无穷小变换- 维基百科，自由的百科全书

无穷小变换的综合理论最早由索甫斯·李给出。

事实上这是他在如今称为李群及其李代数方面工作的核心；以及它们在几何特别是微分方程中作用的等同。

一个抽象李群的性质正是 ... 无穷小变换 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 数学裡，无穷小变换是小变换的一个无穷小极限。

例如我们可以谈论三维空间中一个刚体的无穷小旋转。

这通常由一个3×3反对称矩阵A表示。

它不是空间中的实际旋转；但是对一个小参数ε，我们有 I + ε A {\displaystyleI+\varepsilonA} 与小旋转之差只是ε2阶量。

无穷小变换的综合理论最早由索甫斯·李给出。

事实上这是他在如今称为李群及其李代数方面工作的核心；以及它们在几何特别是微分方程中作用的等同。

一个抽象李群的性质正是无穷小变换的那些限定，正如群论的公理实现了对称。

例如，在无穷小旋转情形，将一个反对称矩阵与一个三维向量等同，则李代数结构由叉积给出。

这相当于选取旋转的一个轴；雅可比恒等式是叉积一个熟知的性质。

无穷小变换最早的例子可能认为出现于齐次函数的欧拉定理中。

它断言n个变量x1,...,xn的一个度数为r的齐次函数F，满足 H ⋅ F = r F {\displaystyleH\cdotF=rF} 其中 H = ∑ i x i ∂ ∂ x i {\displaystyleH=\sum_{i}x_{i}{\partial\over\partialx_{i}}} 是一个微分算子。

这是由性质 F ( λ x 1 , … , λ x n ) = λ r F ( x 1 , … , x n ) {\displaystyleF(\lambdax_{1},\dots,\lambdax_{n})=\lambda^{r}F(x_{1},\dots,x_{n})} 我们可对λ微分，然后取λ等于1。

这是光滑函数F有齐次性质的一个必要条件；这也是充足的（通过利用施瓦兹分布我们简化这里考虑的数学分析）。

在我们有一个缩放算子的单参数子群时这个过程是典型的；变换的信息事实上包含于一阶微分算子无穷小变换中。

算子方程 e t D f ( x ) = f ( x + t ) {\displaystylee^{tD}f(x)=f(x+t)} 这里 D = d d x {\displaystyleD={d\overdx}} 是泰勒定理的一个算子版本，从而只对f是一个解析函数成立。

集中于算子部分，它实际上说明D是一个无穷小变换，通过指数生成在实直线上的平移。

在李理论中，这推广得很远。

任何连通空间李群可由它的无穷小生成元（这个群李代数的一个基）构造出来；贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式中给出了清晰不过未必总有用的信息。

取自“https://zh.100ke.info/w/index.php?title=无穷小变换&oldid=26265838” 分类：​李群 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 其他语言 EnglishFrançaisTürkçe 编辑链接