代數導論(1.2) - 群的例子 - HackMD

代數導論(1.2) - 群的例子[TOC] 除了一些顯而易見的$\mathbb R$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$ 等數係之外，還有一些群的例子： ## 例子：矩.       Published LinkedwithGitHub Like Bookmark Subscribe Edit #代數導論(1.2)-群的例子 [TOC] 除了一些顯而易見的$\mathbbR$,$\mathbbZ$,$\mathbbQ$等數係之外，還有一些群的例子： ##例子：矩陣 若令： $$ GL(n,\mathbbQ)=\{A_{n\timesn}:A_{ij}\in\mathbbQ\text{and}\det(A)\neq0\} $$ 則$GL(n,\mathbbQ)$搭配上矩陣乘法「$\cdot$」也是一個群。

又比如： $$ GL(n,\mathbbZ)=\{B_{n\timesB}:B_{ij}\in\mathbbZ\text{and}\det(B)=\pm1\} $$ 也是一個群。

##例子：集合上的雙射 :::warning 假定$X$是一個集合。

令： $$ S_X=\{f\midf:X\toX\text{and}f\text{isbijective}\} $$ 那麼$S_X$與函數合成$\circ$構成一個群。

::: 像這樣由「在集合$X$上的所有雙射」所形成的群，稱作「對稱群」，通常會簡記成$S_X$。

首先，函數合成已經有結合律，所以結合律已經有保證;除此之外，雙射函數必定存在反函數，所以這也保證了。

最後，單位元取： $$ I:X\toX\text{where}I(x)=x $$ 這個$f$就是單位元。

很明顯他是個雙射，而且自己就是自己的反元素。

如果任何$f\inI_x$跟他合成，則對於任意$x\inX$，有： $$ \begin{cases} (f\circI)(x)=f(I(x))=f(x) \newline (I\circf)(x)=I(f(x))=f(x) \end{cases} $$ 既然對於每一個$x\inX$都對，因此： $$ \begin{cases} f\circI=f \newline I\circf=f \end{cases} $$ 也就是說，他是個$S_X$中的單位元。

##例子：對稱群 當討論如： $$ A=\{1,2\dotsn\} $$ 這類由連續正整數所形成的集合上的雙射時，會特別用$S_n$這個符號表示這個對稱群。

即： $$ S_n=\{f\midf:A\toA\text{and}f\text{isbijective}\} $$ 比如說：$\{1,2,3,4,5\}$這個集合上的所有雙射，用$S_5$來表示。

而這樣的集合上的雙射，其實就是把$1\dotsn$這$n$個數字進行重排(*permutation*)。

###性質：對稱群的循環表示 任何一個$S_n$中的元素都可以用「循環」來表示。

比如說考慮$S_3$，令這三個元素為$\{1,2,3\}$，並且假定： $$ \begin{align} f(1)&=2 \newline f(2)&=3 \newline f(3)&=1 \end{align} $$ 為了方便，碰到需要像上面這種列舉$f$的每一個值的狀況時，會把它簡記成像下面這樣： $$ f=\begin{pmatrix} 1&2&3 \newline 2&3&1 \end{pmatrix} $$ 第一列是定義域中的每個元素，第二列則是值域。

接著，可以觀察到：$1$,$2$,$3$這三個元素，在$f$的不斷作用下，結果會形成一個循環。

$f(1)$會得到$2$，而$f(2)$會得到$3$，最後$f(3)$又會回到$1$： $$ 1\oversetf\to2\oversetf\to3\oversetf\to1\dots $$ 既然是個循環，只要明確指出每個元素在這個循環中的出現順序，那就可以描述出這個映射。

比如說，這邊循環的順序是$1$,$2$,$3$,$1$,$2$,$3$...因此，就把$f$表示為「$1,2,3$的循環」，並且記為： $$ f=(1,2,3) $$ 又比如假定$g\inS_3$，且： $$ g=\begin{pmatrix} 1&2&3 \newline 1&3&2 \end{pmatrix} $$ 這時，做出類似上述地觀察： $$ \begin{cases} 1\oversetf\to1\dots \newline 2\oversetf\to3\oversetf\to2\dots \end{cases} $$ 這時可能會想說用$g=(1)(2,3)$來表示。

不過這邊的約定是：如果會把自己映射到自己，那麼就不要把它放到循環表示式中。

所以他的循環表示法是： $$ g=\require{cancel}\cancelto{}{(1)}(2,3)=(2,3) $$ 接下來看一個更複雜的例子： $$ f=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10 \newline 9&3&2&1&7&4&8&6&10&5 \end{pmatrix} $$ 從$1$出發，會到達$9$;而從$9$出發，會到達$10$;從$10$出發，到達$5$...如此一直重複下去，直到回到$1$為止。

可以找到以下的循環： $$ 1\to9\to10\to5\to7\to8\to6\to4\to1\dots $$ 除此之外，會發現$2$沒有在裡面。

因此從$2$出發，找另外一個循環。

會找到： $$ 2\to3\to2\dots $$ 因此，這個$f$就由兩個循環組成： $$ \begin{cases} &1\to9\to10\to5\to7\to8\to6\to4\to1\dots \newline &2\to3\to2\dots \end{cases} $$ 故$f$的循環表示法就是： $$ f=(1,9,10,5,7,8,6,4)(2,3) $$ ##例子：Z/nZ :::warning **Def(Z/nZ)**：$\mathbbZ/n\mathbbZ$定義為下列蒐集： $$ \mathbbZ/n\mathbbZ=\{\bar0,\bar1\dots\overline{n-1}\} $$ 其中，$\barr$定義為： $$ \barr=\{nk+r|k\in\mathbbZ\} $$ 並且定義$\mathbbZ/n\mathbbZ$中的加法運算$+$為： $$ \bara+\barb=\overline{a+b} $$ ::: 雖然說$\barr$的定義看起來很像「所有除$n$餘$r$的整數形成的集合」，但這邊並沒有限定$r$必須要滿足$0\leqr