電磁學基礎(2) -- 向量微積分(作者：陳鍾誠)

在本期當中，我們將會說明電磁學的理論基礎，特別是有關向量微積分的部份。

... 定律, 微觀公式(使用散度、旋度), 巨觀公式(使用通量、環量), 說明 ... 程式人雜誌--2013年11月號(開放公益出版品) 電磁學基礎(2)--向量微積分(作者：陳鍾誠) 電磁學基礎(2)--向量微積分(作者：陳鍾誠) 在上一期當中，我們已經介紹了電磁學的一些基本概念，該文網址如下： 電磁學基礎(1)--關於電磁場的一些疑問？ 在本期當中，我們將會說明電磁學的理論基礎，特別是有關向量微積分的部份。

前言 為了要描述「力場、電場、磁場」等這些概念，物理學家與數學家發展出了通用的「向量場」觀念，這些觀念與微積分中的「無窮小」概念整合後，就發展出了「通量、環量、散度、旋度」等等數學描述，透過這些數學描述，我們就能更快速的進入「馬克斯威」的電磁理論領域。

通量與散度 在一個向量場當中，通量是指通過某個表面的向量總數，通常用積分的方式累加計算，例如在以下的圖(a)中，由於該粒子帶正電，會對其它正電粒子產生排斥力，因此其電場是向外發射的，於是若我們在電子外部加一個包覆球面，那麼通過該球面的電通量就會是正的，而且電通量大小就會是該粒子的電量大小。

圖、電場與電通量 同樣的、在圖(b)中由於粒子帶負電，會對其它正電粒子產生吸引力，因此其電場是向內集中的，所以通過包覆球面的電通量就會是負的。

如果該帶電粒子的電量較大，那麼我們通常會把電場線畫多一點，這種較密集的電場線在視覺上可以強調哪一部份的電場較強，如以上的圖(c)所示。

看過這個範例，我們就可以來正式定義「通量」的概念了。

定義：通量 直覺意義： F是一個向量場(例如電場)，S是一個曲面。

代表向量場與曲面法向量的內積。

向量場F與整個曲面S的法向量內積總和，即是通量。

通量大於零(通量>0)代表有向外發射的傾向。

通量小於零(通量<0)代表有向內匯集的傾向。

在以上的定義當中，曲面S並沒有要求是封閉的(像汽球一樣)，但是假如S是一個封閉曲面，那麼我們通常會用以下的環狀積分來代表這種封閉的情況。

對於電場而言，通常我們在意的是環狀曲面的通量，因此可以用上述環狀積分符號來表示此種情況。

通量的概念不只適用於一個粒子產生的電場，而是任何的電場都可以適用的。

例如以下是兩個粒子所產生的電場，其中圖(a)是兩個負電粒子所產生的電場，所以如果在兩者之外定義一個封閉曲面，那麼其電通量將會是這兩個粒子的負電量總合。

同樣的，如果是像圖(b)這樣一正一負的兩個粒子，那麼通過外部封閉曲面的電通量，將會因為正負相互抵消而變成零。

圖、兩個帶電粒子產生的電場與電通量 如果、我們想用微積分的概念，透過很多微小區塊的積分來計算通量總合的話，那麼我們就可以定義一個非常微小區域的通量密度，這種逼近無限小的平均通量概念，就稱為散度。

其定義如下： 定義：散度 直覺意義： F是一個向量場(例如電場)，S是一個封閉曲面，V是封閉曲面所包圍的體積。

代表向量場與曲面法向量的內積。

代表封閉曲面S的通量。

散度是發散點或內聚點的衡量值。

發散點箭頭向外散射（散度>0)。

內聚點箭頭向內聚射(散度<0)。

散度是單一點的通量密度。

如果某一點的散度大於0，代表那個點向外射出的向量比向內射入的多，如果小於零則代表向內射入的向量比向外射出的多。

定理：散度定理，又稱「高斯散度定理」。

直覺意義： V是空間中的一個區域，而S是V的表面。

V區域的散度積分，等於向量場F對S的面積分。

在電磁學中，這代表我們只要計算通過S曲面的向量積分，就可以知道V區域裏面帶有多少電量。

反過來說、只要知道V區域帶有多少電量，就知道通過其表面的電力線總共有多少。

散度定理的證明想法：對於曲面內部的兩個相鄰小立方體A,B而言，這些向量直接穿過相鄰面，所以從A射出的向量與B射入的向量互相抵消，因此只有最外圍的那一面才不會被抵銷，因此只要算最外層表面的向量加總就可以了。

圖、散度定理的意義 所以散度定理只適用於封閉曲面(如上圖左半邊的情況)，但對於開放曲面(如上圖右半邊的情況)則不適用。

在迪卡兒座標系統內的通量與散度 在迪卡兒座標系統內，我們可以用下列函數來描述一個向量場 上式代表空間中的每一個點(x,y,z)都有一個向量P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k附著於該點上，其中的i,j,k分別是x軸、y軸、z軸方向上的單位向量，也就是i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)。

那麼、所謂的某一個點的散度，在三維迪卡兒座標系統(直角坐標系統)內其實是向量場F在(x,y,z)這點的三個偏微分值加總。

換句話說，在三維迪卡兒座標系統內，以下等式是成立的： 由於上式看起來等號兩邊並沒有直接關係，因此讀者必然感到奇怪，但是受限於筆者的數學能力，恐怕無法進行正式的證明，因此我們簡要的寫出「證明想法」如下。

證明想法：(非正式證明) ;根據散度定義 ;根據下表的微量面積算式 ;根據均值定理，S內部必然有個點滿足此式 ;因為S無限小，所以。

. 說明：上述陳述的證明想法，牽涉到「微量長度、微量面積、微量體積」的表示方法，如下所示： 微量體積 微量長度 微量面積 注意：在迪卡兒座標系中，向量場F的散度為，但這個算式其實是的內積值，因此數學上才會用類似內積的符號代表散度。

環量與旋度 環量與旋度是用來計算環繞著某個封閉曲線的旋轉力量強度，以下是一個環狀向量場的圖示範例： 圖、環形向量場 為了衡量向量場的這種旋轉強度，數學家們定義了環量這個概念。

定義：環量 直覺意義： F是一個向量場(例如磁場)，C是一條封閉曲線，是曲線邊緣的切線向量。

環量和通量一樣，是描述向量場的重要參數，但環量描述的是旋轉的力量總和，而通量描述的是吸引與排斥的力量總和。

某個區域中的環量不等於零，說明這個區域中的向量場表現出環繞某一點或某一區域旋轉的特性。

為了描述一個向量場F在一點附近的環量，將閉合曲線C收小，使它包圍面的面積U趨於零時，可以得到一個平均環量強度的極限值，這個平均環量強度就稱為該點的旋度。

定義：旋度 直覺意義： F是一個向量場(例如磁場)，C是一條極小的封閉曲線，U是C所包圍的面積大小。

旋度是環量範圍C趨近於零的結果，是某一點的環量除以面積的極限值(環量密度)。

旋度代表被C包圍的那一點在方向上的旋轉強度。

旋度與方向有關，在不同的方向旋度也不同。

雖然旋度與散度一樣都是個純量，但是旋度卻必須指定方向才有辦法計算，因此隨著方向的不同，得到的旋度也會有所不同。

散度與旋度定理 定理：旋度定理、又稱「斯托克定理(Stokestheorem)」 直覺意義： S是空間中的一個曲面，而C是環繞S邊緣的封閉曲線。

S曲面上的旋度總和，等於S邊緣任一封閉曲線C的線積分。

斯托克定理的證明想法：在下圖中，S曲面內方格的共用邊向量會互相抵消，於是只要計算延著邊緣環繞線C的向量內積總和，就可以算出整體的環量。

圖、斯托克定理(Stokestheorem)的適用情況 馬克斯威方程式 在電磁學上，有四個重要的物理量，分別是-電場(E)、磁場(H)、電通量(D)與磁通量(B)等，這四個物理量之間可形成四條重要的物理學關係式，這四條關係式便是著名的馬克斯威方程式。

以下是這四個物理量之間的關係式： E 電場強度(Electricfieldintensity) ;其中為介電率 H 磁場強度(Magneticfieldintensity) ;其中為導磁率 D 電通量密度(Electricfluxdensity) B 磁通量密度(Magneticfluxdensity) 當初馬克斯威寫下的方程式，由於沒有使用「散度」與「旋度」這樣的算子，因此描述起來較為複雜，每個方程式都會寫成一組包含好幾個微分方程式的複雜寫法。

但是有了上述的數學概念之後，我們就可以用「散度」與「旋度」這樣的算子，更簡單的描述馬克斯威方程式了。

以下是使用散度與旋度描述的馬克斯威方程式。

法拉第定律 磁通量B的變化會產生感應電場E 安培定律 電流J與電通量變化會產生磁場H 高斯定律 電荷密度決定電通量D 自然定律 進入任一區域的磁通量一定等於出去的磁通量 如果是在相同的介質當中，上述方程式裏的介電率與導磁率就會是固定的，此時整個馬克斯威方程式就可以進一步簡化為下列兩條： 法拉第定律 磁場強度H的變化會產生感應電場E 安培定律 電流J與電場強度E的變化會產生磁場H 於是「法拉第定律」與「安培定律」就成了電磁學裏最重要的兩條方程式。

如果將上述相同介質中「法拉第定律」的「散度」與「旋度」等算子(,)給還原，然後再將每個方向的分量都寫出來，那麼上述的算式就可以改寫為下列向量場方程式： 同樣的、安培定律也可以改寫為以下的向量場方程式： 而上述的這種寫法也就是當初「馬克斯威」所寫的方程式形態，這種型態的方程式經過「黑維塞」用(,)等算子重新詮釋之後，就成了表格中您所看到的簡潔版本了。

根據上述的馬克斯威方程組，我們可以看到介電率和磁導率是兩個重要的常數，通常介電率用符號表示，而磁導率用符號表示。

介電率是介質響應外加電場的極化的衡量值，介電率的測量單位是法拉／公尺（Farad/meter，F/m）。

真空狀態的介電率(「真空介電常數」)的數值是 磁導率是一種材料對一個外加磁場線性反應的磁化程度。

磁導率的單位是亨利每米（H/m），或牛頓每安培的平方（）。

而真空狀態的磁導率為。

波動方程式 以下的向量場微分方程式可以用來描述電磁波的傳遞行為，因此稱為波動方程式(其中的E代表電場，是個向量場)。

根據上述的波動方程式，電磁波的速度為，在真空狀態下，電磁波的速度等於，也就是光速，這個現象讓馬克斯威直覺的推論出「光是一種電磁波」。

那麼、波動方程式是怎麼來的呢？ 這個問題的解答，當然是從馬克斯威方程延伸推論而來的，我們只要利用相同介值中的法拉第定律與安培定律，也就是下列兩條，就可以導出波動方程式了。

法拉第定律 磁場強度H的變化會產生感應電場E 安培定律 電流J與電場強度E的變化會產生磁場H 推導：波動方程式 根據上述的法拉第定律與安培定律，可推得下列結果 ; 接著假設電流密度為零，於是得到 ; 接著根據迪卡兒座標系統中的curlofcurl定理，可得下式 ; 接著假設電荷密度為零，那麼根據可推論，於是得到： ;這就是波動方程式了。

接著、我們就可以根據波動方程式推論電磁波的傳遞速度，讓我們用一個範例來看看這個推論： 範例：假設電場E=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中，而Q,R均為0，那麼那麼請問c是多少才會符合波動方程式的解。

解答： ; ; ; 接著根據波動方程式，可以得到下式： ; 所以可以推論. 因此、上述範例中的電場之函數如下： ; . 這代表E為一個往z軸方向行進的電磁波，其振幅為A，而頻率為，且行進速度為。

說明：上述電場波動的振幅為A，頻率為是比較容易理解的，學過sin,cos等三角函數的人應該可以輕易理解。

但是為何行進速度為呢？ 如果您想像一個海浪，正往右方打去，那麼該海浪的速度為多少呢？一個直覺的看法是看波峰走的距離，然後除以花費的時間就得到速度。

同樣的，對於這個波而言，如果在t時間波峰在z，且在t+dt這個時間點波峰在z+dz，那麼我們就可以用dz/dt來計算波速。

而要保持某點在正弦波上的位置不變，方法就是用去抵銷t所造成的功效，也就是兩者都在波峰、或者兩者都在波谷的情況。

因此該電磁波的速度就是滿足的情況，於是我們可以得到： ;在某個時間t，位置z處的電場大小為 ;在經過dt時間後，我們希望看到那個同樣大小的向量移動到z+dz。

;也就是該電場大小不變，但是位置從z移到了z+dz。

;於是我們找出dt與dz的關係式。

;也就是速度為. 而且、我們知道在真空中，介電率與代入後，該速度恰好為光速，這也正是馬克斯威推論光波為一種電磁波的原因。

參考文獻 CollegePhysics,OpenStaxCollege. Wikipedia:JamesClerkMaxwell 維基百科：馬克士威方程組 維基百科：詹姆斯·克拉克·馬克士威 維基百科：論法拉第力線 維基百科：論物理力線 維基百科：電磁場的動力學理論 維基百科：麥克斯韋關係式 維基百科：旋度 維基百科：散度 維基百科：電容率 維基百科：磁導率 線代啟示錄：梯度、旋度與散度 【本文由陳鍾誠取材並修改自維基百科與OpenStaxCollege的CollegePhysics一書，採用創作共用的姓名標示、相同方式分享授權】 程式人雜誌，採用創作共用：姓名標示、相同方式分享授權，歡迎加入雜誌社團