位移、速度與加速度- 维基教科书，自由的教学读本

三個質點從坐標原點以相同的速度出發，由於分別擁有正、零、負的加速度而導致其位置和關於時間的曲線。

原公式分別為：. 綠線:s(t)=t2+t，加速度a 與初速同方向，時間越 ... 位移、速度與加速度 维基教科书，自由的教学读本 跳到导航 跳到搜索 目录 1概述 1.1定義 1.2圓周運動 1.3速度相加 1.4加速度與位移的關係 1.5切線斜率、微分、導數 2純量考量 2.1位移、速度與加速度的階層關係 2.2第一個練習：等速運動 2.3第二個練習：初速度為0，等加速度 2.4第三個練習：速度與加速度同向 2.5第四個練習：速度與加速度反向 3向量考量 概述[编辑] 三個質點從坐標原點以相同的速度出發，由於分別擁有正、零、負的加速度而導致其位置和關於時間的曲線。

原公式分別為： 綠線:s(t)=t2+t，加速度a與初速同方向，時間越往後，每單位時間所進行的位移越大。

藍線:s(t)=t，加速度a為0，任可時間其每單位時間的位移皆不變，即速度皆不變。

紅線:s(t)=-0.13*t2+t，加速度a與初速相反方向，加速度會逐漸抵消掉初速，直到速度為0，然後加速度會使質點的運動回頭，時間越往後回頭的速度越快，每單位時間「負向」位移越大。

藍線的幾何圖形是直線，綠線和紅線的幾何圖形是拋物線。

綠線的最高次項係數為正值，所以右側向上；紅線的最高次項係數為負值，所以右側向下。

定義[编辑] 加入方向考慮之後，如何從一段運動軌跡得到加速度。

位移：物體位置的變化，包含零位移。

速度：物體在單位時間內的位移。

即位移對時間的微分。

速度包含大小和方向兩個元素。

其中「大小」叫做「速率」。

但速度與「位置」無關，等速運動中，不管位置在哪裡，其速度不變，都是同一個值，因為其大小和方向皆相同。

加速度：物體在單位時間內速度的變化。

即速度對時間的微分。

加速度也包含大小和方向兩個元素，也與位置無關。

右圖中綠線是運動的軌跡，藍線及箭頭(S1、S2、S3…)代表每單位時間位移的向量。

由小圖中可以看到v1=S1/Δt,v2=S2/Δt，而加速度a1=v2-v1/Δt。

位移、速度與加速度是用來解釋微積分極好的工具，因為： 三者在微積分上階層簡明：位移的微分得到速度，速度的微分得到加速度；而加速度的積分得到速度變化量，速度的積分得到位移。

三者用多項式就能表達。

圓周運動[编辑] 圖一:圓周運動切線速度與向心加速度示意圖 右圖紅色向量代表切線速度，不同瞬間，速率相等，速度不等(方向不同)。

藍色向量代表向心加速度，不同瞬間，加速度大小相等但方向不等。

注意，右圖中藍色向量的向心加速度標示過大，需要修改，真正的大小以圖二較為準確。

a,v,r之間的大小關係 圖二:圓周運動a,v,r關係圖 a = v 2 − v 1 Δ t = Δ v Δ t {\displaystylea={\frac{v_{2}-v_{1}}{\Delta{t}}}={\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}}} ，必須與 r 1 {\displaystyler_{1}} 平行且是 r 1 {\displaystyler_{1}} 順時鐘轉180度 v = r 2 − r 1 Δ t = Δ r Δ t {\displaystylev={\frac{r_{2}-r_{1}}{\Delta{t}}}={\frac{\Delta{r}}{\Delta{t}}}} 求出 a = v 2 r {\displaystylea={\frac{v^{2}}{r}}} 或 a r = v 2 {\displaystylear=v^{2}} 證明： 圖二中右方與左方三角形相似 Δ v v = Δ r r {\displaystyle{\frac{\Delta{v}}{v}}={\frac{\Delta{r}}{r}}} => 兩邊分母同乘 Δ t Δ v v ∗ Δ t = Δ r r ∗ Δ t {\displaystyle\Delta{t}\quad{\frac{\Delta{v}}{v*\Delta{t}}}={\frac{\Delta{r}}{r*\Delta{t}}}} => 1 v ∗ Δ v Δ t = 1 r ∗ Δ r Δ t {\displaystyle{\frac{1}{v}}*{\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}}={\frac{1}{r}}*{\frac{\Delta{r}}{\Delta{t}}}} => 1 v ∗ a = 1 r ∗ v {\displaystyle{\frac{1}{v}}*a={\frac{1}{r}}*v} => a = v 2 r {\displaystylea={\frac{v^{2}}{r}}} 圓周運動的動力過程 有一個速度向量使運動軌跡直線前進 加上與其垂直的加速度向量，因為加速度與原速度方向垂直，所以無法增加或抵消原速度的大小，只能改變其方向 加速度將軌跡拉彎 反覆上述的過程將得到一個圓周運動的軌跡 速度相加[编辑] A在月台，看B在列車上，站在A的觀點：列車及B以速度u對他進行等速相對運動；B在車上射出一發子彈(或光束)，此子彈(或光束)對B的相對速度為v，則此子彈(或光束)對A的相對速度為 u + v 1 + u × v c 2 {\displaystyle{\frac{u+v}{1+{\frac{u\timesv}{c^{2}}}}}} 或 u + v 1 + u c × v c {\displaystyle{\frac{u+v}{1+{\frac{u}{c}}\times{\frac{v}{c}}}}} ，此公式特性如下： 當v為c時，相加後的速度為c。

也就是光束的速度不管從A或B的觀點來看都是c。

速度相加後永遠小於等於c。

當u、v都比c小很多時，相加後的速度趨近於u+v。

加速度與位移的關係[编辑] 復習乘法公式 證明： a {\displaystylea} 為常數，當位移-時間關係為 s = 1 2 a t 2 {\displaystyles={\frac{1}{2}}at^{2}} 時，速度為 a t {\displaystyleat} (此時稱為等加速度運動) s {\displaystyles} 代表不同時間物體的位置，和時間有以下關係： s = 1 2 a t 2 {\displaystyles={\frac{1}{2}}at^{2}} 即 s ( t ) = 1 2 a t 2 {\displaystyles(t)={\frac{1}{2}}at^{2}} 稍早時間 t {\displaystylet} 的位置為 s 1 = 1 2 a t 2 {\displaystyles_{1}={\frac{1}{2}}at^{2}} 稍晚時間 t + Δ t {\displaystylet+\Deltat} 的位置為 s 2 = 1 2 a ( t + Δ t ) 2 {\displaystyles_{2}={\frac{1}{2}}a(t+\Deltat)^{2}} 在經過很短時間 Δ t {\displaystyle\Deltat} 的位置改變為 Δ s = s 2 − s 1 {\displaystyle\Deltas=s_{2}-s_{1}} v = Δ s Δ t = s 2 − s 1 Δ t = 1 2 a ( t + Δ t ) 2 − 1 2 a t 2 Δ t = 1 2 a ( t 2 + 2 t Δ t + Δ t 2 ) − 1 2 a t 2 Δ t {\displaystylev={\frac{\Deltas}{\Deltat}}={\frac{s_{2}-s_{1}}{\Deltat}}={\frac{{\frac{1}{2}}a(t+\Deltat)^{2}-{\frac{1}{2}}at^{2}}{\Deltat}}={\frac{{\frac{1}{2}}a(t^{2}+2t\Deltat+\Deltat^{2})-{\frac{1}{2}}at^{2}}{\Deltat}}} = 1 2 a ( 2 t Δ t + Δ t 2 ) Δ t = a t Δ t + 1 2 a ( Δ t ) 2 Δ t = a t Δ t Δ t + 1 2 a ( Δ t ) ( Δ t ) Δ t = a t + 1 2 a Δ t {\displaystyle={\frac{{\frac{1}{2}}a(2t\Deltat+\Deltat^{2})}{\Deltat}}={\frac{at\Deltat+{\frac{1}{2}}a(\Deltat)^{2}}{\Deltat}}={\frac{at\Deltat}{\Deltat}}+{\frac{{\frac{1}{2}}a(\Deltat)(\Deltat)}{\Deltat}}=at+{\frac{1}{2}}a\Deltat} ∵ 1 2 a Δ t → 0 ∴ v = a t {\displaystyle\because{\frac{1}{2}}a\Deltat\to0\thereforev=at} 切線斜率、微分、導數[编辑] 設 y = f ( x ) {\displaystyley=f(x)} ，則函式 f {\displaystylef} 在 a {\displaystylea} 點切線斜率、微分、導數、 f ′ ( a ) {\displaystylef'(a)} 、 d y d x {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}} 、 d f ( x ) d x {\displaystyle{\frac{df(x)}{dx}}} 、( Δ f ( x ) Δ x {\displaystyle{\frac{\Deltaf(x)}{\Deltax}}} )、 lim Δ x → 0 f ( a + Δ x ) − f ( a ) Δ x {\displaystyle\lim_{\Deltax\to0}{\frac{f(a+\Deltax)-f(a)}{\Deltax}}} 都代表同一個意思。

純量考量[编辑] 同理，在只考純量的情形下： 設 s = f ( t ) {\displaystyles=f(t)} ，則 v = f ′ ( t ) {\displaystylev=f'(t)} 而 a = f ″ ( t ) {\displaystylea=f''(t)} 位移、速度與加速度的階層關係[编辑] f(x)，x軸上有a,b兩點對應的函數值為f(a)與f(b)，f'(a)~f'(b)函式曲線與x軸所夾面積，恰為f(a)與f(b)值的差；f''(a)~f''(b)函式曲線與x軸所夾面積，恰為f'(a)與f'(b)值的差。

此關係是直接來自微積分的基本定義，所以對所有的微積分函式都成立。

第一個練習：等速運動[编辑] 問題：等速運動，速度為2m/s，請作1~10秒的： 位移-時間圖、表 速度-時間圖、表 加速度-時間圖、表 答： 將x軸設為時間 位移-時間：位移y=2x 速度-時間：速度y=2 加速度-時間：加速度y=0 畫圖 x,y每單位取30點，每一單位畫一刻度： 原點距左上角：0,400 0~11切11段 第二個練習：初速度為0，等加速度[编辑] 問題：等加速度運動，初速度為0，加速度為0.2m/s2，請作1~5秒的： 位移-時間圖、表 速度-時間圖、表 加速度-時間圖、表 答： 將x軸設為時間 位移-時間：位移y=½(0.2)x2=0.1*x2 速度-時間：速度y=(0.2)x=0.2*x 加速度-時間：加速度y=0.2 畫圖 x,y每單位取100點，每一單位畫一刻度： 原點距左上角：0,400 0~6切6段 第三個練習：速度與加速度同向[编辑] 問題：等加速度運動，初速度為1，加速度為0.2m/s2，請作1~5秒的： 位移-時間圖、表 速度-時間圖、表 加速度-時間圖、表 答： 將x軸設為時間 位移-時間：位移y=½(0.2)x2+x=0.1*x2+x 速度-時間：速度y=(0.2)x+1=0.2*x+1 加速度-時間：加速度y=0.2 畫圖 x,y每單位取100點，每0.1單位畫一刻度： 原點距左上角：0,400 0~6切6段 第四個練習：速度與加速度反向[编辑] 問題：等加速度運動，初速度為1，加速度為-0.2m/s2，請作1~10秒的： 位移-時間圖、表 速度-時間圖、表 加速度-時間圖、表 答：將x軸設為時間 位移-時間：位移y=½(-0.2)x2+x=-0.1*x2+x 速度-時間：速度y=(-0.2)x+1=-0.2*x+1 加速度-時間：加速度y=-0.2 畫圖 x,y每單位取100點，每0.1單位畫一刻度 原點距左上角：0,400 各點之x值：始於0，終於11，切11段 向量考量[编辑] 取自“https://zh.wikibooks.org/w/index.php?title=位移、速度與加速度&oldid=110238” 分类：​数学物理學 导航菜单 个人工具 未登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 页面讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体港澳繁體马新简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页社群首页最近更改随机页面图书馆维基儿童上传文件 帮助 帮助互助客栈方针与指引字词转换所有页面IRC即時聊天联络我们关于维基教科书资助我们 工具 链入页面相关更改特殊页面固定链接页面信息引用本页 打印/导出 下载为PDF可打印版本 其他语言 添加链接