無窮小變換- 維基百科，自由的百科全書

無窮小變換的綜合理論最早由索甫斯·李給出。

事實上這是他在如今稱為李群及其李代數方面工作的核心；以及它們在幾何特別是微分方程中作用的等同。

一個抽象李群的性質正是 ... 無窮小變換 語言 監視 編輯 數學裡，無窮小變換是小變換的一個無窮小極限。

例如我們可以談論三維空間中一個剛體的無窮小旋轉。

這通常由一個3×3反對稱矩陣A表示。

它不是空間中的實際旋轉；但是對一個小參數ε，我們有 I + ε A {\displaystyleI+\varepsilonA} 與小旋轉之差只是ε2階量。

無窮小變換的綜合理論最早由索甫斯·李給出。

事實上這是他在如今稱為李群及其李代數方面工作的核心；以及它們在幾何特別是微分方程中作用的等同。

一個抽象李群的性質正是無窮小變換的那些限定，正如群論的公理實現了對稱。

例如，在無窮小旋轉情形，將一個反對稱矩陣與一個三維向量等同，則李代數結構由叉積給出。

這相當於選取旋轉的一個軸；雅可比恆等式是叉積一個熟知的性質。

無窮小變換最早的例子可能認為出現於齊次函數的歐拉定理中。

它斷言n個變量x1,...,xn的一個度數為r的齊次函數F，滿足 H ⋅ F = r F {\displaystyleH\cdotF=rF} 其中 H = ∑ i x i ∂ ∂ x i {\displaystyleH=\sum_{i}x_{i}{\partial\over\partialx_{i}}} 是一個微分算子。

這是由性質 F ( λ x 1 , … , λ x n ) = λ r F ( x 1 , … , x n ) {\displaystyleF(\lambdax_{1},\dots,\lambdax_{n})=\lambda^{r}F(x_{1},\dots,x_{n})} 我們可對λ微分，然後取λ等於1。

這是光滑函數F有齊次性質的一個必要條件；這也是充足的（通過利用施瓦茲分布我們簡化這裡考慮的數學分析）。

在我們有一個縮放算子的單參數子群時這個過程是典型的；變換的信息事實上包含於一階微分算子無窮小變換中。

算子方程 e t D f ( x ) = f ( x + t ) {\displaystylee^{tD}f(x)=f(x+t)} 這裡 D = d d x {\displaystyleD={d\overdx}} 是泰勒定理的一個算子版本，從而只對f是一個解析函數成立。

集中於算子部分，它實際上說明D是一個無窮小變換，通過指數生成在實直線上的平移。

在李理論中，這推廣得很遠。

任何連通空間李群可由它的無窮小生成元（這個群李代數的一個基）構造出來；貝克-坎貝爾-豪斯多夫公式中給出了清晰不過未必總有用的信息。

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