關於條件機率的定義@ isdp2008am - 隨意窩

進到高中後，會深入學習到條件機率：若樣本空間為S，已知事件A發生的條件下，事件B發生的機率(條件機率，conditional probability，見[1]或[2])定為. isdp2008am[交大理學院學士班數學小站]提供對數學有興趣的學生們課堂之外的線上學習園地，本網誌的內容走向希望朝向[數學理論]與[數學應用]兼備，成立目標是希望對數學有興趣的學生們可以在此吸收更多數學相關知識，達成跨領域學習的成效。

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)日誌相簿影音好友名片 201509241404關於條件機率的定義?機率與財務工程Bytheway,we'reboth21. —DJHauerofTaiwanBar       我們在國中學到古典機率：若樣本空間為S，事件B發生的機率定為 其中n(B),n(S)分別表示事件B,S中樣本點的個數。

不妨參考下圖： 圖1  注意(1)式所求的機率，就是從S中的所有點(紅點+黑點)中任選一點，選出在B之內的點(紅點)的機率。

比如S是擲一顆公正骰子出現的點數S={1,2,3,4,5,6}，則出現偶數點的事件B的機率是 P(B)=n(B)/n(S)=3/6=1/2  進到高中後，會深入學習到條件機率：若樣本空間為S，已知事件A發生的條件下，事件B發生的機率(條件機率，conditionalprobability，見[1]或[2])定為 其中分別表示中樣本點的個數。

(2)也可改寫為常見的形式： 注意(2)式中的分母為n(A)是可以理解的，因為已知事件A發生，所以樣本空間就縮小成A，不在A之內的樣本點所代表的事件，是不可能發生的，因此A成為新的樣本空間。

  但讀者或許會發現，(1),(2)兩者的右式，其分子部分長得不太像，如果(2)改成下面這樣定義，該有多好： 這樣子，(3)式就跟(1)很像，也比較方便我們記憶了，不是嗎？只是，我們學數學是要求正確有用的公式，而非求公式好記。

(3)式的定義是有問題的，為什麼呢？我們舉一個例子來看看： [問題]：主持人在桌上擲一顆骰子至一不透明容器中，要大家猜出現幾點，主持人允許一位觀眾P上台站在主持人旁邊看擲出的結果，觀眾P可以向大家打Pass，用手比手勢告訴大家擲出的是奇數或是偶數。

已知主持人擲出後，P向大家打Pass說是偶數點。

試問，此時主持人擲出點數大於3的機率。

[解]：原本的樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，偶數點事件A={2,4,6}，設事件B表示擲出點數大於3的事件，即B={4,5,6}。

P向大家打Pass後，E={2,4,6}就成為了新的樣本空間，不難得知主持人擲出點數大於3的機率，就是從E={2,4,6}裡面挑出4或6的機率，即2/3。

注意此時，機率值2/3剛好就是 但如果使用跟(1)比較像的(3)式，就會得到 這的答案顯然是錯的，因為P(B|A)的機率值1表示事件A發生的條件下，事件B一定會發生，但這其實不一定，因為若主持人擲出的是2點(偶數點)，則事件B(點數大於3)便沒有發生。

  因此，上面的例子告訴我們：(3)的定義是錯的。

對於(2)的定義，同學們若覺得不好記，可參考下圖： 圖2  原本不知事件A是否發生時，事件B發生的機率定為(1)式，重述如下： 它可理解為：上圖中S裡面所有點(黑點+紅點+綠點)被選到的機會相等(所有點發生的機率相同)的情況下，選到B裡面的點(紅點)的機率。

  但是如果已知事件A發生，樣本空間就縮小成以水藍色為底色的區域，此時若問事件B發生的機率，就是問：”在水藍色區域中任選一點，選到紅點的機率”，注意在水藍色區域中，所有點個數為n(A)、紅色點個數為，因此定為 是很合理的。

  其實，我們還可以把(1)寫成： 這是因為(樣本空間S是最大的事件，任何事件都是其子集)，所以，再由條件機率的定義知 取(5)式的最後一個等號的左右兩項，即得(4)式。

這樣子(4)與(2)的形式就一模一樣了。

原來，(1)和(2)在形式上有所差異，只是我們不習慣把(1)寫成像(4)這樣，所導致的結果。

     最後，參考資料[1]的前言共有三段，第三段的最後一句話是： ”ConditionalprobabilitiescanbecorrectlyreversedusingBayes'theorem.” 筆者先注意到probabilities這個字是複數，指的應是像P(B|A)和P(A|B)這樣的一組條件機率。

該句英文翻譯成中文，應該是：”使用貝氏定理(見[3])，關於P(B|A)和P(A|B)這兩個事件顛倒的條件機率，我可以從其中一個正確推算出另一個的條件機率值”。

   至於為什麼呢？答案很簡單，因為貝氏定理就是建立P(B|A)和P(A|B)關係的一個等式： 以上就是筆者的個人心得，分享給大家，希望對大家對條件機率定義式的了解有所幫助。

    至於文章開始前的那句話，是臺灣吧的DJHauer介紹他幫Adele混音的作品之前，就在Adele即將唱出第一句時，DJHauer再度所補充的話。

那句話的意思當然是：我們都是21歲喔。

他們兩個都很年輕且很有才華，不簡單。

不知道有沒有言外之意，也許他是在對大家說：我們兩個都是屬於21世紀的(想太多?)。

  [參考資料]： [1]維基百科conditionalprobability條目https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_probability [2]維基百科[條件機率]條目https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87 [3]維基百科Bayes'theorem(貝氏定理)條目https://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem [4]DJHauer幫Adele歌曲Rollinginthedeep混音的作品 https://www.youtube.com/watch?v=WYfoYe2GJtk (本文作者：連威翔，曾任職於交大理學院科學學士班)isdp2008am/Xuite日誌/回應(0)/引用(0)沒有上一則|日誌首頁|沒有下一則回應 加我為好友日誌相簿影音 我的相簿 isdp2008am's新文章有用連結UsefulLinks一道高中數學競賽筆試問題的另解一道共線問題的再探一道徵答題的解法分享(雙週一題2022春季第7題)Anothersolutiontoanalgebraproblem一道線性方程組問題的推廣與另解一道排列組合問題的另解(JEE)一道組合問題的遞迴解法一碗三球問題的另解一道趣味問題的求解過程分享(Whena/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)=1...)兩道代數題的另解 全部展開|全部收合 關鍵字 isdp2008am's新回應沒有新回應！