邏輯與- 維基百科，自由的百科全書

邏輯與（logical conjunction）是兩個邏輯變量的一種運算，經常是兩個命題的運算。

它滿足：若且唯若其兩個變量的真值都為真時，其結果為真。

邏輯與 ... 邏輯與 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 文氏圖 A ∧ B {\displaystyleA\landB} 在邏輯和數學中，邏輯合取或邏輯與或且是一個二元邏輯運算符。

如果其兩個變量的真值都為「真」，其結果為「真」，否則其結果為「假」。

[1][2][3] 目次 1相關名稱 2基本定義 3真值表定義 4推理規則 4.1合成與分解規則 4.1.1合取引入規則 4.1.2合取消去規則 5性質 6計算機科學中的運用 6.1位運算 6.2編程中的使用 7交集運算 8註釋 9參見 10相關網頁 相關名稱[編輯] 基本符號： ∧ {\displaystyle\land} 英文名：logicalconjunction 中文名：邏輯與，合取，交集，按位與，邏輯乘，與門，... 命題邏輯中的二元連接詞合取，是一個兩元算子，集合論中的交集算子，二進位中的邏輯乘算子，按位與（BitwiseAND），邏輯閘中的「與」門（ANDgate），程式語言中的&或and運算符等等。

基本定義[編輯] 邏輯與（logicalconjunction）是兩個邏輯變量的一種運算，經常是兩個命題的運算。

它滿足：若且唯若其兩個變量的真值都為真時，其結果為真。

邏輯與 ∧ {\displaystyle\land} 是個二元算子，運算結果取值為真的條件是，若且唯若兩個命題的取值都真時。

命題是取值要麼是真要麼是假的二值語句，沒有第三種取值，或說值域為{真，假}或是{T,F}或是{0,1}。

未知真又未知假的語句是猜想；既真又假，既不真又不假的語句是悖論。

複合命題   A ∧ B {\displaystyle~A\landB} ，讀作A合取B，在GCT邏輯中，也叫聯言命題。

也有稱為合取命題的。

真值表定義[編輯] A與B的真值表（也寫作A ∧ {\displaystyle\land} B（邏輯學），A&&B（計算機科學），或A ⋅ {\displaystyle\cdot} B（電子學））。

  A ∧ B {\displaystyle~A\landB} 的真值表: 輸入 輸出 A {\displaystyleA} B {\displaystyleB} A ∧ B {\displaystyleA\landB} 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 推理規則[編輯] 合成與分解規則[編輯] 合取引入規則[編輯] 合取引入規則（∧+）（conjunctionintroductionrule）或聯言推理的合成式，是經典邏輯中簡單且有效的論證形式。

這個論證形式有兩個前提，A和B，可以直觀地推出他們的合取。

其形式如下： A, B. 因此A且B. 形式化為： A , {\displaystyle\mathbf{A},} B {\displaystyle\mathbf{B}} ⊢ A ∧ B {\displaystyle\vdashA\landB} 下面的例子是滿足聯言推理的合成式的論證： 小橘子是正妹。

小橘子是車神。

因此小橘子是正妹也是車神。

另一個例子如下： 1小於2 6大於5 因此，1小於2，而且6大於5。

還有一個例子如下： 有一些PSPACE問題不是NL問題 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題 合取消去規則[編輯] 合取消去規則（∧-）（Conjunctioneliminationrule）或聯言推理的分解式，是另一個在經典邏輯中簡單且有效的論證形式。

從任何合取式中都可以直觀地推論出兩個前提中的任意一個。

其形式如下： A且B。

因此A。

...或者， A且B. 因此B. 用邏輯運算符描述為， 形式化為: A ∧ B {\displaystyleA\landB} ⊢ A {\displaystyle\vdashA} 或者, A ∧ B {\displaystyleA\landB} ⊢ B {\displaystyle\vdashB} 例如: 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題 因此有一些PSPACE問題不是NL問題 或者 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題 另一個例子如下： 1小於2，而且6大於5。

因此1小於2。

或者 1小於2，而且6大於5。

因此6大於5。

還有一個例子如下： 小橘子是正妹也是車神。

因此小橘子是正妹。

或者 小橘子是正妹也是車神。

因此小橘子是車神。

性質[編輯] 邏輯與滿足以下性質： 結合律: A ∧ ( B ∧ C ) ≡ ( A ∧ B ) ∧ C {\displaystyleA\land(B\landC)\equiv(A\landB)\landC} 交換律: A ∧ B ≡ B ∧ A {\displaystyleA\landB\equivB\landA} 分配律: ( A ∧ ( B ∨ C ) ) ≡ ( ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) ) {\displaystyle(A\land(B\lorC))\equiv((A\landB)\lor(A\landC))} ( A ∨ ( B ∧ C ) ) ≡ ( ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) ) {\displaystyle(A\lor(B\landC))\equiv((A\lorB)\land(A\lorC))} 冪等律: A ∧ A ≡ A {\displaystyleA\landA\equivA} 單調性: ( A → B ) → ( ( C ∧ A ) → ( C ∧ B ) ) {\displaystyle(A\rightarrowB)\rightarrow((C\landA)\rightarrow(C\landB))} ( A → B ) → ( ( A ∧ C ) → ( B ∧ C ) ) {\displaystyle(A\rightarrowB)\rightarrow((A\landC)\rightarrow(B\landC))} 保真性:所有變量的真值皆為「真」的命題在邏輯與運算後的結果為真。

保假性:所有變量的真值皆為「假」的命題在邏輯與運算後的結果為假。

如果用二進位來表達真（1）和假（0），邏輯與運算與算術乘法運算一致。

計算機科學中的運用[編輯] 與門 位運算[編輯] 邏輯與常在位運算中使用，比如： 0and0=0 0and1=0 1and0=0 1and1=1 1100and1010=1000 編程中的使用[編輯] 在高等計算機編程中，邏輯合取「與」通常由內置算符and或&號來表達。

很多程式語言還提供與邏輯與相應的短路求值控制結構。

布爾「與」也在SQL的運算符中使用。

有些資料庫區分大小寫，需要"AND"符號。

在計算機科學中，AND運算符可以用來構造位屏蔽，以選擇二進位序列的一部分。

比如10011101AND00001000=00001000用來取二進位序列的第五位。

交集運算[編輯] 集合論中的交運算是用邏輯與來定義的：x∈A∩B若且唯若(x∈A)∧(x∈B)。

因此邏輯與有很多與交集運算相同的性質，諸如結合律，交換律，分配律，及德·摩根定律。

註釋[編輯] ^ComprehensiveListofLogicSymbols.MathVault.2020-04-06[2020-09-02]（美國英語）.  ^Conjunction,Negation,andDisjunction.philosophy.lander.edu.[2020-09-02].  ^2.2:ConjunctionsandDisjunctions.MathematicsLibreTexts.2019-08-13[2020-09-02]（英語）.  參見[編輯] 與門 相關網頁[編輯] 維基共享資源中相關的多媒體資源：邏輯與 WolframMathematicsConjunction AllMathWordsEncyclopediaConjunction Hazewinkel,Michiel(編),Conjunction,数学百科全书,Springer,2001,ISBN 978-1-55608-010-4  PropertyandtruthtableofANDpropositions.（原始內容存檔於May6,2017）.  閱論編邏輯聯結詞 恆真（ ⊤ {\displaystyle\top} ） 與非（ ↑ {\displaystyle\uparrow} ） 反蘊涵（ ← {\displaystyle\leftarrow} ） 蘊涵（ → {\displaystyle\rightarrow} ） 或（ ∨ {\displaystyle\lor} ） 非（ ¬ {\displaystyle\neg} ） 異或（ ⊕ {\displaystyle\oplus} ） 雙條件（ ↔ {\displaystyle\leftrightarrow} ） 命題 或非（ ↓ {\displaystyle\downarrow} ） 非蘊涵（ ↛ {\displaystyle\nrightarrow} ） 反非蘊涵（ ↚ {\displaystyle\nleftarrow} ） 與（ ∧ {\displaystyle\land} ） 恆假（ ⊥ {\displaystyle\bot} ） template:Commonlogicalsymbols（英語：template:Commonlogicalsymbols） 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=逻辑与&oldid=63765140」 分類：​邏輯聯結詞布爾代數二元運算隱藏分類：​CS1美國英語來源(en-us)CS1英語來源(en)使用過時的math標籤格式的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةБългарскиCatalàČeštinaDanskDeutschEmiliànerumagnòlEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisעבריתMagyarՀայերենBahasaIndonesiaItaliano日本語Қазақша한국어КыргызчаLombardLietuviųМакедонскиNederlandsNorskbokmålPolskiPiemontèisPortuguêsРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaไทยУкраїнська粵語 編輯連結