第一类和第二类曲线积分 - 知乎专栏

顾名思义， 曲线积分的积分区域为一条曲线，既与一重积分不同，也与二重积分不同。

一重积分的积分区域是实轴上的直线段，二重积分则是一块平面。

首发于本科物理与研究生物理无障碍写文章登录/注册顾名思义，曲线积分的积分区域为一条曲线，既与一重积分不同，也与二重积分不同。

一重积分的积分区域是实轴上的直线段，二重积分则是一块平面。

因此我们需要寻求新的求解积分值的方法，而无法直接沿用重积分的结论。

第一类曲线积分是对一段曲线（弧）L的积分。

积分微元为弧微分ds，被积函数由于在弧线上取值，因此是二元函数f(x,y).积分值记为\int_Lf(x,y)ds.其中被积函数f(x,y)在L上取值。

弧L上的点满足的方程可以由两种形式给出，一种是y=y(x),另一种则是参数方程的形式x=\phi(t),y=\psi(t)对于第一种形式，被积函数可以写成只和x有关的一元函数，即f(x,y(x))，弧微分可以写成ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+y'(x)^2}dx,则曲线积分化为一重积分\int_{x_1}^{x_2}f(x,y(x))\sqrt{1+y'(x)^2}dx.对于第二种形式，被积函数可以写成只和t有关的一元函数，即f(\phi(t),\psi(t))，弧微分可以写成ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{\phi'(t)^2+\psi'(t)^2}dt.这就是第一类曲线积分，可用于求解不均匀曲线段的质量，被积函数即为线质量密度。

在第一类曲线积分中，被积函数是标量，积分微元也是标量，两个标量的乘积也是标量。

注意到两个矢量的内积也是标量，这就形成了第二类曲线积分。

典型的第二类曲线积分问题为变力沿着曲线做的总功，记为\int_L\vec{A}(x,y)\cdotd\vec{r},其中d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}为带方向的微分。

由内积的定义，积分化为\int_LA_x(x,y)dx+A_y(x,y)dy.同样地，弧L的方程也可由两种形式给出，最终也可化为一重积分。

在一重定积分中，有牛顿-莱布尼兹公式，它联系了积分值和原函数在端点处的取值，即\int_a^bF'(x)dx=F(b)-F(a).在二重积分中，有类似的公式成立，即格林公式。

由于积分区域是二维的，其边界不再是两个端点了，而是一个闭合的回路。

格林定理：设闭区域由分段光滑曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数，则\iint_D(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy})dxdy=\oint_LPdx+Qdy.等式左边是一个二重积分，右边是一个第二类曲线积分。

定理的证明由偏导数的定义和牛顿-莱布尼兹公式可得到。

若进一步考虑一种特殊情况，即\frac{\partialQ}{\partialx}=\frac{\partialP}{\partialy}时，等式两边为0，即第二类曲线积分的值为0.而我们对积分路径L并没有什么要求，因此此时曲线积分的值与路径无关。

如果将积分区域的曲线变为曲面的话，同样可以定义出第一类和第二类曲面积分。

参考资料【1】《高等数学》同济版编辑于2017-03-0118:47数学高等数学​赞同1399​​75条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录本科物理与研究生物理关于物理学（本科与研究生阶段）的一些知识和学习笔记本科物理与研究生物理关于物理学（本科与研究生阶段）的一些知识和学习笔记