Green 定理與應用(第7 頁)

為複數平面上之單連通區域(simply connected domain)，f 為定義在 ${\mathcal{R}}$ ... 解：假設f=u+iv , z=x+iy 則複變積分（實際上就是線積分）為.   　1│2│3│4│5│6│7　 Green定理與應用 （第7頁） 林琦焜   首頁|搜尋 ．原載於數學傳播第二十一卷第四期 ．作者當時任教於成功大學數學研究所 ‧對外搜尋關鍵字   七、Green定理在複變函數論之應用       應用一： Cauchy定理： 為複數平面上之單連通區域(simplyconnecteddomain)，f為定義在上之單值(singlevalue)連續可微且解析的函數，則 其中C為包含在內之任意分段平滑之Jordan曲線。

解：假設 f=u+iv,z=x+iy則複變積分（實際上就是線積分）為 但f可微且 因為u,v之偏導數為連續，因此可利用Green定理分別作用到實部與虛部得 由Cauchy-Riemann方程（f為解析函數） 知上面兩個積分為零，故可結論 複變積分的物理意義可由第三節的討論而得，仿Cauchy定理之證明； 當然可以利用Green定理將之化為二重積分，（比較(9)，(16)） f之複變積分轉化為向量場F=(u,v)之旋度與散度的二重積分，換句話說，透過對向量場F=(u,v)的旋度與散度的研究可幫助我們對函數或f的認識，實際上Cauchy-Riemann方程就是散度與旋度的組合： 在近代分析中極負盛名的補償緊緻法(comnpensatedcompactnessmethod)之精神便是，如果向量場之散度與旋度有很好的性質，則原向量場可以得到更好的緊緻性（就是所謂的散度旋度引理(div-curllemma)）。

      應用二： (40)式可視為複數形式的Green定理；我們先看看座標變換： 由全微分或連鎖律(chainrule)可得 因此Laplace算子可表為 現在考慮可微分函數(differentiablefunction)， ，則 另一方面利用微分型式(differentialform)之公式可得 複數形式的Green定理： 為連續且其偏導數亦為連續則 其中 ，滿足Green定理之要求。

如果f為解析函數(analyticfunction)則 分別取實部與虛部等於零，這就是著名的Cauchy-Riemann方程式： 再一次得到Cauchy定理 因此我們可以說Green定理的推廣就是Cauchy定理的推廣。

      應用三： Cauchy積分公式：假設 ，則 這個公式顯然是在一般大學部複變函數理論之Cauchy積分公式之推廣。

證明：我們仿前面之例題3計算線積分之方法考慮區域 並且取函數 則由Green定理(50)知 因此 令 且由連續性之特性可得 另一方面由極座標知 所以(55)成為Cauchy積分公式（令 ） 註1：Cauchy積分公式是個古老且優美的結果，通常我們極容易就認定，這就是其終極形式，然而這個「神話」卻於1978年代由Kerzman與Stein在研究多複變函數(SeveralComplexVariables)所打破，這個結果，我們稱為Kerzman-Stein公式，有興趣之讀者可參閱相關資料。

註2：如果f為解析函數(analyticfunction)， ，則該公式就回到傳統的Cauchy積分公式，它告訴我們，對內任一點 ，函數值，可由表為邊界 之路徑積分，而這個表現定理(representationtheorem)也提供了Cauchy-Riemann方程 解的公式。

      應用四： 如果考慮微分方程（ 問題） Cauchy積分公式(53)告訴我們右邊第一式可視為齊次解(homogeneoussolution)，因此Cauchy積分公式(53)同時提議 問題(58)之解為 -問題： 假設 ，則非齊次Cauchy-Rieman微分方程 之解可表為 為任意的解析函數(analyticfunction) 解：這問題是解決可由複變函數之理論而來，但我們比較喜歡用偏微分方程的技巧，由Cauchy積分方式，直觀而言，我們需要處理的是 顯然可知 因此我們可以假設 c為一待求之常數，不失一般性可z0=0則 直接微分得 因此 換句話說 所以 故一基本解(fundamentalsolution)故 問題之解為       應用五： 在複變函數論的發展歷史中，是與流體力學有非常密切之關係，特別是二維穩定、不可壓縮、無旋度、不具黏性的流體(steadytwo-dimensionalflowofanincompressible,irrotational,inviscidfluid)其中最著名的是Bernoulli定律，這定律說明了飛機飛行的原理，是航空史第一個最重要的定律： Bernoulli定律： 假設Ω為xy-平面上的一個單連通區域(simplyconnecteddomain)而曲線 則代表Ω中一條有長度分段平滑的封閉區線，因此曲線C上任一點之單位切向量與單位朝外法向量為 另外假設流體的速度為 則由(43)式可知 實部表示沿曲線C之環流，虛部則表示曲線內面積之變化率，由於我們所考慮的是特殊的流體（穩定、不可壓縮、無旋度、不具黏度性）這個假設告訴我們在曲線C內唯一作用到流體的力是流體本身的壓力（法向量方向）必須等於通過C之動量通量(momentumflux)，因此 ρ表示流體之密度，P為其壓力，利用關係式 可以將(65)改寫為 最後我們假設流體是均勻的(homogeneous)因此常數，因為是解析函數，所以 也是解析函數，故由Cauchy定理可知 所以(66)式化簡為 由Morera定理可結論被積分函數 為解析函數， 但由Green定理(51)式，可知唯一可能的實值解析函數(real-valuedanalyticfunction)是常數函數，因此可結論 1.數學之內容方法及意義(I,II,III)；徐氏基金會出版(1970)。

2.TheCauchyTransform,PotentialTheoryandConformalMapping;StevenR.Bell;CRCPRESS(1992). 3.IntroductiontoCalculusandAnalysis(I,II);R.CourantandF.John;Springer-Verlag(1989). 4.ComplexVariables;G.PolyaandG.Latta;JohnWileyandSons,Inc.(1974). 5.VectorandTensorAnalysis;2nded.,E.C.Young;MarcelDekker,Inc.(1993).     　1│2│3│4│5│6│7　   （若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。

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