拋體分析

A、 斜拋至最高點所需的時間t1＝從最高點落回原高度所需的時間t2。

... 在加速起跑後，以仰角37°從起跳線躍出，跳遠成績為4.8公尺，則此女同學從起線躍出時速度為 (一)  拋體分析： A、   起始條件： (1)    初速V0，斜角θ 水平初速V0x＝V0cosθ(") 鉛直初速V0y＝V0sinθ(#) (2)    受力情形： 水平方向不受力 [等速度運動(慣性定律) 鉛直方向受重力 [等加速度運動(運動定律) V0y向上，加速度ay＝重力加速度＝g($)[鉛直上拋 B、   t秒後情形： (1)    軌跡方程式： x＝V0x•t＝(V0cosθ)•t [    [  [  [  圖形為開口向下的拋物線(y＝ax－bx2) (2)    Vx＝V0x＝V0cosθ(") Vy＝V0y－gt＝V0 sinθ－gt [  [  速度方向即為物體運動的方向 θ：和水平面的夾角 C、   最高點： (1)    時間(t)： Vy＝0  [V0sinθ－gt＝0    [ (2)    最大高度(H)： 最高點末速＝0 [                   [  [ (3)    全程時間(T)： a.全程飛行時間＝最大點時間的2倍 [   b.鉛直上拋過程，同一水平面(高度)的速度大小會相等，方向相反。

  [鉛直初速＝V0sinθ [  鉛直末速＝－V0sinθ   －V0sinθ＝V0sinθ－gT   [  2V0sinθ＝gT  [ (4)    水平射程(R)：   [  (5)     [     或R＝4Hcotθ D、  切線加速度(at­)與法線加速度(an)：   [  at＝gsinθ     an＝gcosθ 最高點處 Vy＝0 Vx＝V0cosθ [at＝0  an＝g($)     (二)  討論： A、   最大水平射程： 為最大值時     [sin2θ＝1 此時2θ＝90∘  [ θ＝45∘ 當斜拋仰角為45∘時，有最大的水平射程R   [ 。

由圖形可發現： 當V0維持一定時，將θ由0∘起逐漸增大，則水平射程亦逐漸增加，直到45∘時，水平射程達到最大值，超過45∘後增加θ值，則水平射程又逐漸減小。

B、   斜拋仰角互餘時： (1)    θ1＋θ2＝90∘ [  θ2＝90∘－θ1 當兩次的斜拋仰角互餘時，兩次的水平射程會相等。

    (2)    R1＝R2時  [  [sin2θ1＝sin2θ2 sin2θ1＝sin(180－2θ1)＝sin2θ2 [180－2θ1＝2θ2  [2θ1＋2θ2＝180∘           [θ1＋θ2＝90∘ 當兩次的水平射程相等時，斜拋的仰角必定互餘。

(三)  斜向拋射的特性： A、   斜拋至最高點所需的時間t1＝從最高點落回原高度所需的時間t2。

B、   上升過程與下降過程中，在同一高度處有相同的速率，且角度相同，但是上升時原為仰角，下降至同一高度變為俯角。

水平等速度   [V1x＝V2x＝Vcosθ 鉛直等加速度 [V1y＝V1sinθ(#)                 V2y＝V2sinθ($)                [ C、   上升與下降經相同的高度差，則所需的時間相同。

如上圖，A"P所經的時間，與P'"A'所經的時間相同。

 [  tAP＝tP'A'。

D、  即使初速不同，飛行仰角不同，若鉛直速相同時，則： (1)    飛行時間必定相同。

(2)    最大飛行高度必定相同。

1.   一物體自地面以20 m／s、30°的仰角被拋出，假設g＝10 m／s2，則： (1)軌跡方程式【】； (2)最大高度【5】m； (3)飛行時間【2】s； (4)水平射程【】m； (5)落地時之切線加速度【5】m／s2； (6)落地時之法線加速度【】m／s2。

【解析】： (1)    [  (2)  [   [H＝5m (3) 飛行時間  [－Vy＝Vy－gT  [－10＝10－10xT [  t＝2秒 (4)  (5) 拋出瞬間的仰角30∘，落地瞬間的俯角為30∘， 切線加速度at＝gsin30∘＝10x(1／2)＝5m／s2 (6) 法線加速度                            2.    一物斜向上拋，水平射程和最大高度相等，設拋射角和地面成θ角，則　 (A)tanθ＝4　(B) tanθ＝2　(C) cotθ＝4　(D) cotθ＝2 【答案】：(A) 【解析】：        [      [4cosθ＝sinθ   [  tanθ＝4   3.    某女同學進行跳遠測驗，在加速起跑後，以仰角37°從起跳線躍出，跳遠成績為4.8公尺，則此女同學從起線躍出時速度為　 (A)6.3　(B)6.8　(C)7.1　(D) 7.5　m／s（g＝10m／s2） 【答案】：(C) 【解析】：  [     [＝7.05 m/s 4.    某女同學進行跳遠測驗，在加速起跑後，以仰角37°從起跳線躍出，跳遠成績為4.8公尺，若此同學再加速助跑，使躍出時的初速度增加20％，則跳遠成績可增加　 (A)21％　(B)30％　(C)44％　(D) 50％ 【答案】：(C) 【解析】：承上題，初速原為7.05m/s，再增加20％，初速增為7.05x1.2＝8.46 m/s 最大水平射程 原有的水平設成為4.8m，因此增加了   5.    不計空氣阻力，某物體在水平面上斜拋，則上升過程中，最後一秒爬升的鉛直高度為若干？　 (A)0.25g　(B)0.5g　(C)g　(D) 1.25g　(E)條件不足（重力速度為g） 【答案】：(B) 【解析】：上升過程最後1秒的位移會等於從最高點開始落下第1秒內的位移 落下的第1秒位移5m，所以同一時間內上升的最後一秒位移＝5m＝0.5g。

  6.   以v0之初速斜向拋出一球，於運動過程中，速度最小值，則此球可上升的最大高度為　 (A)　(B)　(C)　(D)　(E) 【答案】：(D) 【解析】：最高點的速度為最小值，只有水平速度， 所以 [    [θ＝60∘   7.    將一石子斜向拋射，不計空氣阻力時，在最高點之速率為拋出時速率之一半，則拋射角為　 (A)30°　(B)37°　(C)45°　(D) 53°　(E)60° 【答案】：(E) 【解析】：最高點的速度只有水平速度 [   [  [θ＝60∘   8.     如圖，大砲以37∘瞄準前方400m的峭壁射擊，已知砲彈初速100m／s，砲彈發射後幾秒鐘擊中峭壁？　（cos37°＝0.8）　 (A)5　(B)10　(C)15　(D)20 【答案】：(A) 【解析】：砲彈的水平速度Vx＝V0 cos37∘＝100x(4／5)＝80m/s 鉛直速度Vy＝V0sin37∘＝100(3／5)＝60m/s x＝Vxt  [  400＝80T [ T＝5秒      9.    一物體自地面被斜拋出去，如欲使水平射程R為最大高度H的3倍，則拋射時的仰角該為　 (A)60°　(B)53°　(C)45°　(D) 37°　(E)30° 【答案】：(B) 【解析】：R＝3H  [     [   [    [θ＝53∘   10.   一砲在高65公尺之崖邊，向海面射擊，初速為20公尺，仰角37°，恰可擊中停泊於海面的艦艇，則(g＝10 m／s2) (1)砲彈發射至擊中艦艇需【5】秒。

(2)艦艇與砲的水平距離為【80】公尺。

【答案】：(C) 【解析】：  落於海面上，鉛直位移＝－65公尺 [ 5t2－12t－65＝0   (5t＋13)(t－5)＝0 [t＝5秒 水平位移R＝Vxt＝16x5＝80公尺   11.   以一定之初速，作兩次斜向拋射，其最大高度分別為H1及 H2，若兩次水平射程相等，則此射程為【】。

【解析】：   ，兩次水平射程相等 [   [        [     [        12. 一球自地表以v0之初速、60˚之仰角斜向拋出，若不計空氣阻力，當球的速度與水平成30˚角之瞬間，球離地面的高度應為　 (A)　(B)　(C)　(D)　(E) 【答案】：(C) 【解析】： 水平初速 當速度的仰角變為30˚時，速度變為V1，則 水平速度維持不變  [        [ 鉛直初速                              [   [    13. 如圖，自60m高的樓頂以25m／s的初速，仰角53°拋出一球，經幾秒後著地？ (A)6　(B)7　(C)3　(D)5　(重力加速度g＝10m／s2) 【答案】：(A) 【解析】： m/s  m/s          落地位移＝－60m [ [5t2－20t－60＝0    (t－6)(t＋2)＝0  [ t＝6秒 14. 在高40 m處以20m／s斜角30°拋出一石，g＝10 m／s2，則 (1)【4】秒著地。

(2)2秒末之高度為【40m】，速度為【20m/s】。

(3)3秒末之高度為【25m】，速度大小為【m/s】。

(4)著地之速度為【】。

【解析】： m/s  m/s (1) 落地位移＝－40m [ [5t2－10t－40＝0     t2－2t－8＝0  [(t－4)(t＋2)＝0   [ t＝4秒 (2)2秒末高度h1   出發點距地面40m，2秒後位移為0，依然距離地面40m。

  速度Vy＝v0－gt＝10－10x2＝－10m/s，速度大小為10m/s，方向朝下。

      Vx＝ m/s，m/s (3)3秒末高度h1   出發點距地面40m，3秒後位移為－15m，因此距離地面40－15＝25m。

  速度Vy＝v0－gt＝10－10x3＝－20m/s，速度大小為20m/s，方向朝下。

      Vx＝ m/s， m/s (4)著地瞬間的位移＝－40m [     [5t2－10t－40＝0   t2－2t－8＝0      (t－4)(t＋2)＝0       t＝4秒  [ Vy＝v0－gt＝10－10x4＝－30m/s      Vx＝ m/s， m/s   15. 自高度h的樓頂同時拋出兩球，速率均為v0，方向分別是仰角45°及俯角45°，則兩球著地的水平位置相距多遠？ (A)　(B)　(C)　(D)。

【答案】：(B) 【解析】：如圖，仰角45∘，水平位移為AB'， 俯角45∘十，水平位移為A'B'， 由圖形知，A'B'＝AB，因此兩者的位移相差 ＝AB'－A'B'＝AB'－AB＝B'B＝PP'＝   16. 以初速v仰角θ斜向拋出一球，空氣阻力不計，當球速度與水平夾角α時(α