第95 章爲什麼我們要用貝葉斯統計學方法？

醫學統計學. ... Lectures for Bayesian Statistics were orgainised and taught by Professor ... Methotrexate in Seleroderma: results of a Bayesian analysis. 在LSHTM的統計學筆記 前言 我是誰 I概率論Probability 1概率論入門：定義與公理 1.1三個概率公理： 1.2條件概率Conditionalprobability 1.3獨立(independence)的定義 1.4賭博問題 1.5賭博問題的答案 2Bayes貝葉斯理論的概念 3期望Expectation(或均值ormean)和方差Variance 3.1方差的性質： 4伯努利分佈Bernoullidistribution 5二項分佈的概念Binomialdistribution 5.1二項分佈的期望和方差 5.2超幾何分佈hypergeometricdistribution 5.3樂透中獎概率問題： 5.3.1如果我只想中其中的\(3\)個號碼，概率有多大？ 6泊松分佈PoissonDistribution 7正（常）態分佈NormalDistribution 7.1概率密度曲線probabilitydensityfunction，PDF 7.2正（常）態分佈 7.3標準正（常）態分佈 8中心極限定理theCentralLimitTheorem 8.1協方差Covariance 8.2相關Correlation 8.3中心極限定理theCentralLimitTheorem 8.4二項分佈的正（常）態分佈近似 8.5泊松分佈的正（常）態分佈近似 8.6正（常）態分佈模擬的校正：continuitycorrections 8.6.1例題 8.7兩個連續隨機變量 8.8兩個連續隨機變量例子： 8.9條件分佈和邊緣分佈的概念 8.10條件分佈和邊緣分佈的例子 8.10.1例題 II統計推斷Inference 9統計推斷的概念 9.1人羣與樣本(populationandsample) 9.2樣本和統計量(sampleandstatistic) 9.3估計Estimation 9.4信賴區間confidenceintervals 10估計和精確度EstimationandPrecision 10.1估計量和他們的樣本分佈 10.2估計量的特質 10.2.1偏倚 10.2.2估計量的效能Efficiency 10.2.3均值和中位數的相對效能 10.2.4均方差meansquareerror(MSE) 10.3總體方差的估計，自由度 10.4樣本方差的樣本分佈 11卡方分佈Chi-squaredistribution 11.1卡方分佈的期望和方差的證明 11.2卡方分佈的期望 11.3卡方分佈的方差 11.3.1下面來求\(E(X_1^4)\) 11.4把上面的推導擴展 12似然Likelihood 12.1概率vs. 推斷Probabilityvs. Inference 12.2似然和極大似然估計Likelihoodandmaximumlikelihoodestimators 12.3似然方程的一般化定義 12.4對數似然方程log-likelihood 12.5極大似然估計(maximumlikelihoodestimator,MLE)的性質： 12.6率的似然估計Likelihoodforarate 12.7有\(n\)個獨立觀察時的似然方程和對數似然方程 13對數似然比Log-likelihoodratio 13.1正態分佈數據的極大似然和對數似然比 13.2\(n\)個獨立正態分佈樣本的對數似然比 13.3\(n\)個獨立正態分佈樣本的對數似然比的分佈 13.4似然比信賴區間 13.4.1以二項分佈數據爲例 13.4.2以正態分佈數據爲例 13.5InferencePractical05 13.5.1Q1 13.5.2Q2 13.5.3Q3 14二次方程近似法求對數似然比approximatelog-likelihoodratios 14.1正態近似法求對數似然Normalapproximationtothelog-likelihood 14.1.1近似法估算對數似然比的信賴區間 14.1.2以泊松分佈爲例 14.1.3以二項分佈爲例 14.2參數转换parametertransformations 14.2.1以泊松分佈爲例 14.2.2以二項分佈爲例 14.3InferencePractical06 14.3.1Q1 14.3.2Q2 15假設檢驗的構建Constructionofahypothesistest 15.1什麼是假設檢驗Hypothesistesting 15.2錯誤概率和效能方程errorprobabilitiesandthepowerfunction 15.2.1以二項分佈爲例 15.3如何選擇要檢驗的統計量 15.3.1以已知方差的正態分佈爲例 15.4複合假設compositehypotheses 15.4.1單側替代假設 15.4.2雙側替代假設 15.5爲反對零假設\(H_0\)的證據定量 15.5.1回到正態分佈的均值比較問題上來(單側替代假設) 15.6雙側替代假設情況下，雙側\(p\)值的定量方法 15.7假設檢驗構建之總結 15.8InferencePractical07 15.8.1Q1 16假設檢驗的近似方法 16.1近似和精確檢驗approximateandexacttests 16.2精確檢驗法之–似然比檢驗法Likelihoodratiotest 16.3練習題 16.4近似檢驗法之–Wald檢驗 16.4.1再以二項分佈爲例 16.5近似檢驗法之–Score检验 16.5.1再再以二項分佈爲例 16.6LRT,Wald,Score檢驗三者的比較 16.7InferencePractical08 16.7.1Q1 16.7.2Q2 16.7.3Q3 17正態誤差模型Normalerrormodels 17.1服從正態分佈的隨機變量 17.2\(F\)分佈和\(t\)分佈的概念 17.3兩個參數的模型 17.3.1一組數據兩個參數 17.3.2兩組數據各一個參數 17.4正態分佈概率密度方程中總體均值和方差都未知(單樣本\(t\)檢驗onesample\(t\)test的統計學推導) 17.5比較兩組獨立數據的均值twosample\(t\)testwithequalunknown\(\sigma^2\) 17.6各個統計分佈之間的關係 17.7InferencePractical09 18多個參數時的統計推斷InferencewithmultipleparametersI 18.1多參數multipleparameters-LRT 18.1.1似然likelihood 18.1.2對數似然比檢驗 18.2多參數Wald檢驗-Waldtest 18.3多參數Score檢驗-Scoretest 18.4條件似然conditionallikelihood 18.5InferencePractical10 19多個參數時的統計推斷–子集似然函數profilelog-likelihoods 19.1子集似然法推導的過程總結 19.1.1子集對數似然方程的分佈 19.1.2假設檢驗過程舉例 19.2子集對數似然比的近似 19.2.1子集對數似然比近似的一般化 19.2.2事件發生率之比的Wald檢驗統計量 19.3InferencePractical11 20統計推斷總結 20.0.1快速複習 20.0.2試爲下面的醫學研究問題提出合適的統計學模型 20.0.3醫生來找統計學家問問題 III統計分析方法AnalyticalTechniques 21探索數據和簡單描述 21.1數據分析的流程 21.1.1研究設計和實施 21.1.2數據分析 21.2數據類型 21.3如何總結並展示數據 21.3.1離散型分類型數據的描述-頻數分佈表frequencytable 21.3.2連續型變量 21.4數據總結方案：位置，分散，偏度，和峰度 21.4.1位置 21.4.2分散 21.4.3偏度skewness 21.4.4峯度kurtosis 22信賴區間confidenceintervals 22.1定義 22.2利用總體參數的樣本分佈求信賴區間 22.3情況1：已知方差的正態分佈數據均值的信賴區間 22.4信賴區間的意義 22.5情況2：未知方差，但是已知服從正態分佈數據均值的信賴區間 22.6情況3：服從正態分佈的隨機變量方差的信賴區間 22.7當樣本量足夠大時 22.8情況4：求人羣百分比的信賴區間 22.8.1一般原則 22.8.2二項分佈的“精確法”計算信賴區間 22.8.3二項分佈的近似法計算信賴區間 22.9率的信賴區間 22.9.1利用泊松分佈精確計算 22.9.2利用正態近似法計算 23假設檢驗 23.1拋硬幣的例子 23.1.1單側和雙側檢驗 23.1.2\(p\)值的意義 23.1.3\(p\)值和信賴區間的關係 23.2二項分佈的精確假設檢驗 23.3當樣本量較大 23.4二項分佈的正態近似法假設檢驗 23.4.1連續性校正continuitycorrection 23.5情況1：對均值進行假設檢驗(方差已知) 23.6情況2：對均值進行假設檢驗(方差未知)theone-samplet-test 23.7情況3：對配對實驗數據的均值差進行假設檢驗thepairedt-test 24相關association 24.1背景介紹 24.2兩個連續型變量的相關分析 24.2.1相關係數的定義 24.2.2相關係數的性質 24.2.3對相關係數是否爲零進行假設檢驗 24.2.4相關係數的\(95\%\)信賴區間 24.2.5比較兩個相關係數是否相等 24.2.6相關係數那些事兒 24.2.7在R裏面計算相關係數 24.3二元變量之間的相關性associationbetweenpairsofbinaryvariables 24.3.1OR的信賴區間 24.3.2比值比的假設檢驗 24.3.3兩個百分比的卡方檢驗 24.3.4確切檢驗法Fisher’s“exact”test 24.4多分類(無排序)的情況\(M\timesN\)表格 25比較Comparisons 25.1比較兩個均值comparingtwopopulationmeans 25.1.1當方差已知，且數據服從正態分佈Z-test 25.1.2當方差未知，但是方差可以被認爲相等，且數據服從正態分佈twosample\(t\)test 25.1.3練習 25.1.4當方差未知，但是方差不可以被認爲相等，且數據服從正態分佈 25.2兩個人羣的方差比較 25.2.1方差比值檢驗varianceratiotest 25.2.2信賴區間 25.3比較兩個百分比 25.3.1兩個百分比差是否爲零的推斷Riskdifference 25.3.2兩個百分比商是否爲1的推斷relativerisk/riskratio 26前提和數據轉換Assumptionsandtransformations 26.1穩健性 26.2正態性 26.2.1正態分佈圖normalplot 26.3總結連續型變量不服從正態分佈時的處理方案 26.4數學冪轉換powertransformations 26.4.1對數轉換logarithmicTransformation 26.4.2逆轉換信賴區間back-transformationofCIs 26.4.3對數正態分佈log-normaldistribution 26.4.4百分比的轉換 IV線性迴歸LinearRegression 27簡單線性迴歸SimpleLinearRegression 27.1一些背景和術語 27.2簡單線性迴歸模型simplelinearregressionmodel 27.2.1數據A 27.2.2數據B 27.3區分因變量和預測變量 27.3.1均值(期待值)公式 27.3.2條件分佈和方差theconditionaldistributionandthevariancefunction 27.3.3定義簡單線性迴歸模型 27.3.4殘差residuals 27.4參數的估計estimationofparameters 27.4.1普通最小二乘法估計\(\alpha,\beta\) 27.5殘差方差的估計Estimationoftheresidualvariance\((\sigma^2)\) 27.6R演示例1：圖@ref(fig:age-wt)數據 27.7R演示例2：表@ref(tab:walk)數據 27.8LMpractical01 27.8.1兩次測量的膽固醇水平分別用\(C_1,C_2\)來標記的話，考慮這樣的簡單線性迴歸模型：\(C_2=\alpha+\betaC_2+\varepsilon\)。

我們進行這樣迴歸的前提假設有哪些？ 27.8.2計算普通最小二乘法(OLS)下，截距和斜率的估計值\(\hat\alpha,\hat\beta\) 27.8.3和迴歸模型計算的結果作比較，解釋這些估計值的含義 27.8.4加上計算的估計值直線(即迴歸直線) 27.8.5下面的代碼用於模型的假設診斷 28最小二乘估計的性質和推斷OrdinaryLeastSquaresEstimatorsandInference 28.1OLS估計量的性質 28.2\(\hat\beta\)的性質 28.2.1\(Y\)對\(X\)迴歸，和\(X\)對\(Y\)迴歸 28.2.2例1：還是圖@ref(fig:age-wt)數據 28.3截距和迴歸係數的方差，協方差 28.3.1中心化centring 28.4\(\alpha,\beta\)的推斷 28.4.1對迴歸係數進行假設檢驗 28.4.2迴歸係數，截距的信賴區間 28.4.3預測值的信賴區間(置信帶)-測量迴歸曲線本身的不確定性 28.4.4預測帶Referencerange-包含了95%觀察值的區間 28.5線性迴歸模型和Pearson相關係數 28.5.1\(r^2\)可以理解爲因變量平方和被模型解釋的比例 28.6Pearson相關係數和模型迴歸係數的檢驗統計量\(t\)之間的關係 28.7LMpractical02 29方差分析IntroductiontoAnalysisofVariance 29.1背景 29.2簡單線性迴歸模型的方差分析 29.2.1兩個模型的參數估計 29.2.2分割零假設模型的殘差平方和 29.2.3\(R^2\)–我的名字叫決定係數coefficientofdetermination 29.2.4方差分析表格theANOVAtable 29.2.5用ANOVA進行假設檢驗 29.2.6簡單線性迴歸時的\(F\)檢驗 29.2.7簡單線性迴歸時\(F\)檢驗和\(t\)檢驗的一致性 29.3分類變量用作預測變量時的ANOVA 29.3.1一個二分類預測變量 29.3.2一個模型，兩種表述 29.3.3分組變量的平方和 29.3.4簡單模型的分組變量大於兩組的情況 29.4LMpractical03 30多元模型分析MultivariableModels 30.1兩個預測變量的線性迴歸模型 30.1.1數學標記法和解釋 30.1.2最小平方和估計LeastSquaresEstimation 30.2線性回歸模型中使用分組變量 30.3協方差分析模型theAnalysisofCovariance(ANCOVA)Model 30.4偏回歸係數的變化 30.4.1情況1：\(\beta_1>\beta_1^*\) 30.4.2情況2：\(\beta_10.05\)時，大多數蠢蠢欲動的醫生和研究者可能就會下結論說:“我們沒有找到足夠的證據來拒絕零假設”。

事實真的是這樣子嗎？更糟糕的是，許多這樣的臨牀試驗可能會被打上“negative(消極結果)”的標籤，然後經過很多年以後大家都認爲這個RCT就被總結成了類似“氨甲喋呤無效”，或者“氨甲喋呤不能治療系統性硬皮病”等結論在醫學界被傳播。

要知道，類似系統性硬皮病這樣的稀少疾病，其實是很難找到足夠的患者數量進行臨牀試驗的。

這些稀少疾病的臨牀試驗中，p值\(>0.05\)很可能只是反映了獲得數據的統計效能不足(lackofpower)，並不一定就說明了藥物或者療法是無效的。

系統性硬皮病是一種患病率極低的罕見疾病。

目前沒有特效藥物治療該疾病，從而導致患者長期忍受疾病的折磨，生活品質因爲身體機能的下降而長期處在十分低下的水平。

過去有兩個小型試驗報告了氨甲喋呤(MTX)可能在系統性硬皮病的治療中起到積極的效果，於是就有研究者組織了一個爲時一年的隨機雙盲臨牀試驗，對象是那些系統性硬皮病的早期患者。

35名患者被隨機分配接受MTX治療，另外36名患者被分配至了安慰劑對照組。

期間有一些患者中途退出了試驗，多數退出的患者的理由是，治療缺乏有效性。

MTX對系統性硬皮病的治療效果評價，使用了三個指標: modifiedRodnanskinscore(MRSS)-得分範圍:0-78; UniversityofCaliforniaLosAngeles(UCLA)skinscore-得分範圍0-30; Physicianglobalassessmentofoveralldiseaseactivity(ODA)-使用視覺模擬指標，評分範圍從0(無疾病)至10(極爲嚴重疾病)不等。

95.1.2概率論者分析結果 下圖95.1所示的表格，是從論文(Johnsonetal.2009)中節選出來的，該表格展示了典型的概率論者分析該臨牀試驗數據的結果，當時的分析中，只對最終完成試驗的患者的數據進行了分析。

圖95.1:MethotrexateinSeleroderma:resultsofafrequentistanalysis 根據這個分析結果，概率論者報告了下面三個p值: MRSS-效果不顯著(\(p\geqslant0.05\)); UCLA-效果不顯著(\(p\geqslant0.05\)); ODA-有（概率論）統計學意義的顯著效果(\(p=0.04\))。

要知道，這個臨牀試驗，在設計的時候是計劃能夠通過它尋找35%或者以上的療效差異的。

所以，任何小於35%的療效(儘管在臨牀上很可能是有意義的)在概率論的理論框架下都是無法被檢驗，或者沒有足夠的統計效能來檢驗的。

於是概率論持有的研究者就此結果下了結論:我們沒有找到足夠的證據來拒絕“氨甲喋呤在治療系統性硬皮病上是無效的”這一零假設。

如此，過了一些時日，這個試驗的結論在醫學界漸漸就變成了“氨甲喋呤不能治療系統性硬皮病”。

其實，概率論持有者下的結論，其真實的含義是:如果，零假設(“氨甲喋呤在治療系統性硬皮病上是無效的”)是正確的，假如可以重複無數次相同的臨牀試驗(每次都找來不同的各自獨立的系統性硬皮病早期患者)，那麼我們能觀察到和該次RCT試驗得到的試驗療效相同，甚至療效更加顯著的試驗出現的概率是大於0.05的。

你爲這樣的結論，真的正面回答了你想知道的問題了嗎？ 我認爲，更加能夠回答大衆或患者們所關心的關於這個試驗的醫學問題應該是，“當我們獲得且分析了試驗數據以後，氨甲喋呤對於系統性硬皮病治療有效的概率是多少(whatistheprobabilitythattheinterventioniseffectivegiventhedata?)”。

貝葉斯統計學其實可以讓我們正式地，在數學模型上把已知的對於某個事件的知識包括進試驗獲得的數據及其模型當中去，從而計算這個新的治療方法在考慮了已知的醫學背景，及現有的試驗數據之後，它對於疾病的治療是有效的概率到底是多少。

這才應是每一個臨牀試驗真正想要回答的最關鍵的問題。

95.1.3貝葉斯統計分析結果 使用貝葉斯統計理論分析相同臨牀試驗數據的結果，已經被發表在論文(Johnsonetal.2009)中，我們節選其總結的表格在下圖95.2中。

在該表格中，可以看見作者除了對完成試驗的患者的數據進行分析，同時使用補全法補過缺失值後的數據分析結果也展示在“imputingmissingdata”這一列中。

圖95.2:MethotrexateinSeleroderma:resultsofaBayesiananalysis 貝葉斯統計分析的結果，直接且正面的回答了我們想知道的問題，那就是MTX到底對於治療系統性硬皮病這一疾病來說是不是有效的。

從圖95.2中的表格，以及該論文中作者用貝葉斯多元模型分析的結果可以看到，貝葉斯模型推算的是MTX在使用三種不同指標進行療效評估時，MTX可以被認定爲有療效的概率。

(Johnsonetal.2009)報告說，有96%的可能性，在使用三種療效評估方法中的兩種或者以上來評估時，我們講看到MTX其實是可以改善系統性硬皮病的病情的(也就是有效的)。

圖95.2中表格用的先驗概率是不明確的，沒有太多信息的先驗概率(vague/flatprior)，其含義是: 所有可能的治療效果，不論大小，都被認爲有相似的先驗概率(prior)。

(everypossiblesizeoftreatmenteffectconsideredequallylikelyapriori) 沒有太多信息的先驗概率意味着不提供太多的背景知識給模型。

(noexternalinformationtocurrenttrialincorporatedinanalysis) 但是，其實我們是有背景知識的，在做這個臨牀試驗之前，已經有兩個小型試驗告訴人們，MTX很有可能可以治療系統性硬皮病，這才導致研究者組織了這第三次臨牀試驗。

這兩個小型試驗的結果，被(Johnsonetal.2009)巧妙地轉換成爲含有信息的先驗概率(informativeprior)。

圖95.3展示的是，使用兩種先驗概率所計算的不同的後驗概率的結果之比較。

左邊使用的是沒有信息的先驗概率(flat,wideblackpriordistribution)，右邊則使用的是有信息的先驗概率。

兩個圖中，黑色線均爲先驗概率，綠色線是似然(來自本次實驗的數據)，紅色線是後驗概率。

紅色的面積表示MTX在MRSS療效指標中支持其有效的概率，95%CrI是各自的可信區間。

可見，當只使用來自本次試驗的數據的時候(無信息的先驗概率，左邊圖)，療效的點估計，和可信區間，是十分接近概率論者計算的點估計和信賴區間的。

與之相對的是，當我們給模型中加入了有信息的先驗概率分佈時，後驗概率分佈給出的點估計和可信區間發生了變化: 後驗概率分佈向右邊(治療無效)發生了位移(shifttowardsnotreatmenteffect)，也就是療效的點估計從-5.3下降至-3.4; 95%可信區間的範圍變得比左邊使用無信息先驗概率的結果狹窄了(估計變得精確了)，從之前的(-11.8,1.3)變窄至(-7.3,0.4)。

圖95.3:MethotrexateinSeleroderma:comparisonofpriors 紅色面積(也就是支持MTX治療有效的概率)，因爲分佈的位移，以及可信區間變窄的原因，從94%略增加到了96%。

在這個實驗中先驗概率分佈和該次試驗計算的似然給模型提供了相似的信息量。

在更多的情況下，歷史數據，背景知識只能給出有限的信息量。

所以，一個使用貝葉斯方法計算的統計報告，你會看見統計學家使用多個不同的先驗概率分佈，加上該次試驗的似然，來計算多個不同先驗概率下給出的後驗概率分佈結果，從而展示他/她給出的結論對於不同先驗概率的敏感程度。

這個實例給我們展示了貝葉斯統計學能做到，而概率論統計學不能做到的幾個要點: 貝葉斯分析結果可以告訴我們，藥物有效的概率是多少，簡單直接了當。

背景知識，除了你可以洋洋灑灑地寫在論文中之外，竟然還可以被當做一種先驗概率分佈，有效地和實驗數據獲得的似然相結合，妙哉妙哉。

三種評估手段，可以通過貝葉斯統計學模型整合到一起，同時給出後驗概率的分佈，這在傳統的概率論統計學模型中是很難，甚至是不可能做到的。

貝葉斯方法同時還允許我們建立十分複雜的模型，且不必擔心模型擬合計算量對電腦的要求。

中途退出試驗的患者數據可以使用貝葉斯方法簡單地歸納進統計模型中來，概率論統計學所使用的缺失值的補全法其實相比貝葉斯法來說顯得不完整，且可靠程度較低。

醫生從貝葉斯統計方法計算的結果中獲得了更加多的信息，和結論。

你可以計算超過某個療效差異的概率大小。

在貝葉斯統計學方法中，整個事後概率的密度分佈圖都可以給出，而不僅僅是一個點和信賴區間的估計。

95.2Example:TheGREATtrial 接下來我們一起一步一步利用GREAT臨牀試驗數據，看看下面不同的分析方法會帶給我們什麼樣子的結果： 經典統計學方法; 貝葉斯統計學方法（通過兩種不同的先驗概率分布） 95.2.1Background(GREATtrial) GREAT臨牀試驗是一項隨機雙盲對照試驗(RCT)，試驗藥物是阿尼普酶(anistreplase，復合纖維溶解酶)，具有溶解血栓的效果。

該試驗比較的是傳統的心肌梗塞(myocardialinfarction,MI)被確診之後的治療方法，和家庭醫生對患者確診心肌梗塞之後在家中就立即服用阿尼普酶的療效是否有差異。

主要結果：30天死亡率 之前有過研究(GISSItrial)，結果表明，當患者在醫院時，阿尼普酶如果在確認患者發生心肌梗塞之後一小時內服用，能夠有效降低患者因心肌梗塞導致的一年死亡率(從19%降低至12%)。

但是當投藥發生在患者心肌梗塞確診６小時以上時，死亡率則沒有變化。

本次試驗的方法是： 家庭醫生給予患者阿尼普酶(治療組)或者安慰劑(對照組)； 當患者被送至醫院後，院內給予安慰劑(治療組)，或者阿尼普酶(對照組)。

[注意二者投藥順序正好相反]。

95.2.2試驗結果 治療組（在家中先服用阿尼普酶後院內服用安慰劑）163例，死亡病例13例；對照組(家中服用安慰劑後院內服用阿尼普酶)148例，死亡23例。

95.2.3經典統計學分析方法 觀察數據給出的比值比的點估計可以計算爲:\(\text{OR}=\frac{13/(163-13)}{23/(148-23)}=0.47\);根據比值比的對數服從正態分布，且標準誤爲:\(\text{SE}_{\log(\text{OR})}=\sqrt{\frac{1}{13}+\frac{1}{163-13}+\frac{1}{23}+\frac{1}{148-23}}=-0.7528664\)，那麼\(\log{\text{OR}}\)的95%CI可以計算爲\(\log{0.47}\pm1.96*(-0.7528664)=(-1.47,-0.03)\)，再反過來計算\(\text{OR}\)的95%CI，可以獲得比值比的信賴區間是：\((0.23,0.97)\)。

至此，傳統的統計學方法的計算過程結束，獲得點估計:\(\text{OR}=0.47;95\%\text{CI:}(0.23,0.97),p=0.04\)。

95.2.4貝葉斯統計學分析方法 先驗概率使用專家意見:expertprior 專家的意見來自之前已經進行過的三個較小的臨牀試驗： 阿尼普酶可能可以降低一些死亡率，但是不多(15-25%); 阿尼普酶不太可能降低死亡率達到40%或者以上 這個專家意見被貝葉斯統計學家用統計學語言翻譯成:在比值比尺度上(OR)，治療組(家中立即服用阿尼普酶)相對對照組的比值比的95%信賴區間應該在\((0.6,1)\)範圍內，包括1。

我們還需要把這句話再進行對數轉換以便於做邏輯回歸計算(log-oddsratio) \(\log(\text{OR})\)的95%信賴區間的範圍需要落在\((-0.51,0)\)之內; 這相當於就是一個均值爲\(\log(0.6)/2=-0.26\),方差是\((\frac{0-\log(0.6)}{2}=0.13)^2\)，的正態分布: x