國中數學/乘法公式- 维基教科书，自由的教学读本
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國中數學/乘法公式 ; + b ) · + · {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} ; − b ) · − · {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}} ; + b ) ( a − b ) · − · {\ ...
國中數學/乘法公式
語言
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編輯
運算>乘法公式
國中常見的四個乘法公式分別是分配律
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
=
a
c
+
b
c
+
a
d
+
b
d
{\displaystyle(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd}
、和的平方公式
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
[註1]、差的平方公式
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
與平方差公式
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
。
目次
1分配律'"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"'
1.1證明
1.2例子
1.3習題
2和的平方公式'"`UNIQ--postMath-00000011-QINU`"'
2.1證明
2.2例子
2.3習題
3差的平方公式'"`UNIQ--postMath-00000022-QINU`"'
3.1證明
3.2例子
3.3習題
4平方差公式'"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"'
4.1證明
4.2例子
4.3習題
5更多乘法公式
6注釋
分配律
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
=
a
c
+
b
c
+
a
d
+
b
d
{\displaystyle(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd}
編輯
證明編輯
利用分配律，
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
=
(
a
+
b
)
c
+
(
a
+
b
)
d
=
a
c
+
b
c
+
a
d
+
b
d
{\displaystyle{\color{red}(a+b)}(c+d)={\color{red}(a+b)}c+{\color{red}(a+b)}d=ac+bc+ad+bd}
例子編輯
例題
1.
{\displaystyle1.}
計算
1002
×
197
{\displaystyle1002\times197}
。
解：
1002
×
197
=
(
1000
+
2
)
×
[
200
+
(
−
3
)
]
=
1000
×
200
+
1000
×
(
−
3
)
+
2
×
200
+
2
×
(
−
3
)
=
200000
−
3000
+
400
−
6
=
197394
{\displaystyle1002\times197=(1000+2)\times[200+(-3)]=1000\times200+1000\times(-3)+2\times200+2\times(-3)=200000-3000+400-6=197394}
例題
2.
{\displaystyle2.}
計算
673
×
524
+
227
×
524
−
673
×
224
−
227
×
224
{\displaystyle673\times524+227\times524-673\times224-227\times224}
。
解：
673
×
524
+
227
×
524
−
673
×
224
−
227
×
224
=
(
673
+
227
)
×
(
524
−
224
)
=
900
×
300
=
270000
{\displaystyle673\times524+227\times524-673\times224-227\times224=(673+227)\times(524-224)=900\times300=270000}
習題編輯
習題
1.
{\displaystyle1.}
計算
100
2
7
×
70
3
5
{\displaystyle100{\frac{2}{7}}\times70{\frac{3}{5}}}
。
習題
2.
{\displaystyle2.}
計算
513
3
8
×
221
6
11
+
486
5
8
×
221
6
11
+
513
3
8
×
178
5
11
+
486
5
8
×
178
5
11
{\displaystyle513{\frac{3}{8}}\times221{\frac{6}{11}}+486{\frac{5}{8}}\times221{\frac{6}{11}}+513{\frac{3}{8}}\times178{\frac{5}{11}}+486{\frac{5}{8}}\times178{\frac{5}{11}}}
。
和的平方公式
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
編輯
證明編輯
在
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
=
a
c
+
b
c
+
a
d
+
b
d
{\displaystyle(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd}
的
c
{\displaystylec}
代入
a
{\displaystylea}
，
d
{\displaystyled}
代入
b
{\displaystyleb}
，得到
(
a
+
b
)
2
=
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
+
b
a
+
a
b
+
b
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ba+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
例子編輯
例題
3.
{\displaystyle3.}
求
(
400
1
5
)
2
{\displaystyle(400{\frac{1}{5}})^{2}}
之值。
解：
(
400
1
5
)
2
=
(
400
+
1
5
)
2
=
400
2
+
2
×
400
×
(
1
5
)
+
(
1
5
)
2
=
160000
+
160
+
1
25
=
160160
1
25
{\displaystyle(400{\frac{1}{5}})^{2}=(400+{\frac{1}{5}})^{2}=400^{2}+2\times400\times({\frac{1}{5}})+({\frac{1}{5}})^{2}=160000+160+{\frac{1}{25}}=160160{\frac{1}{25}}}
例題
4.
{\displaystyle4.}
求
(
234
4
7
)
2
+
2
×
(
234
4
7
)
×
(
65
3
7
)
+
(
65
3
7
)
2
{\displaystyle(234{\frac{4}{7}})^{2}+2\times(234{\frac{4}{7}})\times(65{\frac{3}{7}})+(65{\frac{3}{7}})^{2}}
之值。
解：
(
234
4
7
)
2
+
2
×
(
234
4
7
)
×
(
65
3
7
)
+
(
65
3
7
)
2
=
(
234
4
7
+
65
3
7
)
2
=
300
2
=
90000
{\displaystyle(234{\frac{4}{7}})^{2}+2\times(234{\frac{4}{7}})\times(65{\frac{3}{7}})+(65{\frac{3}{7}})^{2}=(234{\frac{4}{7}}+65{\frac{3}{7}})^{2}=300^{2}=90000}
習題編輯
習題
3.
{\displaystyle3.}
求
(
400.7
)
2
{\displaystyle(400.7)^{2}}
之值。
習題
4.
{\displaystyle4.}
求
173
2
+
2
×
173
×
27
+
27
2
{\displaystyle173^{2}+2\times173\times27+27^{2}}
之值。
差的平方公式
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
編輯
證明編輯
在和的平方公式
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
的
b
{\displaystyleb}
代入
−
b
{\displaystyle-b}
得到
(
a
−
b
)
2
=
[
a
+
(
−
b
)
]
2
=
a
2
+
2
a
(
−
b
)
+
(
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle(a-b)^{2}=[a+(-b)]^{2}=a^{2}+2a(-b)+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
例子編輯
例題
5.
{\displaystyle5.}
求
(
699
6
7
)
2
{\displaystyle(699{\frac{6}{7}})^{2}}
之值。
解：
(
699
6
7
)
2
=
(
700
−
1
7
)
2
=
700
2
+
2
×
700
×
(
1
7
)
+
(
1
7
)
2
=
490000
−
200
+
1
49
=
489800
1
49
{\displaystyle(699{\frac{6}{7}})^{2}=(700-{\frac{1}{7}})^{2}=700^{2}+2\times700\times({\frac{1}{7}})+({\frac{1}{7}})^{2}=490000-200+{\frac{1}{49}}=489800{\frac{1}{49}}}
例題
6.
{\displaystyle6.}
求
(
123
7
13
)
2
−
2
×
(
123
7
13
)
×
(
23
7
13
)
+
(
23
7
13
)
2
{\displaystyle(123{\frac{7}{13}})^{2}-2\times(123{\frac{7}{13}})\times(23{\frac{7}{13}})+(23{\frac{7}{13}})^{2}}
之值。
解：
(
123
7
13
)
2
−
2
×
(
123
7
13
)
×
(
23
7
13
)
+
(
23
7
13
)
2
=
(
123
7
13
−
23
7
13
)
2
=
100
2
=
10000
{\displaystyle(123{\frac{7}{13}})^{2}-2\times(123{\frac{7}{13}})\times(23{\frac{7}{13}})+(23{\frac{7}{13}})^{2}=(123{\frac{7}{13}}-23{\frac{7}{13}})^{2}=100^{2}=10000}
習題編輯
習題
5.
{\displaystyle5.}
求
598
2
{\displaystyle598^{2}}
之值。
習題
6.
{\displaystyle6.}
求
254.4
2
−
2
×
254.4
×
54.4
+
54.4
2
{\displaystyle254.4^{2}-2\times254.4\times54.4+54.4^{2}}
之值。
平方差公式
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
編輯
證明編輯
在
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
=
a
c
+
b
c
+
a
d
+
b
d
{\displaystyle(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd}
的
c
{\displaystylec}
代入
a
{\displaystylea}
，
d
{\displaystyled}
代入
−
b
{\displaystyle-b}
，得到
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
+
b
a
−
a
b
+
b
(
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle(a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab+b(-b)=a^{2}-b^{2}}
例子編輯
例題
7.
{\displaystyle7.}
求
(
400
1
5
)
×
(
399
4
5
)
{\displaystyle(400{\frac{1}{5}})\times(399{\frac{4}{5}})}
之值。
解：
(
400
1
5
)
×
(
399
4
5
)
=
(
400
+
1
5
)
×
(
400
−
1
5
)
=
400
2
−
(
1
5
)
2
=
160000
−
1
25
=
159999
24
25
{\displaystyle(400{\frac{1}{5}})\times(399{\frac{4}{5}})=(400+{\frac{1}{5}})\times(400-{\frac{1}{5}})=400^{2}-({\frac{1}{5}})^{2}=160000-{\frac{1}{25}}=159999{\frac{24}{25}}}
例題
8.
{\displaystyle8.}
求
(
152
1
2
)
2
−
(
52
1
2
)
2
{\displaystyle(152{\frac{1}{2}})^{2}-(52{\frac{1}{2}})^{2}}
之值。
解：
(
152
1
2
)
2
−
(
52
1
2
)
2
=
(
152
1
2
+
52
1
2
)
×
(
152
1
2
−
52
1
2
)
=
205
×
100
=
20500
{\displaystyle(152{\frac{1}{2}})^{2}-(52{\frac{1}{2}})^{2}=(152{\frac{1}{2}}+52{\frac{1}{2}})\times(152{\frac{1}{2}}-52{\frac{1}{2}})=205\times100=20500}
習題編輯
習題
7.
{\displaystyle7.}
求
599.4
×
600.6
{\displaystyle599.4\times600.6}
之值。
習題
8.
{\displaystyle8.}
求
429
2
−
329
2
{\displaystyle429^{2}-329^{2}}
之值。
更多乘法公式編輯
參見：高中數學/乘法公式
三個數的平方和：
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
b
c
+
2
c
a
{\displaystyle(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}
立方和公式：
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystylea^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
立方差公式：
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystylea^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
和的立方公式：
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
差的立方公式：
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
−
b
3
{\displaystyle(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}
注釋編輯
↑
a
2
=
a
{\displaystylea^{2}=a}
‧
a
{\displaystylea}
，詳見指數記號。
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乘法公式
取自「https://zh.wikibooks.org/w/index.php?title=國中數學/乘法公式&oldid=140222」
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