平面等加速度運動解題方法 - 科學Online

一般而言，當我們處理平面等加速度運動時，會將所處理的座標分為兩個相互垂直的方向，（如：水平方向與鉛直方向、平行斜面方向與垂直斜面方向、切線 ... Saturday10thSeptember2022 10-Sep-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 平面等加速度運動解題方法 國立苑裡高級中學物理科許家銘老師/國立彰化師範大學物理系洪連輝教授責任編輯 一般而言，當我們處理平面等加速度運動時，會將所處理的座標分為兩個相互垂直的方向，（如：水平方向與鉛直方向、平行斜面方向與垂直斜面方向、切線方向與法線方向…等）在各自的方向上以直線運動的概念解題，在依其需要合併即得解，今天考慮平面向量及正弦定理，部分題型可以不須分解即可求解，通用例題如下： 例題： 某物體自地面（或離地高$$h$$）以初速度$$v_0$$ 與水平夾$$\theta$$角斜向拋出，在出發後時刻$$t$$時，物體的速度為$$v$$且與水平方向夾角$$\varphi$$： 1. 物體的速度$$v$$： 由加速度的定義： $$\vec{a}=\displaystyle\frac{\Delta\vec{v}}{\Deltat}$$ $$\Delta\vec{v}=\vec{v}-\vec{v_0}=\vec{a}\cdot\Deltat$$ $$\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{a}\cdot\Deltat$$ 由正弦定理可得： $$\displaystyle\frac{v_0}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\varphi\right)}=\frac{v_0}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\frac{gt}{\sin(\theta-\varphi)}$$ 再依照所需求解$$v$$或$$t$$。

如下例題： 問： 某物體自地面以仰角$$60^\circ$$初速$$20~m/s$$斜面拋出，經歷時間$$t$$後，速度方向與水平方向夾俯角$$30^\circ$$，試求：(1)$$v$$的大小(2)$$t$$的大小（$$g=10~m/s^2$$） 答： 由角度關係及各物裡量方向，可繪出以下關係圖 由正弦定理可知 $$\displaystyle\frac{20}{\sin60^\circ}=\frac{10\cdott}{\sin90^\circ}=\frac{v}{\sin30^\circ}$$ $$\displaystylev=\frac{20}{\sin60^\circ}\cdot\sin30^\circ=\frac{20}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}~(m/s)$$ $$\displaystyle10\cdott=\frac{20}{\sin60^\circ}\cdot\sin90^\circ\Rightarrow{t}=\frac{2}{\sqrt{3}/2}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}~(s)$$   2.物體的位移$$\Deltar$$： 由加速度的定義可得$$\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{a}t$$（取出發時時刻為零，出發點為原點），再由速度與位移的關係可得： $$\displaystyle\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v_0}+\vec{a}\cdott$$ $$d\vec{r}=(\vec{v_0}+\vec{a}\cdott)dt$$ $$\intd\vec{r}=\int\limits^t_0(\vec{v_0}+\vec{a}\cdott)dt$$ $$\vec{S}=\Delta\vec{r}=(\vec{v_0}\cdott)+(\frac{1}{2}\vec{a}\cdott^2)$$ 可得物體所做的位移可以區分為$$(\vec{v_0}\cdott)$$向量與$$(\frac{1}{2}\vec{a}\cdott^2)$$向量的合成，如圖 再由正弦定理求解相關物理量： $$\displaystyle\frac{v_0\cdott}{\sin(\frac{\pi}{2}+\varphi)}=\frac{S}{\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)}=\frac{(\frac{1}{2}g\cdott^2)}{\sin(\theta-\varphi)}$$ 此一解法適用於求解斜面上的拋體運動，特舉一例題如下： 問： 如圖，球在高度為$$20$$米，寬度為$$40$$米之坡底，以初速$$25$$米／秒，與水平夾$$53^\circ$$仰角丟出，則 (1)物體於出發後何時落於斜坡面？ (2)物體於斜面上的落點與出發點的距離？ 答： 由正弦定理可得：$$\displaystyle\frac{25\cdott}{\sin(90^\circ+\varphi)}=\frac{\frac{1}{2}\times{10}t^2}{\sin(53^\circ-\varphi)}=\frac{S}{\sin37^\circ}$$ $$(1)$$由 $$\displaystyle\frac{25\cdott}{\sin(90^\circ+\varphi)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot10t^2}{\sin(53^\circ-\varphi)}$$，化簡可得 $$\displaystyle\frac{5}{\cos\varphi}=\frac{t}{\sin(53^\circ-\varphi)}$$，其中$$\displaystyle\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt{5}},~~\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}},~~\tan\varphi=\frac{1}{2}$$ $$\displaystylet=\frac{5\cdot(\sin(53^\circ-\varphi))}{\cos\varphi}=\frac{5(\sin53^\circ\cos\varphi-\cos53^\circ\sin\varphi)}{\cos\varphi}$$ $$\displaystylet=5(\sin53^\circ-\cos53^\circ\tan\varphi)=5\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\times\frac{1}{2}\right)=2.5~(S)$$ $$(2)$$由$$\displaystyle\frac{25\cdott}{\sin(90^\circ+\varphi)}=\frac{S}{\sin37^\circ}$$，化簡可得 $$\displaystyleS=\frac{25\cdott}{\cos\varphi}\cdot\sin37^\circ=25\times2.5\times\frac{\sqrt{5}}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{75\sqrt{5}}{4}~(m)$$ 參考資料： 1.    南一版物理(上)教師手冊 2.    例題取材：翰林版題庫系統 Tags:等加速度運動,解題方法 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 哈伯太空望遠鏡 [講座]星際效應，有影無？-CASE電影科普講座 目前世界上最精準的時鐘－光晶格光頻原子鐘在低溫環境下的突破 [講座]2015年諾貝爾物理獎得主梶田隆章教授演講 【2015年諾貝爾物理獎】粒子世界中的「變態」現象 偵測到大爆炸微波輻射的研究持續受到質疑 臺大梁次震中心成功發射伽瑪射線爆人造衛星望遠鏡 【2014諾貝爾物理獎】照亮世界的嶄新光芒 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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