行列式的運算公式與性質 - 線代啟示錄

倘若用別的方式來定義行列式，任何敏感的人都將會永遠痛恨諸如行列式，Jacobian式，以及隱函數定理這些東西。

───俄國數學家阿諾爾德(Vladimir ... 線代啟示錄 Iseeknottoknowtheanswers,buttounderstandthequestions. Skiptocontent ←每週問題November29, 2010 每週問題December6, 2010→ 行列式的運算公式與性質 Postedon12/01/2010byccjou 本文的閱讀等級：初級 一個矩陣的行列式就是一個平行多面體的(定向)體積，這個多面體的邊對應矩陣的行。

如果學生們得知了這個秘密(在純粹代數式的教學中，這個秘密被小心地隱藏起來)，那麼行列式的整個理論將成為多重線性形式理論的一部分。

倘若用別的方式來定義行列式，任何敏感的人都將會永遠痛恨諸如行列式，Jacobian式，以及隱函數定理這些東西。

───俄國數學家阿諾爾德(VladimirArnold)〈論數學教育〉[1]   在線性代數發展歷史中，行列式和矩陣理論一直有著密切的關係。

行列式概念最早出現於解線性方程組的過程中，十七世紀末，日本數學家關孝和與德國數學家萊布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz)的著作就已使用行列式來確定線性方程組解的數目與形式[2]。

十九世紀以後，矩陣的引入使得更多的行列式性質被發現，行列式的發展遂漸趨完善。

今天多數線性代數教科書都會開闢一個專門討論行列式的章節，但主要的目的並非求解線性方程組，而是為了順利導入矩陣的特徵多項式。

不過，美國數學教授阿斯勒(SheldonAxler)卻抱持反對的態度，他認為行列式是線性代數核心原理的推導結果，而不是行列式推導出線性代數的核心原理。

1994年，阿斯勒發表〈斷絕行列式〉(Donewithdeterminants!)，該文嚴厲抨擊行列式目前於線性代數的「地位」，之後並獲得不少數學家的共鳴和迴響。

阿斯勒反對行列式的理由在於行列式難以理解，不具直覺，而且常在缺乏明顯動機的情況下被引用。

不僅如此，行列式與線性代數理論的基調不甚相合。

行列式的計算公式與主要的矩陣運算無關，它像是從一堆矩陣元拼貼出來的蒙太奇，讓人困惑如此怪異的公式究竟是怎麼冒出來的。

雖然我們無法改變或簡化行列式公式，但仍可嘗試編排出易於理解的推導過程。

本文從計算平行四邊形的面積推導行列式的運算公式，這麼做雖有違行列式誕生的初衷，但此法能夠豐富行列式的幾何直覺解釋並顯現行列式的一些重要性質。

  設和為平面上的兩個向量(見圖一)。

考慮矩陣，我們定義函數為和所張的平行四邊形面積。

通常我們會揀選最便捷的解題途徑[3]，不過在此我採用一種比較不尋常的作法：先找出此函數必須滿足的條件，等待條件充足後，再著手推導面積函數的公式。

圖一兩個向量張開一個平行四邊形   首先考慮最簡單情況：，。

兩個垂直的標準單位向量張開單位正方形，於是有下面的性質。

  性質一：，其中是單位矩陣。

  再看另一個極端情況：，兩向量完全重合表示所張的平行四邊形面積等於零。

  性質二：若有相同的兩列(row)[4]，則。

  上述兩個性質仍不足以規範函數，我們需要更多有關平行四邊形的幾何性質，特別是所夾向量改變時，平行四邊形面積如何隨之變化。

圖二顯示向量的長度伸縮倍，對應的平行四邊形面積亦等比例改變，因此滿足下列關係： 。

圖二伸縮向量即伸縮平行四邊形   從基礎幾何學可知和所張的平行四邊形面積恰為和所張的平行四邊形面積與和所張的平行四邊形面積之和(見圖三)，亦即 。

圖三兩個平行四邊形面積之和等於另一個平行四邊形面積   運用對稱原理，同樣也有 我們將上述線性關係合併為一個性質。

  性質三：考慮的任一列，當其他列都固定時，為該列的線性函數。

  這裡要特別強調並非矩陣的線性函數，也就是說，和不成立。

對於階矩陣，性質三說明 推廣至階矩陣，則有。

  如果將的兩列對調，是否改變？交互使用性質二和性質三可以推出下面的結果： 性質四是性質二和性質三的必然結果。

  性質四：交換的兩列改變的正負號。

  性質四迫使函數必須是有號(signed)或定向(oriented)面積。

根據性質一，將右手拇指外的四根手指向手掌彎曲的方向視為由第一列至第二列的旋轉方向，則面積為正，反之，面積為負，此即右手定則。

如果最初設定性質一為，則按左手定則計算有號面積。

另外，假如我們要求平行四邊形的面積必須為非負數，，則性質三不復成立。

我們寧可打破舊有的幾何概念接受有號面積，也不願放棄這個美好的性質：行列式是每一列的線性函數(當固定其他列時)。

  準備就緒，現在可以利用上述性質推導函數。

類似性質四的推演過程，先運用性質三來分解，如下： 由性質二可知，，再由性質四和性質一， 合併以上結果，我們導出的計算公式： 。

這就是大家熟知的二階行列式公式。

為方便辨識，我們改以或替代： 。

推導行列式公式的過程雖然使用了性質四，但性質四也是由前面三個性質所導出，所以性質一、二與三唯一決定行列式的計算公式。

沿用上述方法，通過推導空間中平行六面體的體積可得三階行列式公式(見“內積與外積是怎麼來的？”)。

稍後我們將以歸納法推演高階行列式的計算公式。

  接著推演行列式的其他性質。

不論前述的四個性質或下面介紹的性質，對任何階方陣都是成立的。

  性質五：若包含一個零列，則。

  以二階行列式為例，利用性質三，將純量提出，就有 。

  性質六：列取代運算，即任一列乘以常數再加進另一列，不改變行列式。

  以二階行列式為例，若第列乘以加進第列，使用性質三和性質二，計算如下：   性質七：若為三角矩陣，等於主對角元乘積。

  假設三角矩陣的主對角元皆不含零，以列取代運算將化簡為對角矩陣， 。

性質六指出列取代運算不改變行列式，因此。

利用性質三，逐次將的主對角元提出，再使用性質一，可得 。

  性質八：若是一個可逆矩陣，則；若是不可逆的，則。

  對矩陣執行基本列運算，將化簡為上三角矩陣，性質四指出列交換運算改變行列式正負號，性質六則說明列取代運算不改變行列式，因此。

再由性質七，，推論當是可逆時，所有全不為零，故；當不可逆時，必有一個零列，即至少有一，則。

  性質九：   這可能是最困難證明的一個性質，下面分開兩個情況討論。

若不可逆，則或至少有一個是不可逆矩陣，性質八給出。

若和都是可逆矩陣，定義函數 。

函數滿足上述性質一、二和三，因此。

證明如下：設， 。

確定滿足性質一。

若有相同兩列，則也有相同兩列，所以，也就有，滿足性質二。

因為的第列等於的第列乘以，對於的任一列的線性組合，的該列也有同形式的線性組合，故和同為該列的線性函數，因此滿足性質三。

(其他證明方式請見“利用分塊矩陣證明det(AB)=(detA)(detB)”，“矩陣乘積行列式公式的代數證法”。

)   性質十：   如同性質九的證明，下面也分開兩個情況討論。

若不可逆，則也不可逆，由性質八得知。

若是可逆的，考慮的LU分解(見“LU分解”)，，其中是排列(permutation)矩陣(見“特殊矩陣(16)：排列矩陣”)，和分別為下三角和上三角矩陣，且的主對角元全都是。

利用性質九， 。

對取轉置，得到，同樣根據性質九， 。

注意，三角矩陣和的轉置仍為三角矩陣。

由性質七，得知，且。

排列矩陣為正交矩陣，滿足，因此。

另外，係由單位矩陣持續交換列而得，可知，故與必同為或。

綜合以上結果即證得。

  另一個證法採用基本矩陣(elementarymatrix)分解。

任一可逆矩陣可分解為，其中，，是基本矩陣。

引用此性質：基本矩陣的轉置不改變行列式值，即(見“特殊矩陣(10)：基本矩陣”)。

因為，使用性質九，   我們繼續推導高階行列式的運算方法及一般公式。

性質七暗示一個行列式計算方法。

對方陣執行基本列運算，僅使用列交換和列取代運算可將化簡為上三角矩陣，因為列取代運算不改變行列式(性質六)，而列交換改變行列式的正負號(性質四)，根據性質七，即有下面的公式。

  公式一：軸公式 設為階方陣，為基本列運算(僅使用列交換和列取代)化簡後得到的上三角矩陣，代表所執行的列交換次數， ， 其中的非零主對角元即為軸元(pivot)。

  重複我們推導二階行列式的步驟可得三階行列式，總計分解為個行列式之和，但其中僅有個非零行列式，如下： 每個組合行列式對應一個排列矩陣，代表元出現於元位置，，，排列方式計有種： 。

對單位矩陣執行一序列的列交換即可得到排列矩陣，故，表示從至所執行的置換總數。

所以，三階行列式公式為 下面是一般階行列式公式。

  公式二：排列公式(或稱萊布尼茲公式) ， 其中表示的排列。

  上述三階行列式的任一列皆可作為因數提出，繼續代入二階公式，可得到一個僅含個行列式的表達形式，以第列為例： 上式中，我們稱為餘因子(cofactor)，定義如下： ， 其中為移除的第列與第行後得到的階子陣，稱為餘子式(minor)。

這個運算公式稱為餘因子展開或Laplace展開公式。

  公式三：餘因子公式(或稱Laplace公式) 設為任一列指標， 。

  行列式的性質同時適用於列與行(column)。

如果將定義為行向量和所張的平行四邊形面積，只需要將以上討論的「列」改成「行」，並適當修改推導算式即可。

另外，除了上述三個常見於教科書的行列式運算公式，還有兩個鮮為人知的運算法，有興趣進一步暸解的讀者請參閱“Chiò演算法──另類行列式計算法”和“Dodgson縮合法──奇特的行列式運算法”。

  註解 [1]Onteachingmathematics，英譯文：“Thedeterminantofamatrixisan(oriented)volumeoftheparallelepipedwhoseedgesareitscolumns.Ifthestudentsaretoldthissecret(whichiscarefullyhiddeninthepurifiedalgebraiceducation),thenthewholetheoryofdeterminantsbecomesaclearchapterofthetheoryofpoly-linearforms.Ifdeterminantsaredefinedotherwise,thenanysensiblepersonwillforeverhateallthedeterminants,Jacobiansandtheimplicitfunctiontheorem.” [2]維基百科：行列式 [3]設向量且，則與所張的平行四邊形的有號面積等於(即底乘高)，其中是與的夾角，。

這裡要特別說明夾角的正負號由與的相對位置決定。

通用慣例採用右手座標系，也就是說，如果夾角為至的逆時針旋轉，則，否則。

考慮逆時針旋轉，設為，則與的之間夾角等於。

平行四邊形的有號面積可用內積計算，如下： 。

[4]在台灣，橫向稱為列，縱向稱為行。

在中國大陸，橫向稱為行，縱向稱為列。

相關閱讀： 行列式的列行取代運算 利用行列式計算多邊形面積 行列式的幾何意義 行列式公式的推導 Sharethis:EmailPrintFacebookTwitterLikethis:LikeLoading... Thisentrywaspostedin線性代數專欄,行列式andtagged行列式,餘因子.Bookmarkthepermalink. ←每週問題November29, 2010 每週問題December6, 2010→ 14Responsesto行列式的運算公式與性質 levincsays: 12/01/2010at6:04pm 性質八後半句似乎有筆誤喔 Reply ccjousays: 12/01/2010at6:43pm 謝謝你指出錯誤，已訂正。

Reply Curtissays: 01/20/2012at11:22pm 請問 性質六適用3*3以上的行列式嗎? 因為我對5*5作列運算，結果行列式的值變了… Reply ccjousays: 01/21/2012at3:23pm 以上所有性質對任意nxn階矩陣皆成立，請檢查確認計算過程無誤。

Reply 初心者says: 05/17/2016at2:46am 大師好 有個矩陣假如2by3 1-2j1+3j2+j 2-3j1-2j2-5j 想要把1-2j那項變1 是可以把矩陣全部項都除以1-2j嗎？ 還是要怎麼做 10 23 24 和 10 23 12 兩個矩陣有一樣嗎 24可以直接化簡成12嗎 Reply ccjousays: 05/17/2016at7:01am 恕我無法回答，但你可以自創一套矩陣代數，放入自己喜歡的定義與公理。

Reply 在下数学沈阳第一says: 11/13/2020at2:13pm 他意思就是说你菜逼 Reply 在下数学沈阳第一says: 11/13/2020at2:17pm 不过这个人确实牛批👍🏻 Reply 初心者says: 05/17/2016at9:03am 是我想法有錯嗎？ Reply ccjousays: 05/17/2016at9:33am 建議你在提問前： 1)先做好必要的功課； 2)想清楚問題是甚麼再問。

否則別人會視你為民科或大濕： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B0%91%E9%97%B4%E7%A7%91%E5%AD%A6%E5%AE%B6 Reply 林偉傑says: 10/04/2016at11:24pm 你好 假如我在計算高階的行列式值比如說4X45X5甚至更多 假如不用降階的方法去計算 還有其他方法嗎 我記得3X3可以在旁邊在加上原本矩陣的兩行去計算 不知道更高階是否也有這種規律或規則 謝謝 Reply ccjousays: 10/05/2016at9:18am 我所知道的方法即如上文所述以及文末的連結。

Reply 王俞禮says: 12/06/2017at9:43am 老師您好 我是資工系的學生 最近看到了幾個與行列式相關的題目，想請老師指點破題方向 或是提供資料我去閱讀 1.有四個n*n的矩陣A,B,C,D，且A矩陣可逆，要證明 接者我有看到其他類似的題目，想一起問老師如何用他真實的函義看待這種題目 2.若A是一個m*n的矩陣、B是一個n*m的矩陣，推出 3.令，是一個m*m的單位矩陣。

計算 4.Showthat 5.Showthat,whereA,Barematricesofdimensionp*qandq*p,respectively. Reply 王俞禮says: 12/06/2017at9:48am 老師我真的不懂的是為甚麼矩陣拚湊起來可以有這樣的性質，那這樣的性質代表了矩陣或向量有什麼關係。

Reply LeaveaReplyCancelreply Enteryourcommenthere... Fillinyourdetailsbeloworclickanicontologin: Email(required)(Addressnevermadepublic) Name(required) Website YouarecommentingusingyourWordPress.comaccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourTwitteraccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourFacebookaccount. ( Log Out /  Change ) Cancel Connectingto%s Notifymeofnewcommentsviaemail.Notifymeofnewpostsviaemail. Δ 搜尋(繁體中文或英文) Searchfor: 訊息看板 近期文章 每週問題June26, 2017 每週問題June19, 2017 每週問題June12, 2017 每週問題June5, 2017 每週問題May29, 2017 線性代數專欄其他主題專欄每週問題數據充分性問題其他分類RecentComments ZhuoyuHeon分塊矩陣的行列式ungaon奇異值分解的幾何意義tobinwangon特殊矩陣(6)：正定矩陣TerminologyofRecom…on內積的定義陳宗為on動差生成函數(上)陳宗為on動差生成函數(上) 近期最多人點閱三階逆矩陣公式奇異值分解(SVD)線性獨立向量集的判定與算法如何學好線性代數？行列式的運算公式與性質轉置矩陣的意義LU分解電影《心靈捕手》的數學問題(一)高斯消去法分塊矩陣的行列式分類分類 SelectCategory 無關線代  (23) 特別主題  (20) 答讀者問  (49) 網友分享  (2) 線性代數專欄  (426)    特徵分析  (76)    特殊矩陣  (23)    線性變換  (33)    線性方程  (30)    行列式  (32)    證明細解  (4)    內積空間  (28)    典型形式  (27)    向量空間  (47)    應用之道  (42)    數值線性代數  (29)    二次型  (42)    仿射幾何  (11) 隨筆雜談  (18) 試閱  (2) 周老師時間  (16) 問題回報  (24) 圖論  (12) 布告欄  (22) 希爾伯特空間  (4) 數據充分性問題  (3)    DSQ特徵分析  (1)    DSQ向量空間  (2) 機率統計  (21) 機器學習  (8) 每週問題  (435)    pow特徵分析  (87)    pow線性變換  (23)    pow線性方程與矩陣代數  (56)    pow行列式  (55)    pow內積空間  (57)    pow典型形式  (9)    pow向量空間  (75)    pow二次型  (73) Archives Archives SelectMonth June2017 (4) May2017 (5) April2017 (4) March2017 (4) February2017 (6) January2017 (11) December2016 (5) November2016 (5) October2016 (5) September2016 (4) August2016 (5) July2016 (4) June2016 (4) May2016 (10) April2016 (6) March2016 (10) February2016 (11) January2016 (7) December2015 (11) November2015 (9) October2015 (8) September2015 (11) August2015 (14) July2015 (8) June2015 (11) May2015 (5) April2015 (5) March2015 (6) February2015 (4) January2015 (7) December2014 (9) November2014 (5) October2014 (4) September2014 (5) August2014 (5) July2014 (5) June2014 (11) May2014 (10) April2014 (12) March2014 (14) February2014 (15) January2014 (10) December2013 (16) November2013 (14) October2013 (19) September2013 (15) August2013 (13) July2013 (13) June2013 (18) May2013 (16) April2013 (14) March2013 (6) February2013 (8) January2013 (13) December2012 (16) November2012 (18) October2012 (17) September2012 (10) August2012 (8) July2012 (10) June2012 (15) May2012 (12) April2012 (12) March2012 (11) February2012 (10) January2012 (7) December2011 (5) November2011 (4) October2011 (6) September2011 (5) August2011 (5) July2011 (8) June2011 (13) May2011 (14) April2011 (11) March2011 (11) February2011 (10) January2011 (12) December2010 (12) November2010 (13) October2010 (8) September2010 (11) August2010 (15) July2010 (7) June2010 (13) May2010 (12) April2010 (12) March2010 (14) February2010 (14) January2010 (12) December2009 (12) November2009 (14) October2009 (10) September2009 (13) August2009 (14) July2009 (12) June2009 (12) May2009 (12) April2009 (15) March2009 (39) 標籤雲 Cayley-Hamilton定理 Frobenius範數 Gram-Schmidt正交化 Gramian矩陣 Hermitian矩陣 Householder矩陣 Jordan典型形式 LU分解 QR分解 Schur定理 SVD Vandermonde矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數重數 伴隨矩陣 內積 冪矩陣 冪等矩陣 冪零矩陣 分塊矩陣 列空間 半正定矩陣 反對稱矩陣 可交換矩陣 可逆矩陣 向量空間 圖論 基底 基本列運算 奇異值 奇異值分解 實對稱矩陣 對角化 座標變換 微分方程 投影矩陣 排列矩陣 旋轉矩陣 最小多項式 最小平方法 正交性 正交投影 正交矩陣 正交補餘 正定矩陣 正規矩陣 特徵值 特徵向量 特徵多項式 特殊矩陣 相伴矩陣 相似 矩陣乘法 矩陣多項式 矩陣指數 矩陣範數 矩陣譜 秩 秩─零度定理 簡約列梯形式 組合數學 線性獨立 線性變換 線性變換表示矩陣 行列式 行空間 譜分解 跡數 逆矩陣 通解 零空間 高斯消去法 線代線上影音課程 Essenceoflinearalgebra(3Blue1Brown) KhanAcademy(SalmanKhan) MITOCW(GilbertStrang) 國立台灣大學OCW(蘇柏青) 國立清華大學OCW(趙啟超) 國立交通大學OCW(莊重) 國立交通大學OCW(巫木誠) 線代學習網站 用maxima學數值分析─特徵值和特徵向量 FreeOnlineBooks MathInsight MITOCW Wikibooks:LinearAlgebra WolframDemonstrationProject 線代電子書 AFirstCourseinLinearAlgebra(RobertA.Beezer) FundamentalsofLinearAlgebra(JamesB.Carrell) LinearAlgebra(JimHefferon) LinearAlgebraDoneWrong(SergeiTreil) LinearAlgebraProblems(JerryL.Kazdan) LinearAlgebraviaExteriorProducts(SergeiWinitzki) LinearAlgebra,TheoryandApplications(KennethKuttler) MatrixAnalysisandAppliedLinearAlgebra(CarlD.Meyer) NotesonLinearAlgebra(PeterJ.Cameron) 矩陣計算器 JordanFormCalculator MatrixCalculator OnlineMatrixCalculator LaTeX OnlineLaTeXEquationEditor Wikibooks:LaTeX Blogroll 陰暗的小角落 MarkChang'sBlog 尼斯的靈魂 微積分福音 訂閱 請輸入您的email，當有新文章發表時，您將會收到通知。

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