求在中與互斥的事件有多少個? 假設有一特製的骰子,其六個面的點數分別為2,3,4,5,6,7。

現在同時投擲公正的這種骰 子兩個。

若樣本空間表兩個骰子出現之點數, 表示兩個骰子和為9的事件, 表示 骰子和大於10的事件。

試問 (1)樣本空間中有多少個不同的樣本點, (2) 與的和事件共有多少個樣本點, (3) 與是否為互斥事件。

[解答部分] 1.9個。

2.(1)128,(2)35,(3)21。

3.(1)27,(2)9。

4.4個。

5.(1)36,(2)21,(3)是。