行列式的定義 - 科學Online

在高中數學課本中，對於二階與三階行列式，基本上都是直接給出操作型定義：. 定義1：\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1}}}&{{b_{ ... Friday23rdSeptember2022 23-Sep-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 行列式的定義(DefinitionsofDeterminant) 國立臺南第一高級中學林倉億老師 在高中數學課本中，對於二階與三階行列式，基本上都是直接給出操作型定義： 定義1：\(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}\end{array}}\right|={a_{1}}{b_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}\)。

等號的左邊稱為二階行列式，等號的右邊稱為二階行列式的展開式，或稱為二階行列式的值。

定義2：\(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{a_{3}}}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|={a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}\) 等號的左邊稱為三階行列式，等號的右邊稱為三階行列式的展開式，或稱為三階行列式的值。

然後再根據定義推導相關的運算性質，最後再介紹它們的應用。

定義二其實很難記憶，因此一般教科書都會補充記憶的方法，就是將圖一或圖二中，紅線上的數乘積之和，減去藍線上的數乘積之和。

圖一 圖二             上述的定義方式對已學會行列式的人來說，很直接也十分清楚。

但是，初學者就是丈二金剛，摸不著頭緒，不知道為什麼要把一堆數字排在一起，然後照著很奇特的規則去算出它們的值。

這樣的定義方式還有一個大缺點，就是學生在學完後，寫不出四階或是更高階行列式的定義（四階以上的行列式並不在現行的高中教材之中，現行的高中教材內容分成\(A\)、\(B\)版，\(A\) 版只介紹二階行列式，\(B\)版比\(A\)版多了三階行列式）。

其實，我們有另一條路徑來定義行列式，就是從一次聯立方程組的求解來引入行列式。

這條路雖然比較遠，但是可以讓學生明瞭為何行列式要這般定義，爾後就可以自然而然地延伸出四階以上的行列式定義。

再者，這樣子的引入方式，其實就是行列式歷史發展的縮影（參閱本網站〈西方行列式的發展〉系列文章）。

在二元一次聯立方程組\(\left\{\begin{array}{l}{a_{1}}x+{b_{1}}y={c_{1}}\cdots\cdots(1)\\{a_{2}}x+{b_{2}}y={c_{2}}\cdots\cdots(2)\end{array}\right.\) 中， 我們可以使用加減消去法將分別消去未知數\(y\)與\(x\)， 即\((1)\timesb_2-(2)\timesb_1\)、\((2)\timesa_1-(1)\timesa_2\)， 就能將方程組化簡成 \(\left\{\begin{array}{l}({a_{1}}{b_{2}}–{a_{2}}{b_{1}})x={b_{2}}{c_{1}}–{b_{1}}{c_{2}}\cdots\cdots(3)\\({a_{1}}{b_{2}}–{a_{2}}{b_{1}})y={a_{1}}{c_{2}}–{a_{2}}{c_{1}}\cdots\cdots(4)\end{array}\right.\)。

當\(a_1b_2-a_2b_1\) 不為\(0\)時， 就可以由\((3)\)、\((4)\)式分別求得 \(x=\frac{{{b_{2}}{c_{1}}–{b_{1}}{c_{2}}}}{{{a_{1}}{b_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}}}\) 及 \(y=\frac{{{a_{1}}{c_{2}}–{a_{2}}{c_{1}}}}{{{a_{1}}{b_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}}}\)。

這其實就是所謂的「克拉瑪公式」。

仿照上述的作法，我們利用加減消去法將三元一次方程組 \(\left\{\begin{array}{l}{a_{1}}x+{b_{1}}y+{c_{1}}z={d_{1}}\\{a_{2}}x+{b_{2}}y+{c_{2}}z={d_{2}}\\{a_{3}}x+{b_{3}}y+{c_{3}}z={d_{3}}\end{array}\right.\) 化簡成 \(\left\{\begin{array}{l}({a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}})x\\~~~~~~={d_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{d_{1}}{b_{3}}{c_{2}}–{d_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{d_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{d_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{d_{3}}{b_{2}}{c_{1}}\\({a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}})y\\~~~~~~={a_{1}}{d_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{d_{3}}{c_{2}}–{a_{2}}{d_{1}}{c_{3}}+{a_{2}}{d_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{d_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{d_{2}}{c_{1}}\\({a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}})z\\~~~~~~={a_{1}}{b_{2}}{d_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{d_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}{d_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{d_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{d_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{d_{1}}\end{array}\right.\) 同樣地，在 \({a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}\) 不為\(0\)時， 我們就可以得到「三階克拉瑪公式」： \(\left\{\begin{array}{l}\displaystylex=\frac{{{d_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{d_{1}}{b_{3}}{c_{2}}–{d_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{d_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{d_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{d_{3}}{b_{2}}{c_{1}}}}{{{a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}}}}\\\displaystyley=\frac{{{a_{1}}{d_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{d_{3}}{c_{2}}–{a_{2}}{d_{1}}{c_{3}}+{a_{2}}{d_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{d_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{d_{2}}{c_{1}}}}{{{a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}}}}\\\displaystylez=\frac{{{a_{1}}{b_{2}}{d_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{d_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}{d_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{d_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{d_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{d_{1}}}}{{{a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}}}}\end{array}\right.\) 如果讀者還覺得不夠過癮的話，可以試試用上述的表示方法寫出四元一次聯立方程組解的克拉瑪公式。

提醒要嘗試的讀者，在寫之前，先把紙張橫過來，因為分子、分母都有\(4{!}=24\)項，不這麼做，鐵定擠不下！至於「五階克拉瑪公式」，那可是有\(5{!}=120\)項，更不會有人想試了吧！六階、七階……，光用想的就暈了！ 將克拉瑪公式的分子、分母逐項寫出，的確是一件很累人的事，但我們若仔細觀察這些分子、分母，就會發現其實它們的足碼（\(a,b,c,d\) 右小角的數字\(1\)、\(2\)、\(3\)）有一定的規律。

因此，如何利用這規律簡潔地將分子、分母表示出來，就成為我們下一個課題。

在人類歷史上，經過了100多年的發展，終於演化出一個簡單的符號來表示這些分子、分母，那就是我們所稱的行列式。

將\(a_1,a_2,b_1,b_2\) 排成方形，再於兩側畫上兩條直線段，就得到二階行列式 \(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}\end{array}}\right|\)： 定義一：\(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}\end{array}}\right|={a_{1}}{b_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}\)。

等號的左邊稱為二階行列式，等號的右邊稱為二階行列式的展開式，或稱為二階行列式的值。

利用行列式符號，二階克拉瑪公式就可以寫成  \(x=\frac{{{b_{2}}{c_{1}}–{b_{1}}{c_{2}}}}{{{a_{1}}{b_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}}}=\frac{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{c_{1}}}&{{b_{1}}}\\{{c_{2}}}&{{b_{2}}}\end{array}}\right|}}{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}\end{array}}\right|}}\)、\(y=\frac{{{a_{1}}{c_{2}}–{a_{2}}{c_{1}}}}{{{a_{1}}{b_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}}}=\frac{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{c_{2}}}\end{array}}\right|}}{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}\end{array}}\right|}}\)。

而三階克拉瑪公式中的分母 \({a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}}\)， 也可以簡化成 \({a_{1}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|–{a_{2}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|+{a_{3}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\end{array}}\right|\)。

一不作二不休，再將這個簡化的式子當作三階行列式 \(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{a_{3}}}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|\) 的定義： 定義二： \(\begin{array}{ll}\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{a_{3}}}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|&={a_{1}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|–{a_{2}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|+{a_{3}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\end{array}}\right|\\&={a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}}\end{array}\) 例1：\(\begin{array}{ll}\left|{\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right|&=1\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}5&6\\8&9\end{array}}\right|–4\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\8&9\end{array}}\right|+7\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\5&6\end{array}}\right|\\&=(45–48)–4(18–24)+7(12–15)=–3–(–24)+(–21)=0\end{array}\)   \({a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}}\) 就稱為三階行列式\(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{a_{3}}}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|\) 的展開式。

定義二其實有個簡單的記憶法，就是將三階行列式中與\(a_k(k=1,2,3)\) 同行、同列的數都刪去，剩下的就是\(a_k\) 所乘的二階行列式： \(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{}&{}\\{}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|\Rightarrow{a_{1}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|\)，\(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{a_{2}}}&{}&{}\\{}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|\Rightarrow{a_{2}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|\)，\(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{a_{3}}}&{}&{}\end{array}}\right|\Rightarrow{a_{3}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\end{array}}\right|\) 至於其運算符號，則是從\(a_1\) 開始，\(+\)、\(-\) 相間排下去（另一種記法是，若\(a_k\)位在第\(i\)列第\(j\)行，則展開式中\(a_k\) 前面的運算符號與\((-1)^{i+j}\) 的性質符號相同）。

有了三階行列式後，三階克拉瑪公式就可以寫成 \(x=\frac{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{d_{1}}}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{d_{2}}}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{d_{3}}}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|}}{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{a_{3}}}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|}}\)、\(y=\frac{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{d_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{d_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{a_{3}}}&{{d_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|}}{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{a_{3}}}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|}}\)、\(z=\frac{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}&{{d_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}&{{d_{2}}}\\{{a_{3}}}&{{b_{3}}}&{{d_{3}}}\end{array}}\right|}}{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{a_{3}}}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|}}\) ，看起來十分清爽！ 仿照三階行列式的定義，四階行列式定義成： 定義三：   \(\begin{multline*}\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}&{{d_{2}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}&{{d_{3}}}\\{{a_{3}}}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}&{{d_{4}}}\\{{a_{4}}}&{{b_{4}}}&{{c_{4}}}&{{d_{5}}}\end{array}}\right|={a_{1}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{2}}}&{{c_{2}}}&{{d_{2}}}\\{{b_{3}}}&{{c_{3}}}&{{d_{3}}}\\{{b_{4}}}&{{c_{4}}}&{{d_{4}}}\end{array}}\right|–{a_{2}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{1}}}&{{c_{1}}}&{{d_{1}}}\\{{b_{3}}}&{{c_{3}}}&{{d_{3}}}\\{{b_{4}}}&{{c_{4}}}&{{d_{4}}}\end{array}}\right|\\+{a_{3}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{1}}}&{{c_{1}}}&{{d_{1}}}\\{{b_{2}}}&{{c_{2}}}&{{d_{2}}}\\{{b_{4}}}&{{c_{4}}}&{{d_{4}}}\end{array}}\right|–{a_{4}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{1}}}&{{c_{1}}}&{{d_{1}}}\\{{b_{2}}}&{{c_{2}}}&{{d_{2}}}\\{{b_{3}}}&{{c_{3}}}&{{d_{3}}}\end{array}}\right|\end{multline*}\) 例2：  \(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&{10}&{11}&{12}\\{13}&{14}&{15}&{16}\end{array}}\right|\\=1\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}6&7&8\\{10}&{11}&{12}\\{14}&{15}&{16}\end{array}}\right|–5\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}2&3&4\\{10}&{11}&{12}\\{14}&{15}&{16}\end{array}}\right|\\~~~~~~+9\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}2&3&4\\6&7&8\\{14}&{15}&{16}\end{array}}\right|–13\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}2&3&4\\6&7&8\\{10}&{11}&{12}\end{array}}\right|\\=1\cdot(6\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{11}&{12}\\{15}&{16}\end{array}}\right|–10\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}7&8\\{15}&{16}\end{array}}\right|+14\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}7&8\\{11}&{12}\end{array}}\right|)\\~~~~~~-5\cdot(2\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{11}&{12}\\{15}&{16}\end{array}}\right|–10\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\{15}&{16}\end{array}}\right|+14\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\{11}&{12}\end{array}}\right|)\\~~~~~~+9\cdot(2\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}7&8\\{15}&{16}\end{array}}\right|–6\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\{15}&{16}\end{array}}\right|+14\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\7&8\end{array}}\right|)\\~~~~~~-13\cdot(2\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}7&8\\{11}&{12}\end{array}}\right|–6\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\{11}&{12}\end{array}}\right|+10\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\7&8\end{array}}\right|)\\=1\cdot(–24+80–56)–5\cdot(–8+120–112)\\~~~~~~+9\cdot(–16+72–56)–13\cdot(–8+48–40)\\=0-0+0-0=0\) 同樣地，在定義三中，將四階行列式中與\(a_k(k=1,2,3,4)\)同行、同列的數都刪去，剩下的就是\(a_k\)所乘的三階行列式。

至於其運算符號，也是從\(a_1\)開始，\(+\)、\(-\)相間排下去。

\(\left|{\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{\,1}}}&{}&{}&{}\\{}&{{b_{\,2}}}&{{c_{\,2}}}&{{d_{\,3}}}\\{}&{{b_{\,3}}}&{{c_{\,3}}}&{{d_{\,4}}}\\{}&{{b_{\,4}}}&{{c_{\,4}}}&{{d_{\,5}}}\end{array}\,}\right|\;\Rightarrow\;+{a_{\,1}}\cdot\left|{\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{\,2}}}&{{c_{\,2}}}&{{d_{\,2}}}\\{{b_{\,3}}}&{{c_{\,3}}}&{{d_{\,3}}}\\{{b_{\,4}}}&{{c_{\,4}}}&{{d_{\,4}}}\end{array}\,}\right|\) \(\left|{\,\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{b_{\,1}}}&{{c_{\,1}}}&{{d_{\,2}}}\\{{a_{\,2}}}&{}&{{c_{\,2}}}&{}\\{}&{{b_{\,3}}}&{{c_{\,3}}}&{{d_{\,4}}}\\{}&{{b_{\,4}}}&{{c_{\,4}}}&{{d_{\,5}}}\end{array}}\right|\;\Rightarrow\;–{a_{\,2}}\cdot\left|{\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{\,1}}}&{{c_{\,1}}}&{{d_{\,1}}}\\{{b_{\,3}}}&{{c_{\,3}}}&{{d_{\,3}}}\\{{b_{\,4}}}&{{c_{\,4}}}&{{d_{\,4}}}\end{array}\,}\right|\) \(\left|{\,\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{b_{\,1}}}&{{c_{\,1}}}&{{d_{\,2}}}\\{}&{{b_{\,2}}}&{{c_{\,2}}}&{{d_{\,3}}}\\{{a_{\,3}}}&{}&{}&{}\\{}&{{b_{\,4}}}&{{c_{\,4}}}&{{d_{\,5}}}\end{array}\,}\right|\Rightarrow\;+{a_{\,3}}\cdot\left|{\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{\,1}}}&{{c_{\,1}}}&{{d_{\,1}}}\\{{b_{\,2}}}&{{c_{\,2}}}&{{d_{\,2}}}\\{{b_{\,4}}}&{{c_{\,4}}}&{{d_{\,4}}}\end{array}\,}\right|\) \(\left|{\,\begin{array}{*{20}{c}}{{}}&{{b_{\,1}}}&{{c_{\,1}}}&{{d_{\,2}}}\\{{}}&{{b_{\,2}}}&{{c_{\,2}}}&{{d_{\,3}}}\\{{}}&{{b_{\,3}}}&{{c_{\,3}}}&{{d_{\,4}}}\\{{a_{\,4}}}&{{}}&{{}}&{{}}\end{array}\,}\right|\;\Rightarrow\;–{a_{\,4}}\cdot\left|{\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{\,1}}}&{{c_{\,1}}}&{{d_{\,1}}}\\{{b_{\,2}}}&{{c_{\,2}}}&{{d_{\,2}}}\\{{b_{\,3}}}&{{c_{\,3}}}&{{d_{\,3}}}\end{array}\,}\right|\) 同樣地，用四階行列式來表示四階克拉瑪公式就是一件很簡單的事了。

然而，從例\(2\) 中我們了解到，四階行列式的符號雖然很簡單，但計算仍很繁瑣。

因此，接下來很自然的探索方向，就是看看行列式有沒有什麼性質可以用來簡化計算。

這正是下一篇文章的主題。

最後，我們可以繼續定義五階、六階…、\(n\)階行列式，這就留給讀者了！ 連結：行列式的性質 Tags:行列式 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 Thereare2commentsforthisarticle 本篇有些圖檔出錯 我很想把他看完 請問可以修正嗎 ALEXLU您好 已經修正囉！ 抱歉因為之前伺服器故障， 資料庫搬遷過程有一些文章的圖片毀損或格式跑掉， 還需要一一檢查重整，但資料很多，還沒有辦法全部調整完， 謝謝您的留言，幫助我們發現～ 管理員敬上 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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