Navier-Stokes方程式的無因次化 - 科技雞湯

在了解無因次化之前，我們要先來看看什麼是因次(Dimension)，而因次是一種用來描述某個物理量組成的方式。

... 那麼適當變換參數指的是什麼意思呢？ Skiptocontent首頁關於科技解密產品設計CAE法律主廚私藏聯絡Menu首頁關於科技解密產品設計CAE法律主廚私藏聯絡先前分別介紹連續方程式、Navier-Stokes方程式與能量守恆方程式，今天要來跟各位說明Navier-Stokes方程式的無因次化。

看到這兒，心裡肯定有個疑惑，什麼是無因次化呢？無因次化又能帶來什麼好處？底下就來跟大家聊聊！Navier-Stokes方程式無因次化什麼是因次？在了解無因次化之前，我們要先來看看什麼是因次(Dimension)，而因次是一種用來描述某個物理量組成的方式。

舉例來說，速度等於長度除以時間，如果長度與時間的因次符號分別為L與T，速度的因次就可以表示成Lt^{-1}。

從速度的因次分析可知速度這個物理量與長度還有時間相關，而時間與長度皆為基本因次(Primarydimension)。

所有的物理量都能用基本因次表示，如底下圖1所示：圖1基本因次符號與單位要特別注意的是，因次與單位不同。

以長度為例，雖然長度為基本因次，但長度單位可以是釐米、毫米等等，因次本身並不包含數值，而單位則是讓因次能以數值表現的一種測量方式。

什麼是無因次化？了解因次之後，再來看看什麼是無因次化(Non-dimensionalization)。

前面提到每個物理量都可以用因次式表示，對於一個物理方程式而言，方程式各項有著因次相同的特點，這又稱為因次齊次定律(LawofDimensionalHomogeneity)。

基於這個特點，只要適當變換參數，就能讓方程式不存在因次關係。

那麼適當變換參數指的是什麼意思呢？以式(1)這個例子來看，長度因次為L，除以某個特徵長度L_0，由於因次相消，參數L*為無因次參數。

藉由特定的特徵參數操作，便能讓方程式各項無因次化。

L^*=\frac{L}{L_0}-(1)Navier-Stokes方程式如何無因次化？說了這麼多，Navier-Stokes方程式如何無因次化呢？開始之前先來回憶原本的Navier-Stokes方程式，如式(2)所示(推薦閱讀：Navier-Stokes方程式介紹與推導)，相對應的無因次化參數可參照式(3)。

\frac{\partialV}{\partialt}+(V\cdot\triangledown)V=-\triangledownp+\mu\triangledown^{2}V-(2)\begin{cases}&\V^*=\frac{V}{V_{ch}}\\&\L^*=\frac{L}{L_{ch}}\Rightarrow\triangledown^*=L\triangledown\\&\t^*=\frac{t}{L_{ch}/V_{ch}}\\&\p^*=\frac{p}{\rhoV^2_{ch}}\end{cases}-(3)式(3)中的上標*代表無因次參數，下標ch為特徵參數。

由於Navier-Stokes方程式包含速度、時間、長度、壓力這幾項變數，故選擇這幾項變數來做無因次化。

將式(3)代入式(2)後可得式(4)，再化簡一下可得式(5)。

\rho(\frac{V_{ch}}{L_{ch}/V_{ch}}\frac{\partialV^*}{\partialt^*}+\frac{V^2_{ch}}{L_{ch}}(V^*\cdot\triangledown^*)V^*)=-\frac{\rhoV^2_{ch}}{L_{ch}}\triangledown^*p^*+\mu\frac{V_{ch}}{L^2_{ch}}{\triangledown^*}^{2}V^*-(4)\rho(\frac{\partialV^*}{\partialt^*}+(V^*\cdot\triangledown^*)V^*)=-\triangledown^*p^*+\frac{\mu}{\rhoV_{ch}L_{ch}}{\triangledown^*}^{2}V^*-(5)式(5)的黏性力項係數即為無因次化參數，為了方便稱呼，將該無因次化參數的倒數稱為雷諾數(Reynoldsnumber)，如式(6)。

雖然式(6)中的符號V與L省略下標ch，但指的仍是特徵速度與特徵長度。

Re=\frac{\rhoVL}{\mu}-(6)將式(6)的雷諾數代回式(5)，即可得最後無因次化的Navier-stokes方程式，如式(7)。

\rho(\frac{\partialV^*}{\partialt^*}+(V^*\cdot\triangledown^*)V^*)=-\triangledown^*p^*+\frac{1}{Re}{\triangledown^*}^{2}V^*-(7)無因次化帶來什麼好處？前面講了這麼多，無因次化究竟能帶來什麼好處？以Navier-Stokes方程式來說，原先方程式的物理參數包含速度、壓力、密度等等，每調整一次參數就做一次實驗的話，實驗次數也會很多。

透過無因次化的方法，可以將所有參數統整成雷諾數，只要調整雷諾數並搭配適當參數變化，就能減少實驗次數。

另一個好處則是某些實驗參數無法以現有設備測量的時候，只要確保雷諾數一致，就能用另一組可量測實驗參數模擬出原有參數的特性，解決原先實驗無法測量的困難。

打個比方來說，測試阻力的物體因尺寸太大而無法以現有設備量測的話，在雷諾數一致的情況下，可用縮小模型來測試。

由於特徵長度改變，如果流體介質不變，就能藉由風速改變來量測縮小模型的阻力，進而推算原先物體所受阻力。

主廚結語本次跟各位講解Navier-Stokes方程式的無因次化流程，雖然無因次化並不算計算流體力學的主要內容，但對於流體力學而言確是重要的觀念，往後介紹CFD的時候，也許還有機會遇到無因次化，因此還是先跟大家聊聊這塊！如果有任何問題的話，歡迎在下方留言！參考資料FacultyofKhan,NondimensionalizingtheNavier-StokesEquation,https://www.youtube.com/watch?v=8CIPQNfMe5k相關文章:偏微分方程分類對流動特性的探討拓樸最佳化基本介紹與應用發展文章導覽←Previous文章Next文章→LeaveaCommentCancelReply發佈留言必須填寫的電子郵件地址不會公開。

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