常微分程求解：基本問題剖析，奧依勒法、泰勒展開

在微分方程式的問題中，f(x,y) 為所給定的已知，而y(x) 則是未知且希望求得的解。

我們要如何求解y(x) ？ Euler （奧依勒）演算法. 在Δx → 0 的情形下 ... 常微分程求解：基本問題剖析，奧依勒法、泰勒展開與高階方法   微分方程式 微分方程式是方程式，所以有等號，並且待求解的未知函數有以導數（對函數的自變數微分）出現在式子中者，即為微分方程式。

（如果完全沒有微分符號出現在式子中的就不算）   在微分方程式中，又分： 常微分方程式　(OrdinaryDifferentialEquation) 只有一個變數 偏微分方程式　(PartialDifferentialEquation) 有多於一個自變數     處理高階微分方程的(數值)方法 一個常微分方程式的一般形如下： 透過令一階導數y'(x)=z(x)，就可以把原本一個二階的ODE化成兩個聯立的一階之ODE，如下： 一個二階ODE原本就需要兩個條件來決定兩個待定的積分常數，而兩個一階的ODE則變各需一個，也是兩個，因此剛好，完全沒有改變原本該有之解的本質。

同理推之，任何n階ODE皆可等效地轉換為n個一階的ODE。

因此，我們所需要關心的是，像具有以下這種通式形式的一階ODE該如何求其數值解yi(x)，注意y1、y2、...、yN分別代表原待求函數y(x)、y'(x)、...、y(N-1)(x)等，一共有N個，要同時滿足下列N條方程式： 注意等號右手邊的fi可以是各階導數yi的顯函數。

    Euler演算法 一階微分方程式的程式 最一般形式的一階微分方程式，是如下的形式： dy/dx=f(x,y) 其中f(x,y)可次是任何以x,y為自變數的顯函數。

在微分方程式的問題中，f(x,y)為所給定的已知，而y(x)則是未知且希望求得的解。

我們要如何求解y(x)？   Euler（奧依勒）演算法 在Δx→0的情形下Δy/Δx=dy/dx=f(x,y)，也就是說Δy=f(x,y)Δx。

把x分成許多等間隔的小單位，即Δy≡yn+1-yn、Δx≡xn+1-xn，則上式成為 yn+1-yn=f(xn,yn)Δx，也就是說 yn+1=yn+f(xn,yn)Δx 上式就是Euler演算法，它告訴我們只要知道第n格的y(x)值yn，就可以算得下一格的y(x)值yn+1，故只要知道y(x)在某個x0處的起始值y(x0) （在不參考任何資料的情況下，要能推導出Euler演算法的公式）     高階（誤差項）的方法 從泰勒展開式的角度來看， y(x+Δx)=y(x)+y'(x)Δx+O(Δx2) 也就是說， y(x+Δx)=y(x)+f(x,y)Δx+O(Δx2) 這是所謂的一階方法，它最高次的精確項是Δx的一次方項，後面的O(Δx2)代表所有的誤差都在Δx的二次方（含）以上。

像Euler演算法這樣的一階方法是有缺點的，簡單地說，它的準確度不夠。

或許你會想，Δx取小一點就會比較精確，比方說，取為原來的十分之一大小，然而，這也意味著同一個問題的的切割區間數多了十倍，運算次數就要多十倍，如比進位誤差就會很大。

（所謂的進位誤差成截斷誤差，是指由於電腦中只能保留有限個位數，因此數據的最後一位在每一次進行運算時便不免有誤差，且運算次數多時，誤差還會被進到前面的位數。

） 你或許又想，即然如此，那就做更高次的好了，也就是把Δx2甚至更高次項的公式也寫下來，不就很精準了嗎？但是不行，在使用電腦做數值計算時，我們是絕對不能把兩個很小的數值乘在一起的，因為電腦內沒有足夠的位數來表示它們乘積的結果，這樣做所導致的誤差是災難性的。

  半步方法 利用泰勒展開式，但只在半步展開的策略，可以幫助我們建立更精準的高階方法，而卻一樣只需要用到Δx的一次方。

以下是Gould與Tobochnick的AnIntroductiontoComputerSimulationMethods教科書附錄中所介紹之兩種的方法的比較，其中Euleralgorithm是一階方法，而Euler-Richardsonalgorithm則是二階方法，也就是說，表示法仍只是Δx的一次方，而誤差的部分確是三階（含）或以上的O(Δx3)，這是怎麼辦到的，讓我們看以下的推導： 我們在這裏學到的經驗是，透過求值在半步的斜率，回到出發點用以推進積分的下一整步步（解微分的問題事實上這相當於是積分），如此"以退為進"的方法，可以大幅提高精確度。

其實，除了這個可達二階精確度的方法外，更高階精確度的方法也是存在，並且是利用類似的策略所推導出來的。

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