路徑積分表述- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

量子力學和量子場論的路徑積分表述（英語：path integral formulation或functional integral）是一個從古典力學裡的作用原則延伸出來對量子物理的一種概括和公式化的 ... 路徑積分表述 語言 監視 編輯 量子力學和量子場論的路徑積分表述（英語：pathintegralformulation或functionalintegral）是一個從古典力學裡的作用原則延伸出來對量子物理的一種概括和公式化的方法。

它以包括兩點間所有路徑的和或泛函積分而得到的量子幅來取代古典力學裡的單一路徑。

路徑積分表述的基本思想可以追溯到諾伯特·維納，他介紹的維納積分解決擴散和布朗運動的問題[1]。

在1933年他的論文中，由保羅·狄拉克把這個基本思想被擴展到量子力學中的利用拉格朗日算符[2][3]。

路徑積分表述的完整方法，由理論物理學家理察·費曼在1948年發展出來，但較早時，費曼已在約翰·惠勒指導的博士論文中，摸索出初步結果。

因爲路徑積分的表述法顯然地把時間和空間同等處理，它成為以後理論物理學發展的重要工具。

路徑積分表述也把量子現像和隨機現像聯繫起來，為1970年代量子場論和概括二級相變附近序參數波動的統計場論統一奠下基礎。

薛丁格方程式是虛擴散系數的擴散方程式，而路徑積分表述是把所有可能的隨機移動路徑加起來的方法的解析延拓。

因此路徑積分表述在應用於量子力學前，已經應用在布朗運動和擴散問題上。

在時間t0，粒子從點A出發，則在時間t1，可能出現在點B。

圖中的三條路徑，皆對此量子幅有貢獻。

（也有許多其他路徑。

） 目次 1數學方法 1.1哈密頓算符在量子力學中的意義 1.2時間切片 2簡單例子 2.1自由粒子 3量子場論 4費米子路徑積分 5參看 6參考資料 數學方法編輯 哈密頓算符在量子力學中的意義編輯 量子力學中，哈密頓算符 H {\displaystyleH}  生成時間演化算符 U ( t b , t a ) {\displaystyleU(t_{b},t_{a})}  ： U ( t b , t a ) = e − i ℏ ( t b − t a ) H . {\displaystyleU(t_{b},t_{a})=e^{-{\frac{i}{\hbar}}(t_{b}-t_{a})H}.}  一個量子粒子在時刻 t a {\displaystylet_{a}}  到 t b {\displaystylet_{b}}  間從位置 x a {\displaystylex_{a}}  運動到 x b {\displaystylex_{b}}  的量子機率幅是： i G ( x b , t b ; x a , t a ) ≡ ⟨ x b | U ( t b , t a ) | x a ⟩ . {\displaystyleiG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})\equiv\left\langlex_{b}\right|U(t_{b},t_{a})\left|x_{a}\right\rangle.}  因爲 U ( t b , t a ) {\displaystyleU(t_{b},t_{a})}  是很複雜的算符函數，直接用以上定義計算 i G ( x b , t b ; x a , t a ) {\displaystyleiG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})}  非常困難。

時間演化算符符合 U ( t b , t a ) = U ( t b , t ) U ( t , t a ) , {\displaystyleU(t_{b},t_{a})=U(t_{b},t)U(t,t_{a}),}  因此量子幅符合 i G ( x b , t b ; x a , t a ) = ∫ d x   i G ( x b , t b ; x , t ) i G ( x , t ; x a , t a ) {\displaystyleiG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})=\intdx\iG(x_{b},t_{b};x,t)iG(x,t;x_{a},t_{a})}  。

右式被積項的意義為從 ( t a , x a ) {\displaystyle(t_{a},x_{a})}  出發，在中途時刻 t {\displaystylet}  先穿過位置 x {\displaystylex}  ，再到達 ( t b , x b ) {\displaystyle(t_{b},x_{b})}  的路徑的總量子幅，此量子幅是兩段路徑量子幅的積；而左式從 ( t a , x a ) {\displaystyle(t_{a},x_{a})}  到 ( t b , x b ) {\displaystyle(t_{b},x_{b})}  的量子幅，等於右式所有這種路徑的和（積分）。

時間切片編輯 假設粒子在時刻 t a {\displaystylet_{a}}  到 t b {\displaystylet_{b}}  間從位置 x a {\displaystylex_{a}}  運動到 x b {\displaystylex_{b}}  。

那可以把之間的時間平均分割成個別的時間區間： t a = t 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t n − 1 < t n = t b {\displaystylet_{a}=t_{0}