初等代數- 维基百科，自由的百科全书

初等代數是一個初等且相對簡單形式的代數，教導對象為還沒有數學和算術方面较深知識的中小学生， ... 2.1 与代数运算相关的定理; 2.2 与“等於”相关的定理; 2.3 其他定理. 3 例子. 初等代數 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 初等代數是一個初等且相對簡單形式的代數，教導對象為還沒有數學和算術方面较深知識的中小学生，大学学习的则称为高等代数。

當在算術中只有數字与其運算（如：加、減、乘、除）出現時，在代數中也會使用字母符號诸如 x {\displaystylex} 、 y {\displaystyley} 或 a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 等表示數字，习惯上用前者表示未知数与變數，用后者表示任意的已知数。

目录 1概述 2定理 2.1与代数运算相关的定理[1] 2.2与“等於”相关的定理 2.3其他定理 3例子 3.1一元一次方程 3.2一元二次方程 3.3線性方程組 3.3.1求解的第一種方法 3.3.2求解的第二種方法 4另見 5參考 6脚注 概述[编辑] 初等代數中还会使用诸如 f ( x ) {\displaystylef(x)} 、 g ( x ) {\displaystyleg(x)} 、 f ( g ( x ) ) {\displaystylef(g(x))} 、 f ( x 1 , x 2 ) {\displaystylef(x_{1},x_{2})} 等映射符号来表示关于某个字母符号的代数式。

*它使得算術等式（或不等式）可以被描述成命题或定理（如： ∀ {\displaystyle\forall} 实数 a {\displaystylea} 和 b {\displaystyleb} ， a + b = b + a {\displaystylea+b=b+a} ），因此這是系統化學習實數性質的第一步。

它允許涉及未知的數字。

在一個問題的內容裡，變數或許代表某一還不確定，但可能可以經由方程的規劃及操縱來解開的數值。

它允許探究數量之間的數學關係的可能（如「若你賣了 x {\displaystylex} 張票，你的收益將有 ( 3 x + 10 ) {\displaystyle(3x+10)} 元」）。

這三個是初等代數的主要組成部份，以區隔其與目的為教導大學生更高深主題的抽象代數的不同。

[原創研究？] 在初等代數裡，表示式包含有數字、變數及運算。

它們通常把較高次項（習慣上）寫在表示左邊（參考多項式），舉幾個例子來說： x + 3 {\displaystylex+3} y 2 + 2 x − 3 {\displaystyley^{2}+2x-3} z 7 + a ( b + x 3 ) + 42 / y − π {\displaystylez^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi} 。

在更進階的代數裡，表示式也會包含有初等函數。

一個等式表示其等號兩邊的表示式是相等的。

某些等式對於其中變數的所有取值都成立（如 a + b = b + a {\displaystylea+b=b+a} ）；這種等式稱為恆等式。

而其他只有變數在某些值時才正確（如 x 2 − 1 = 4 {\displaystylex^{2}-1=4} ），此一使等式成立的變數值則稱為這等式的解。

定理[编辑] 与代数运算相关的定理[1][编辑] 加法是一可交換的運算（兩個數不論順序為何，它加起來的總和都一樣）。

減法是加法的逆運算。

減去一個數和加上一個此數的負數是一樣意思的： a − b = a + ( − b ) {\displaystylea-b=a+(-b)} 例如：若 5 + x = 3 {\displaystyle5+x=3} ，則 x = − 2 {\displaystylex=-2} 。

乘法是一可交換的運算。

除法是乘法的逆運算。

除去一個數和乘上一個此數的倒數是一樣意思的： a b = a ⋅ 1 b {\displaystyle{a\overb}=a\cdot{1\overb}} 例如：若 3 x = 2 {\displaystyle3x=2} ，則 x = 2 / 3 {\displaystylex=2/3} 。

冪不是一可交換的運算。

但冪卻有兩個逆運算：對數和开方（如平方根）。

例如：若 3 x = 10 {\displaystyle3^{x}=10} ，則 x = log 3 ⁡ 10 {\displaystylex=\log_{3}10} 。

例如：若 x 2 = 10 {\displaystylex^{2}=10} ，則 x = 10 C {\displaystylex={\sqrt{10}}_{\mathbb{C}}} ，即 x 1 = 10 R {\displaystylex_{1}={\sqrt{10}}_{\mathbb{R}}} ， x 2 = − 10 R {\displaystylex_{2}=-{\sqrt{10}}_{\mathbb{R}}} 。

負數的平方根不存在於實數內。

（參考：複數） 加法的結合律性質： ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle(a+b)+c=a+(b+c)} 。

乘法的結合律性質： ( a b ) c = a ( b c ) . {\displaystyle(ab)c=a(bc).} 。

對應加法的乘法分配律性質： c ( a + b ) = c a + c b {\displaystylec(a+b)=ca+cb} 。

對應乘法的冪分配律性質： ( a b ) c = a c b c {\displaystyle(ab)^{c}=a^{c}b^{c}} 。

冪的乘法： a b a c = a b + c {\displaystylea^{b}a^{c}=a^{b+c}} 。

冪的冪： ( a b ) c = a b c {\displaystyle(a^{b})^{c}=a^{bc}} 。

与“等於”相关的定理[编辑] a = a {\displaystylea=a} （等於的自反性）。

若 a = b {\displaystylea=b} ，則 b = a {\displaystyleb=a} （等於的對稱性）。

若 a = b {\displaystylea=b} 且 b = c {\displaystyleb=c} ，則 a = c {\displaystylea=c} （等於的遞移律）。

若 a − b = n {\displaystylea-b=n} ，則 a 2 − b 2 = n a + n b {\displaystylea^{2}-b^{2}=na+nb} 。

其他定理[编辑] 若 a = b {\displaystylea=b} 且 c = d {\displaystylec=d} ，則 a + c = b + d {\displaystylea+c=b+d} 。

若 a = b {\displaystylea=b} ，則對任一c， a + c = b + c {\displaystylea+c=b+c} （等於的可加性）。

若 a = b {\displaystylea=b} 且 c = d {\displaystylec=d} ，則 a c {\displaystyleac} = b d {\displaystylebd} 。

若 a = b {\displaystylea=b} ，則對任一c， a c = b c {\displaystyleac=bc} （等於的可乘性）。

若兩個符號相等，則一個總是能替換另一個（替換原理）。

若 a > b {\displaystylea>b} 且 b > c {\displaystyleb>c} ，則 a > c {\displaystylea>c} （不等式的遞移律）。

若 a > b {\displaystylea>b} ，則對任一c， a + c > b + c {\displaystylea+c>b+c} 。

若 a > b {\displaystylea>b} 且 c > 0 {\displaystylec>0} ，則 a c > b c {\displaystyleac>bc} 。

若 a > b {\displaystylea>b} 且 c < 0 {\displaystylec<0} ，則 a c < b c {\displaystyleac