常微分方程式- 維基百科，自由的百科全書

在數學分析中，常微分方程式（英語：ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函數只含有一個自變數的微分方程式。

對於微積分的基本概念，請參見微積分、微分 ... 常微分方程式 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 系列條目微積分學 函數 極限論 微分學 積分 微積分基本定理 微積分發現權之爭（英語：Leibniz–Newtoncalculuscontroversy） 基礎概念（含極限論和級數論） 實數性質 函數 ·單調性 ·初等函數 ·數列 ·極限 ·實數的構造（1=0.999…） ·無窮大（銜尾蛇） ·無窮小量 ·ε-δ式定義（英語：(ε,δ)-definitionoflimit） ·實無窮（英語：Actualinfinity） ·大O符號 ·上確界 ·收斂數列 ·芝諾悖論 ·柯西序列 ·單調收斂定理 ·夾擠定理 ·波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理 ·斯托爾茲－切薩羅定理 ·上極限和下極限 ·函數極限 ·漸近線 ·鄰域 ·連續 ·連續函數 ·間斷點 ·狄利克雷函數 ·稠密集 ·均勻連續 ·緊緻集 ·海涅－鮑萊耳定理 ·支撐集 ·歐幾里得空間 ·內積 ·外積 ·混合積 ·拉格朗日恆等式 ·等價範數 ·坐標系 ·多元函數 ·凸集 ·壓縮映射原理 ·級數 ·收斂級數（英語：convergentseries） ·幾何級數 ·調和級數 ·項測試 ·格蘭迪級數 ·收斂半徑 ·審斂法 ·柯西乘積 ·黎曼級數重排定理 ·函數項級數（英語：functionseries） ·均勻收斂 ·迪尼定理 數列與級數 連續 函數 一元微分 差分 ·差商 ·微分 ·微分的線性（英語：linearityofdifferentiation） ·導數（流數法 ·二階導數 ·光滑函數 ·高階微分 ·萊布尼茲記號（英語：Leibniz's_notation） ·幽靈似的消失量） ·介值定理 ·微分均值定理（羅爾定理 ·拉格朗日均值定理 ·柯西均值定理） ·泰勒公式 ·求導法則（乘法定則 ·廣義萊布尼茨定則（英語：GeneralLeibnizrule） ·除法定則 ·倒數定則 ·連鎖律） ·羅必達法則 ·反函數及其微分 ·FaàdiBruno公式（英語：FaàdiBruno'sformula） ·對數微分法 ·導數列表 ·導數的函數應用（單調性 ·切線 ·極值 ·駐點 ·反曲點 ·求導檢測（英語：derivativetest） ·凸函數 ·凹函數 ·琴生不等式 ·曲線的曲率 ·埃爾米特插值） ·達布定理 ·魏爾斯特拉斯函數 一元積分 積分表 定義 不定積分 定積分 黎曼積分 達布積分 勒貝格積分 積分的線性 求積分的技巧（換元積分法 ·三角換元法 ·分部積分法 ·部分分式積分法 ·降次積分法）微元法 ·積分第一均值定理 ·積分第二均值定理 ·牛頓-萊布尼茨公式 ·反常積分 ·柯西主值 ·積分函數（Β函數 ·Γ函數 ·古德曼函數 ·橢圓積分） ·數值積分（矩形法 ·梯形法 ·辛普森積分法 ·牛頓-寇次公式） ·積分判別法 ·傅立葉級數（狄利克雷定理 ·週期延拓） ·魏爾斯特拉斯逼近定理 ·帕塞瓦爾定理 ·萊歐維爾定理 多元微積分 偏導數 ·隱函數 ·全微分（微分的形式不變性） ·二階導數的對稱性 ·全導數 ·方向導數 ·純量場 ·向量場 ·梯度（Nabla算子） ·多元泰勒公式 ·拉格朗日乘數 ·海森矩陣 ·鞍點 ·多重積分（逐次積分（英語：iteratedintegral） ·積分順序（英語：Orderofintegration(calculus)）） ·積分估值定理 ·旋轉體 ·帕普斯-古爾丁中心化旋轉定理 ·祖暅-卡瓦列里原理 ·托里拆利小號 ·雅可比矩陣 ·廣義多重積分（高斯積分） ·若爾當曲線 ·曲線積分 ·曲面積分（施瓦茨的靴（俄語：СапогШварца）） ·散度 ·旋度 ·通量 ·可定向性 ·格林公式 ·高斯公式 ·斯托克斯公式及其外微分形式 ·若爾當測度 ·隱函數定理 ·皮亞諾-希爾伯特曲線 ·積分轉換 ·摺積定理 ·積分符號內取微分(萊布尼茨積分定則（英語：Leibnizintegralrule）) ·多變數原函數的存在性（全微分方程式） ·外微分的映射原像存在性（恰當形式） ·向量值函數 ·向量空間內的導數推廣（英語：generalizationsofthederivative）（加托導數 ·弗雷歇導數（英語：Fréchetderivative） ·矩陣的微積分（英語：matrixcalculus）） ·弱導數 微分方程式 常微分方程式 ·柯西-利普希茨定理 ·皮亞諾存在性定理 ·分離變數法 ·級數展開法 ·積分因子 ·拉普拉斯算子 ·歐拉方法 ·柯西-歐拉方程式 ·伯努利微分方程式 ·克萊羅方程式 ·全微分方程式 ·線性微分方程式 ·疊加原理 ·特徵方程式 ·朗斯基行列式 ·微分算子法 ·差分方程式 ·拉普拉斯轉換法 ·偏微分方程式（拉普拉斯方程式 ·卜瓦松方程式） ·史特姆-萊歐維爾理論 ·N體問題 ·積分方程式 相關數學家 牛頓 ·萊布尼茲 ·柯西 ·魏爾斯特拉斯 ·黎曼 ·拉格朗日 ·歐拉 ·帕斯卡 ·海涅 ·巴羅 ·波爾查諾 ·狄利克雷 ·格林 ·斯托克斯 ·若爾當 ·達布 ·傅立葉 ·拉普拉斯 ·雅各布·伯努利 ·約翰·伯努利 ·阿達馬 ·麥克勞林 ·迪尼 ·沃利斯 ·費馬 ·達朗貝爾 ·黑維塞 ·吉布斯 ·奧斯特羅格拉德斯基 ·萊歐維爾 ·棣美弗 ·格雷果里 ·瑪達瓦（英語：MadhavaofSangamagrama） ·婆什迦羅第二 ·阿涅西 ·阿基米德 歷史名作 從無窮小量分析來理解曲線（英語：AnalysedesInfinimentPetitspourl'IntelligencedesLignesCourbes） ·分析學教程（英語：Coursd'Analyse） ·無窮小分析引論 ·用無窮級數做數學分析（英語：Deanalysiperaequationesnumeroterminoruminfinitas） ·流形上的微積分（英語：CalculusonManifolds(book)） ·微積分學教程 ·純數學教程（英語：ACourseofPureMathematics） ·機械原理方法論（英語：TheMethodofMechanicalTheorems） 分支學科 實變函數論 ·複變函數論 ·傅立葉分析 ·變分法 ·特殊函數 ·動態系統 ·微分幾何 ·微分代數 ·向量分析 ·分數微積分 ·瑪里亞溫微積分（英語：Malliavincalculus） ·隨機分析 ·最佳化 ·非標準分析 閱論編 在數學分析中，常微分方程式（英語：ordinarydifferentialequation，簡稱ODE）是未知函數只含有一個自變數的微分方程式。

對於微積分的基本概念，請參見微積分、微分學、積分學等條目。

很多科學問題都可以表示為常微分方程式，例如根據牛頓第二運動定律，物體在力的作用下的位移 s {\displaystyles} 和時間 t {\displaystylet} 的關係就可以表示為如下常微分方程式： m d 2 s d t 2 = f ( s ) {\displaystylem{\frac{d^{2}s}{dt^{2}}}=f(s)} ； 其中 m {\displaystylem} 是物體的質量， f ( s ) {\displaystylef(s)} 是物體所受的力，是位移的函數。

所要求解的未知函數是位移 s {\displaystyles} ，它只以時間 t {\displaystylet} 為自變數。

精確解總結[編輯] 一些微分方程式有精確封閉形式的解，這裡給出幾個重要的類型。

在下表中， P ( x ) , Q ( x ) ; P ( y ) , Q ( y ) {\displaystyleP(x),Q(x);P(y),Q(y)} 和 M ( x , y ) , N ( x , y ) {\displaystyleM(x,y),N(x,y)} 是任意關於 x , y {\displaystylex,y} 的可積（英語：Integrable）函數， b , c {\displaystyleb,c} 是給定的實常數， C , C 1 , C 2 … {\displaystyleC,C_{1},C_{2}\ldots} 是任意常數(一般為複數)。

這些微分方程式的等價或替代形式通過積分可以得到解。

在積分解中， λ {\displaystyle\lambda} 和 ϵ {\displaystyle\epsilon} 是積分變數（求和下標的連續形式），記號 ∫ x F ( λ ) d λ {\displaystyle\int^{x}F(\lambda)d\lambda} 只表示 F ( λ ) {\displaystyleF(\lambda)} 對 λ {\displaystyle\lambda} 積分，在積分以後 λ = x {\displaystyle\lambda{}=x} 替換，無需加常數（明確說明）。

微分方程式 解法 通解 可分離方程式 一階，變數 x {\displaystylex} 和 y {\displaystyley} 均可分離（一般情況,下面有特殊情況）[1] P 1 ( x ) Q 1 ( y ) + P 2 ( x ) Q 2 ( y ) d y d x = 0 {\displaystyleP_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac{dy}{dx}}=0\,\!} P 1 ( x ) Q 1 ( y ) d x + P 2 ( x ) Q 2 ( y ) d y = 0 {\displaystyleP_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy=0\,\!} 分離變數（除以 P 2 Q 1 {\displaystyleP_{2}Q_{1}} ）。

∫ x P 1 ( λ ) P 2 ( λ ) d λ + ∫ y Q 2 ( λ ) Q 1 ( λ ) d λ = C {\displaystyle\int^{x}{\frac{P_{1}(\lambda)}{P_{2}(\lambda)}}\,d\lambda+\int^{y}{\frac{Q_{2}(\lambda)}{Q_{1}(\lambda)}}\,d\lambda=C\,\!} 一階，變數 x {\displaystylex} 可分離[2] d y d x = F ( x ) {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=F(x)\,\!} d y = F ( x ) d x {\displaystyledy=F(x)\,dx\,\!} 直接積分。

y = ∫ x F ( λ ) d λ + C {\displaystyley=\int^{x}F(\lambda)\,d\lambda+C\,\!} 一階自治，變數 y {\displaystyley} 可分離[2] d y d x = F ( y ) {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=F(y)\,\!} d y = F ( y ) d x {\displaystyledy=F(y)\,dx\,\!} 分離變數（除以 F {\displaystyleF} ）。

x = ∫ y d λ F ( λ ) + C {\displaystylex=\int^{y}{\frac{d\lambda}{F(\lambda)}}+C\,\!} 一階，變數 x {\displaystylex} 和 y {\displaystyley} 均可分離[2] P ( y ) d y d x + Q ( x ) = 0 {\displaystyleP(y){\frac{dy}{dx}}+Q(x)=0\,\!} P ( y ) d y + Q ( x ) d x = 0 {\displaystyleP(y)\,dy+Q(x)\,dx=0\,\!} 整個積分。

∫ y P ( λ ) d λ + ∫ x Q ( λ ) d λ = C {\displaystyle\int^{y}P(\lambda)\,{d\lambda}+\int^{x}Q(\lambda)\,d\lambda=C\,\!} 一般一階微分方程式 一階，齊次[2] d y d x = F ( y x ) {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=F\left({\frac{y}{x}}\right)\,\!} 令 y = u x {\displaystyley=ux} ，然後通過分離變數 u {\displaystyleu} 和 x {\displaystylex} 求解. ln ⁡ ( C x ) = ∫ y x d λ F ( λ ) − λ {\displaystyle\ln(Cx)=\int^{\frac{y}{x}}{\frac{d\lambda}{F(\lambda)-\lambda}}\,\!} 一階，可分離變數[1] y M ( x y ) + x N ( x y ) d y d x = 0 {\displaystyleyM(xy)+xN(xy)\,{\frac{dy}{dx}}=0\,\!} y M ( x y ) d x + x N ( x y ) d y = 0 {\displaystyleyM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy=0\,\!} 分離變數（除以 x y {\displaystylexy} ）。

ln ⁡ ( C x ) = ∫ x y N ( λ ) d λ λ [ N ( λ ) − M ( λ ) ] {\displaystyle\ln(Cx)=\int^{xy}{\frac{N(\lambda)\,d\lambda}{\lambda[N(\lambda)-M(\lambda)]}}\,\!} 如果 N = M {\displaystyleN=M} ,解為 x y = C {\displaystylexy=C} . 恰當微分,一階[2] M ( x , y ) d y d x + N ( x , y ) = 0 {\displaystyleM(x,y){\frac{dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!} M ( x , y ) d y + N ( x , y ) d x = 0 {\displaystyleM(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\!} 其中 ∂ M ∂ x = ∂ N ∂ y {\displaystyle{\frac{\partialM}{\partialx}}={\frac{\partialN}{\partialy}}\,\!} 整個積分。

F ( x , y ) = ∫ y M ( x , λ ) d λ + ∫ x N ( λ , y ) d λ + Y ( y ) + X ( x ) = C {\displaystyle{\begin{aligned}F(x,y)&=\int^{y}M(x,\lambda)\,d\lambda+\int^{x}N(\lambda,y)\,d\lambda\\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}\,\!} 其中 Y ( y ) {\displaystyleY(y)} 和 X ( x ) {\displaystyleX(x)} 是積分出來的函數而不是常數，將它們列在這裡以使最終函數 F ( x , y ) {\displaystyleF(x,y)} 滿足初始條件。

反常微分,一階[2] M ( x , y ) d y d x + N ( x , y ) = 0 {\displaystyleM(x,y){\frac{dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!} M ( x , y ) d y + N ( x , y ) d x = 0 {\displaystyleM(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\!} 其中 ∂ M ∂ x ≠ ∂ N ∂ y {\displaystyle{\frac{\partialM}{\partialx}}\neq{\frac{\partialN}{\partialy}}\,\!} 積分變數 μ ( x , y ) {\displaystyle\mu(x,y)} 滿足 ∂ ( μ M ) ∂ x = ∂ ( μ N ) ∂ y {\displaystyle{\frac{\partial(\muM)}{\partialx}}={\frac{\partial(\muN)}{\partialy}}\,\!} 如果可以得到 μ ( x , y ) {\displaystyle\mu(x,y)} ： F ( x , y ) = ∫ y μ ( x , λ ) M ( x , λ ) d λ + ∫ x μ ( λ , y ) N ( λ , y ) d λ + Y ( y ) + X ( x ) = C {\displaystyle{\begin{aligned}F(x,y)&=\int^{y}\mu(x,\lambda)M(x,\lambda)\,d\lambda+\int^{x}\mu(\lambda,y)N(\lambda,y)\,d\lambda\\&+Y(y)+X(x)=C\\\end{aligned}}\,\!} 一般二階微分方程式 二階,自治[3] d 2 y d x 2 = F ( y ) {\displaystyle{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)\,\!} 原方程式乘以 2 d y d x {\displaystyle{\frac{2\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}} ,代換 2 d y d x d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) 2 {\displaystyle2{\frac{dy}{dx}}{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac{d}{dx}}\left({\frac{dy}{dx}}\right)^{2}\,\!} ,然後兩次積分. x = ± ∫ y d λ 2 ∫ λ F ( ϵ ) d ϵ + C 1 + C 2 {\displaystylex=\pm\int^{y}{\frac{d\lambda}{\sqrt{2\int^{\lambda}F(\epsilon)\,d\epsilon+C_{1}}}}+C_{2}\,\!} 線性方程式(最高到 n {\displaystylen} 階) 一階線性，非齊次的函數係數[2] d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)\,\!} 積分因子: e ∫ x P ( λ ) d λ {\displaystylee^{\int^{x}P(\lambda)\,d\lambda}} . y = e − ∫ x P ( λ ) d λ [ ∫ x e ∫ λ P ( ϵ ) d ϵ Q ( λ ) d λ + C ] {\displaystyley=e^{-\int^{x}P(\lambda)\,d\lambda}\left[\int^{x}e^{\int^{\lambda}P(\epsilon)\,d\epsilon}Q(\lambda)\,{d\lambda}+C\right]} 二階線性，非齊次的常係數[4] d 2 y d x 2 + b d y d x + c y = r ( x ) {\displaystyle{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac{dy}{dx}}+cy=r(x)\,\!} 余函數 y c {\displaystyley_{c}} :設 y c = e α x {\displaystyley_{c}=\mathrm{e}^{\alphax}} ，代換並解出 α {\displaystyle\alpha} 中的多項式，求出線性獨立函數 e α j x {\displaystylee^{\alpha_{j}x}} 。

特解 y p {\displaystyley_{p}} ：一般運用常數變易法（英語：methodofvariationofparameters），雖然對於非常容易的 r ( x ) {\displaystyler(x)} 可以直觀判斷。

[2] y = y c + y p {\displaystyley=y_{c}+y_{p}} 如果 b 2 > 4 c {\displaystyleb^{2}>4c} ,則: y c = C 1 e ( − b + b 2 − 4 c ) x 2 + C 2 e − ( b + b 2 − 4 c ) x 2 {\displaystyley_{c}=C_{1}e^{\left(-b+{\sqrt{b^{2}-4c}}\right){\frac{x}{2}}}+C_{2}e^{-\left(b+{\sqrt{b^{2}-4c}}\right){\frac{x}{2}}}\,\!} 如果 b 2 = 4 c {\displaystyleb^{2}=4c} ,則: y c = ( C 1 x + C 2 ) e − b x 2 {\displaystyley_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac{bx}{2}}}\,\!} 如果 b 2 < 4 c {\displaystyleb^{2}<4c} ,則: y c = e − b x 2 [ C 1 sin ⁡ ( | b 2 − 4 c | x 2 ) + C 2 cos ⁡ ( | b 2 − 4 c | x 2 ) ] {\displaystyley_{c}=e^{-{\frac{bx}{2}}}\left[C_{1}\sin{\left({\sqrt{\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac{x}{2}}\right)}+C_{2}\cos{\left({\sqrt{\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac{x}{2}}\right)}\right]\,\!} n {\displaystylen} 階線性，非齊次常係數[4] ∑ j = 0 n b j d j y d x j = r ( x ) {\displaystyle\sum_{j=0}^{n}b_{j}{\frac{d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)\,\!} 余函數 y c {\displaystyley_{c}} ：設 y c = e α x {\displaystyley_{c}=\mathrm{e}^{\alphax}} ，代換並解出 α {\displaystyle\alpha} 中的多項式，求出線性獨立函數 e α j x {\displaystylee^{\alpha_{j}x}} . 特解 y p {\displaystyley_{p}} ：一般運用常數變易法（英語：methodofvariationofparameters），雖然對於非常容易的 r ( x ) {\displaystyler(x)} 可以直觀判斷。

[2] y = y c + y p {\displaystyley=y_{c}+y_{p}} 由於 α j {\displaystyle\alpha_{j}} 為 n {\displaystylen} 階多項式的解： ∏ j = 1 n ( α − α j ) = 0 {\displaystyle\prod_{j=1}^{n}\left(\alpha-\alpha_{j}\right)=0\,\!} ，於是： 對於各不相同的 α j {\displaystyle\alpha_{j}} ， y c = ∑ j = 1 n C j e α j x {\displaystyley_{c}=\sum_{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha_{j}x}\,\!} 每個根 α j {\displaystyle\alpha_{j}} 重複 k j {\displaystylek_{j}} 次， y c = ∑ j = 1 n ( ∑ ℓ = 1 k j C ℓ x ℓ − 1 ) e α j x {\displaystyley_{c}=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{\ell=1}^{k_{j}}C_{\ell}x^{\ell-1}\right)e^{\alpha_{j}x}\,\!} 對於一些複數值的αj，令α=χj+iγj，使用歐拉公式，前面結果中的一些項就可以寫成 C j e α j x = C j e χ j x cos ⁡ ( γ j x + ϕ j ) {\displaystyleC_{j}e^{\alpha_{j}x}=C_{j}e^{\chi_{j}x}\cos(\gamma_{j}x+\phi_{j})\,\!} 的形式，其中ϕj為任意常數（相移）。

參見[編輯] 微分方程式 偏微分方程式 參考資料[編輯] ^1.01.1MathematicalHandbookofFormulasandTables(3rdedition),S.Lipschutz,M.R.Spiegel,J.Liu,Schuam'sOutlineSeries,2009,ISC_2N978-0-07-154855-7 ^2.02.12.22.32.42.52.62.72.8ElementaryDifferentialEquationsandBoundaryValueProblems(4thEdition),W.E.Boyce,R.C.Diprima,WileyInternational,JohnWiley&Sons,1986,ISBN0-471-83824-1 ^FurtherElementaryAnalysis,R.Porter,G.Bell&Sons(London),1978,ISBN0-7135-1594-5 ^4.04.1Mathematicalmethodsforphysicsandengineering,K.F.Riley,M.P.Hobson,S.J.Bence,CambridgeUniversityPress,2010,ISC_2N978-0-521-86153-3 規範控制 NDL:00574993 NKC:ph123625 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=常微分方程&oldid=70570101」 分類：​常微分方程微分學隱藏分類：​使用ISBN魔術連結的頁面含有英語的條目包含NDL標識符的維基百科條目包含NKC標識符的維基百科條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةAsturianuAzərbaycancaБашҡортсаБългарскиবাংলাCatalàČeštinaЧӑвашлаDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiفارسیFrançaisGalegoעבריתहिन्दीMagyarՀայերենBahasaIndonesiaItaliano日本語한국어МонголBahasaMelayuPolskiPortuguêsRomânăРусскийScotsසිංහලSimpleEnglishSlovenčinaСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்TagalogTürkçeУкраїнськаTiếngViệt粵語 編輯連結