無窮小變換- 維基百科，自由的百科全書

與小旋轉之差只是ε2 階量。

無窮小變換的綜合理論最早由索甫斯·李給出。

事實上這是他在如今稱為李群及其李 ... 無窮小變換 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 數學裡，無窮小變換是小變換的一個無窮小極限。

例如我們可以談論三維空間中一個剛體的無窮小旋轉。

這通常由一個3×3反對稱矩陣A表示。

它不是空間中的實際旋轉；但是對一個小參數ε，我們有 I + ε A {\displaystyleI+\varepsilonA} 與小旋轉之差只是ε2階量。

無窮小變換的綜合理論最早由索甫斯·李給出。

事實上這是他在如今稱為李群及其李代數方面工作的核心；以及它們在幾何特別是微分方程中作用的等同。

一個抽象李群的性質正是無窮小變換的那些限定，正如群論的公理實現了對稱。

例如，在無窮小旋轉情形，將一個反對稱矩陣與一個三維向量等同，則李代數結構由叉積給出。

這相當於選取旋轉的一個軸；雅可比恆等式是叉積一個熟知的性質。

無窮小變換最早的例子可能認為出現於齊次函數的歐拉定理中。

它斷言n個變量x1,...,xn的一個度數為r的齊次函數F，滿足 H ⋅ F = r F {\displaystyleH\cdotF=rF} 其中 H = ∑ i x i ∂ ∂ x i {\displaystyleH=\sum_{i}x_{i}{\partial\over\partialx_{i}}} 是一個微分算子。

這是由性質 F ( λ x 1 , … , λ x n ) = λ r F ( x 1 , … , x n ) {\displaystyleF(\lambdax_{1},\dots,\lambdax_{n})=\lambda^{r}F(x_{1},\dots,x_{n})} 我們可對λ微分，然後取λ等於1。

這是光滑函數F有齊次性質的一個必要條件；這也是充足的（通過利用施瓦茲分布我們簡化這裡考慮的數學分析）。

在我們有一個縮放算子的單參數子群時這個過程是典型的；變換的信息事實上包含於一階微分算子無窮小變換中。

算子方程 e t D f ( x ) = f ( x + t ) {\displaystylee^{tD}f(x)=f(x+t)} 這裡 D = d d x {\displaystyleD={d\overdx}} 是泰勒定理的一個算子版本，從而只對f是一個解析函數成立。

集中於算子部分，它實際上說明D是一個無窮小變換，通過指數生成在實直線上的平移。

在李理論中，這推廣得很遠。

任何連通空間李群可由它的無窮小生成元（這個群李代數的一個基）構造出來；貝克-坎貝爾-豪斯多夫公式中給出了清晰不過未必總有用的信息。

取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=无穷小变换&oldid=26265838」 分類：​李群 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 EnglishFrançaisTürkçe 編輯連結