七二法則的應用與說明（The application and explanation of ...

七二法則的應用與說明（The application and explanation of the Rule of 72） ... 若引入微積分與自然對數e 將會得到更精確的估算值70 或69.3。

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上述七二法則在生活中相當實用，可幫助我們在固定利率（成長率）的條件下，快速地估算出翻倍所需的期數，又或者在固定的期數限制下，估算出翻倍所需的利率（成長率）。

以下舉若干相關例子說明，最後利用二項式定理概略地說明為何此法則成立。

一般而言，總體經濟學中以實質國內生產毛額（GDP）變動率來表示經濟成長速度，也就是經濟成長率（Economicgrowthrate）。

例如當希望8年內實質國內生產毛額（GDP）接近翻倍，那麼光是平均年成長率5%-6%恐怕是不夠的，以七二法則估算，約需要9%的年平均成長率才得以達成，然而這樣強勁的成長一般較常見於新興、開發中國家，然對於接近已開發國家或已開發國家並不易見，更遑論多年下來的「年平均成長率」要達9%。

依據國際貨幣基金（IMF）所作的統計，2013年全球經濟成長率為2.9%，而亞洲區域的台灣2.2%、香港3%、韓國2.8%、新加坡3.5%、中國7.6%。

即便2012年，亞洲主要國家的經濟成長率也僅中國的7.9%以及印尼的6.1%超過6%。

再以生活中常見的投資型商品為例，過去許多場合裡，筆者看過保險公司所提供的相關廣告或傳單，上頭聲稱他們的投資型商品或保單具有4%至6%的年化報酬率（含各類配息商品，甚至曾出現過10%以上的廣告），這遠比一般銀行利息來得優惠，看似相當誘人，一般人可能不疑有他，很容易地相信這類廣告。

然而此時只需對業務員作一簡單的詢問：若投資100萬，大約何時翻倍呢？即本利和達到200萬呢？相信從多數業務員拿出的試算表單中不難發現，若以100萬試算，往往本金達200萬的時間點，皆是落在30年後，以七二法則估算，年化報酬約當2%，有時更低。

此時不難猜測廣告中必定存在某些陷阱或盲點。

雖然以此法則估算略有誤差，但是，當手邊沒適當計算工具時，可在心裡依此法則作一簡單、方便而快速的估算，一切結果很快便了然於胸。

另有些商品經過各類配息等方式包裝後，乍看之下，年化報酬率頗高，但其實只要以高中數學複利相關知識小心計算，便可發現當中的問題所在，下次有機會時，讀者不妨提起筆試試看（或是利用電腦上的Excel軟體輔助）！相信你也會成為破解數字迷團的數學偵探。

至於如何推出此「七二法則」的嚴謹方法，因涉及雙變數（包含期數n與利率r）而較複雜，在此，我們僅以二項式定理對此法則作一粗略的估算與說明。

首先設本金為\(M\)、若以\(r\%\) 複利（成長率）計算，設期數為\(n\)（\(n\)為自然數）時，本金翻倍，即約成長為原本的\(2\)倍\(2M\)。

可得下式： \(2M=M{(1+\frac{r}{{100}})^n}\) 即得 \(2={(1+\frac{r}{{100}})^n}\) 等號右側依二項式定理展開可得： \(\displaystyle2=1+n\frac{r}{100}+\frac{1}{2}n(n-1)(\frac{r}{100})^2+\frac{1}{6}n(n-1)(\frac{r}{100})^3+\cdots+(\frac{r}{100})^n\) 由於一般而言\(r\) 並不大，例如多數場合\(1\ler\le12\)，因此，當\(n\) 夠大時，\((\frac{r}{100})^n\)項可忽略不計。

因此，當我們將三次方以上各項略去後，上式可簡化為： \(\displaystyle2=1+n\frac{r}{100}+\frac{1}{2}n(n-1)(\frac{r}{100})^2\) 令\(x=\frac{r}{100}\) 代入整理並將上式的\(n(\frac{r}{100})^2\) 略去後可得： \(2=2nx+n^2x^2\) 解之可得 \(\displaystylex=\frac{{–2n\pm\sqrt{4{n^2}+8{n^2}}}}{{2{n^2}}}=\frac{{–1\pm\sqrt3}}{n}\)（其中負不合） 可得\(nx=\frac{{nr}}{{100}}=-1+\sqrt3\approx0.732\)，即得\(nr\approx73.2\)。

通常我們取一個較容易計算的近似值\(nr=72\)，此關係即為上述七二法則中的結果。

而此「七二」近似值是粗略的估算結果， 若引入微積分與自然對數\(e\)將會得到更精確的估算值\(70\)或\(69.3\)。

簡單說明如下： 將上式\(2=(1+0.01r)^n\) 取對數，則可得\(\ln2=n\ln(1+0.01r)\)， 依泰勒展開式可推得當\(r\) 很小時，\(\ln(1+0.01r)\)約等於\(0.01r\)。

因此，\(0.01nr\approx\ln2=0.693147…\) 即\(nr\) 約為\(69.3\)。

然因\(72\)的因數較多易於計算，故若取\(70\)或\(69.3\)所估算結果較為精確，但在實用與計算上皆不如\(72\)法則來得方便。

表一內容為不同年息翻倍所需實際年期與\(72\)法則、\(70\)法則、\(69.3\)法則所得之期數估算值，供有興趣的讀者比較與參考。

表一不同年息翻倍所需實際年期與估算值 Tags:對數定率,常用數對表,複利 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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