位移、速度、加速度| 學呀- 物理| 物理化、微分、一維運動

位移、速度、加速度在瞭解位移、速度、加速度三者的定義之後，是時候我們可以深入一點探究這三個物理量背後的關係了。

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致教育 感謝以下內容貢獻者的編輯 noil NeilLu 位移、速度、加速度 課程目錄 編輯課程 分享至Google教室 位移、速度、加速度 在瞭解位移、速度、加速度三者的定義之後，是時候我們可以深入一點探究這三個物理量背後的關係了。

我們將使用微積分 來探討這些東西背後的意義。

函數的切線斜率 在開始研究物理之前，讓我們先複習一下微分的基本定義。

我們以$y=f(x)=x^2$的圖形來舉例： 其中，每一點都有各自的切線斜率。

例如，在$x=2$時，切線斜率為$2$；在$x=3$時，切線斜率為$6$。

如果現在我們要把$f(x)$在各個點上的斜率寫作一個函數$f\prime(x)$，我們可以將$f(x)$進行微分：  $$f\prime(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]$$$$=\frac{d}{dx}[x^2]=2x$$ 於是我們便能知道，若要求$y=x^2$圖形上任意一點的斜率，只需要將該點的$x$座標帶入$f^\prime(x)=2x$這個函數就可以了。

速度是位移對時間的微分 回想一下速度與位移的基本定義，並且回想一下X-t圖與v-t圖。

其實速度就是X-t圖上點跟點之間的斜率罷了！若今天求的是瞬時速率，那就是X-t圖上某一點的切線斜率。

接著，讓我們將X-t圖上，X與t的關係寫成函數。

假設有一個函數$X(t)$，只要將時間$t$代入該函數即可求得該時間的位置，此時，另一個函數$v(t)$，將時間$t$代入籍可求得該時間的速度，那麼我們就可以說：$v(t)$是$X(t)$的微分。

現在假設$X(t)=x^2$，也就是說，當$t=2$時，位置的座標在$4$，在$t=3$時，位置座標在$9$。

那我們要怎麼求得 $t=2$和$t=3$時的瞬時速度呢？別忘了，速度是位移對時間的微分，因此我們可以得到： $$v(t)=\frac{d}{dt}[X(t)]$$$$=\frac{d}{dt}[t^2]=2t$$ 現在我們知道了$v(t)=2t$了，我們就可以知道$t=2$時速度是$4$，$t=3$時速度是$6$。

加速度是速度對時間的微分 讓我們再回想一下v-t圖與a-t圖，是不是加速度就是速度的斜率呢？仔細想想，斜率就是某單位內的變化，而加速度正是速度的變化量，引此我們可以篤定地說，加速度是速度的斜率；或者說，加速度是速度對時間的微分。

我們回想剛剛求得的$v(t)=2t$，如上圖所示。

現在，我們要對速度微分，得到一個加速度對時間的函數： $$a(t)=\frac{d}{dt}[v(t)]$$$$=\frac{d}{dt}[2t]=2$$ 我們得到了一個函數$a(t)=2$，可以知道，再任意時間點，該物的加速度都會是$2$。

位移—速度—加速度 至此，我們知道了速度是位移對時間的微分，而加速度是速度對時間的微分。

換句話說，加速度即是位移對時間的二階微分。

用$f(x)$與$f^\prime(x)$的寫法可以寫作： $$v(t)=X^\prime(t)$$$$a(t)=v^\prime(t)=X^{\prime\prime}(t)$$ 若寫作積分的形式，我們可以得到： $$X(t)=\intv(t)dt$$$$v(t)=\inta(t)dt$$ 如果把位移、速度、加速度三個函數畫到同一張圖上，我們便可以得到這樣的圖形。

仔細觀察的話可以發現，若今天位移是二次函數，速度便會是一次函數，而加速度即為零次函數（常數函數），這也符合了我們對微積分的認知。

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