【工程數學】 一階微分方程 - HackMD

【工程數學】 一階微分方程## 常微分方程式(ODE,Ordinary Differential Equations) * 當微分方程式中只有**一個自變數**，且導函數皆為**全微分**(       Published LinkedwithGitHub Like2 Bookmark Subscribe #【工程數學】一階微分方程 ##常微分方程式(ODE,OrdinaryDifferentialEquations) *當微分方程式中只有**一個自變數**，且導函數皆為**全微分**(非偏微分)，則稱其**常微分方程式**。

*以下幾個範例，`x`皆為**自變數**，`y=y(x)`為**應變數**。

*$y'+y=0$ *$x^{2}dy+ydx=0$ *$y'=y^{2}$ *$x\frac{dy}{dx}+2y=sinx$ *$y''+4y=0$ *$x^{2}y''+xy'+y=0$ ##偏微分方程式(PartialDifferentialEquations) *偏微分方程式中含有**兩個以上的自變數**，且導函數為**偏微分**。

*以下幾個範例，`x`,`y`皆為自變數，`u=u(x,y)`為`x`和`y`的函數。

*$xu_{y}-yu_{x}=u$ *$\frac{\partial^{2}u}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partialy^{2}}=0$ ##微分方程的階(Order) *微分方程式中，導函數最高階數代表整個方程式的階。

*該筆記後面主要介紹**一階**微分方程的計算。

##解的定義 *給予`n`階微分方程式： $$\frac{d^{n}y}{dx}=f\left(x,y,\frac{dy}{dx},\cdots,\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right)$$ *若$\phi(x)$滿足 $$\phi^{(n)}(x)=f(x,\phi(x),\phi'(x),\cdots,\phi^{(n-1)}(x))$$ *則$\phi(x)$為該微分方程的解。

###練習 >證明 > >1)$\phi(x)=x^{2}-2x$； >2)$\phi(x)=5x^{2}-2x$ > >為$xy'-2y-2x=0$的解。

1.先將$\phi(x)$微分得到$\phi'(x)=2x-2$ 代入方程式得到 $xy'-2y-2x=x\phi'(x)-2\phi(x)-2x$ $=x(2x-2)-2(x^{2}-2x)-2x$ $=2x^{2}-2x-2x^{2}+4x-2x$ $=0$# 得證。

2.一樣先微分得到$\phi'(x)=10x-2$ 代入方程式 $xy'-2y-2x=x\phi'(x)-2\phi(x)-2x$ $=x(10x-2)-2(5x^{2}-2x)-2x$ $=10x^{2}-2x-10x^{2}+4x-2x$ $=0$# 得證。

##變數可分離微分方程式(SeparableDifferentialEquations) *一階微分方程式，若經適當處理後可將**自變數`x`與應變數`y`分離**，改寫成$$A(y)dy=B(x)dx$$ *我們稱之**變數可分離微分方程式** *方程式中$A(y)$只有`y`、$B(x)$只有`x`，因此只要對兩邊積分，加入常數`c`，得到解$$\intA(y)dy=\intB(x)dx+c$$ ###練習 >解微分方程式 >$$(y+1)y'+x^{2}-x=0$$ *用$\frac{dy}{dx}$代替$y'$得到$$(y+1)\frac{dy}{dx}+x^{2}-x=0$$ *移項整理得到$$(y+1)dy=(-x^{2}+x)dx$$ *兩邊積分得到$$\int(y+1)dy=\int(-x^{2}+x)dx$$$$\frac{1}{2}y^2+y=-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^2+c$$ *結果即為解。

###通解與特解(GeneralSolutionandParticularSolution) *前面例題可以發現，解裡面含有常數`c`，不同的`c`就有不同的解，因此解有**無窮多**個。

這種含有`c`的解稱為**通解**。

*如果題目有給初始條件，決定最後的`c`，這樣就可以進一步得到該方程式的**特解**。

###練習 >求下面微分方程式的通解和特解$$\frac{dy}{dx}=2x,y(0)=2$$ *先得到通解，將$dx$移項得到$$dy=2xdx$$ *兩邊積分並加入常數，得到$$\intdy=\int2xdx+c$$$$y=x^2+c$$ *上式即為**通解**。

*將初始條件代入，可得到$x=0,y=2$時$$2=0+c$$ *$c=2$，因此特解即為$$y=x^2+2$$ ##正合微分方程式(ExactDifferentialEquation) *給一方程式$$u(x,y)=c$$將兩邊取微分得到$$du(x,y)=0$$再將偏微寫出來得到$$\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialu}{\partialy}=0$$ *顯然，一開始的方程式$u(x,y)=c$為上式的**通解**。

*而任意一個微分方程式$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$只要滿足$$1.\,\,\,\frac{\partialu}{\partialx}=M(x,y)$$$$2.\,\,\,\frac{\partialu}{\partialy}=N(x,y)$$該微分方程稱為**正合微分方程**。

*要滿足正合條件，可推導出$$\frac{\partialu}{\partialx}dx+\frac{\partialu}{\partialy}dy=0$$進一步得到$$du(x,y)=0$$積分後得到通解$\intdu(x,y)=c$$$u(x,y)=c$$ ###正合微分方程的計算 *當$\intM(x,y)dx$容易計算時，我們使用以下步驟： 1.由$\frac{\partialu}{\partialx}=M$得到$$u(x,y)=\intM(x,y)dx+k(y)$$ 2.由$\frac{\partialu}{\partialy}=N$得到$$\frac{\partial}{\partialy}\intM(x,y)dx+k'(y)=N(x,y)$$上式可求得$k(y)$，將之再代回$u(x,y)$。

3.加入常數`c`，得到通解$$u(x,y)=\intM(x,y)dx+k(y)=c$$ *當$\intN(x,y)dy$容易計算時就反過來做。

###練習 >求下微分方程式的通解$$(x^2+2y^2)dx+(4xy-y^2)dy=0$$ 1.確認是否為正合，令$M=x^2+2y^2$,$N=4xy-y^2$，則$$\frac{\partialM}{\partialy}=4y,\frac{\partialN}{\partialx}=4y$$得知$$\frac{\partialM}{\partialy}=\frac{\partialN}{\partialx}$$原方程式為正合微分方程式。

2.感覺前面的積分比較好做，因此對$M$下手。

令$\frac{\partialu}{\partialx}=M$得到$$u(x,y)=\intM(x,y)dx+k(y)$$$$=\int(x^2+2y^2)dx+k(y)$$$$=\frac{1}{3}x^3+2y^2x+k(y)$$ 3.再由$\frac{\partialu}{\partialy}=N$，將上式對`y`偏微分得到$$4yx+k'(y)=4xy-y^2$$$$k'(y)=-y^2$$ 積分$k'(y)$得到$$k(y)=-\frac{1}{3}y^3+c_1$$ 4.將$k(y)代回2.的式子$得到$$u(x,y)=\frac{1}{3}x^3+2y^2x-\frac{1}{3}y^3+c_1$$ 5.通解為$$\frac{1}{3}x^3+2y^2x+-\frac{1}{3}y^3+c_1=c_2$$ 將常數合併得到答案$$\frac{1}{3}x^3+2y^2x-\frac{1}{3}y^3=c$$ ##積分因子 *當你發現一個方程式不是正合微分方程式的時候，我們可以將式子同乘一個積分因子$\phi(x,y)$，讓方程式變成正合微分方程式。

*不同的情況，積分因子算的方法不一樣；因為有夠麻煩，請直接查表代入公式。

**來源：課堂投影片 ##統整 *統整步驟： ``` 1.確認是否為變數可分離 *如果是，跳至5. 2.確認能不能變數代換成可分離 *如果能，跳至5. 3.確認是否為正合微分方程式 *如果是，跳至5. 4.計算積分因子 5.計算通解 6.如果需要，計算特解 ``` ##Info *[我的網頁Zerone](https://zero871015.github.io/) *[name=Zero871015][time=Wed,Jun5,20192:44AM] ######tags:`note``ODE` 2 × Signin Email Password Forgotpassword or Byclickingbelow,youagreetoourtermsofservice. SigninviaFacebook SigninviaTwitter SigninviaGitHub SigninviaDropbox NewtoHackMD?Signup