判別式- 維基百科，自由的百科全書
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，那麼根據二次方程式的求根公式，兩個根可以表示為：.
判別式
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(2018年4月5日)請加上合適的文內引註來改善這篇條目。
一元二次多項式的判別式
Δ
{\displaystyle\Delta}
與其函數圖像之間的關係
判別式是代數學中的概念。
一個實係數或復係數多項式的判別式是一個與之相關的表達式。
判別式等於零若且唯若多項式有重根。
當多項式的係數不是實數或複數域時，同樣有判別式的概念。
判別式總是係數域中的元素。
這時，判別式為零若且唯若多項式在它的分裂體中有重根。
判別式的通常形式為：
a
n
2
n
−
2
∏
i
<
j
(
r
i
−
r
j
)
2
{\displaystylea_{n}^{2n-2}\prod_{i
如果
D
=
0
{\displaystyleD=0\,}
，那麼
P
(
x
)
{\displaystyleP(x)\,}
有兩個相等實根
x
1
=
x
2
=
−
b
2
a
{\displaystylex_{1}=x_{2}=-{\frac{b}{2a}}\,}
，
P
(
x
)
{\displaystyleP(x)\,}
的圖像與
x
{\displaystylex\,}
軸相切。
如果
D
<
0
{\displaystyleD<0\,}
，那麼
P
(
x
)
{\displaystyleP(x)\,}
沒有實根，即
P
(
x
)
{\displaystyleP(x)\,}
的圖像與
x
{\displaystylex\,}
軸沒有交點。
一般多項式的判別式[編輯]
對於一般的一個多項式
p
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
a
n
−
2
x
n
−
2
+
…
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystylep(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_{1}x+a_{0}}
，
其判別式等於（差一個係數）以下的
(
2
n
−
1
)
×
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle(2n-1)\times(2n-1)\,}
的矩陣的行列式（見西爾維斯特矩陣）：
[
a
n
a
n
−
1
a
n
−
2
…
a
1
a
0
0
…
…
0
0
a
n
a
n
−
1
a
n
−
2
…
a
1
a
0
0
…
0
⋮
⋮
0
…
0
a
n
a
n
−
1
a
n
−
2
…
a
1
a
0
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
(
n
−
2
)
a
n
−
2
…
a
1
0
…
…
0
0
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
(
n
−
2
)
a
n
−
2
…
a
1
0
…
0
⋮
⋮
0
0
…
0
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
(
n
−
2
)
a
n
−
2
…
a
1
]
.
{\displaystyle\left[{\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots&a_{1}&a_{0}&0\ldots&\ldots&0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots&a_{1}&a_{0}&0\ldots&0\\&\vdots\&&&&&&&&\vdots\\&0&\ldots\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots&a_{1}&a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots\&a_{1}&0&\ldots&\ldots&0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots\&a_{1}&0&\ldots&0\\&\vdots\&&&&&&&&\vdots\\&0&0&\ldots&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots\&a_{1}\\\end{matrix}}\right].}
這個矩陣的行列式稱為
p
(
x
)
{\displaystylep(x)\,}
和
p
′
(
x
)
{\displaystylep'(x)\,}
的結式，記為
R
(
p
,
p
′
)
{\displaystyleR(p,p')\,}
。
p
(
x
)
{\displaystylep(x)\,}
的判別式
D
(
p
)
{\displaystyleD(p)\,}
由以下公式給出：
D
(
p
)
=
(
−
1
)
1
2
n
(
n
−
1
)
1
a
n
R
(
p
,
p
′
)
{\displaystyleD(p)=(-1)^{{\frac{1}{2}}n(n-1)}{\frac{1}{a_{n}}}R(p,p')\,}
.
例如，在
n
=
4
{\displaystylen=4\,}
的情況下，以上的行列式是：
|
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
0
0
0
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
0
0
0
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
0
0
0
0
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
0
0
0
0
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
0
0
0
0
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
|
{\displaystyle{\begin{vmatrix}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\&0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\&0&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}}
這個四次多項式的判別式就是這個行列式除以
a
4
{\displaystylea_{4}\,}
。
作為等價條件，多項式的判別式等於：
a
n
2
n
−
2
∏
i
<
j
(
r
i
−
r
j
)
2
{\displaystylea_{n}^{2n-2}\prod_{i
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