機率空間

1. 樣本點(sample point)：試驗可能發生之任一結果，稱為一樣本點。

· 2. 樣本空間(sample space)：試驗所有可能發生的結果所成的集合稱為“樣本空間”，以 表示。

· 3. 事件( ...         統計的工作是對隨機現象(randomphenomenon)做分析與推論。

由於是處理隨機的模型，其理論基礎便是隨機論。

而機率論乃是建立在集合論(settheory)的基礎。

        一隨機試驗(randomexperiment)，其所有可能的結果(outcome)之集合，稱為樣本空間(samplespace)，通常以希臘字母表之。

機率空間中的一個元素，便稱為一個樣本，通常以的小寫表之。

        例如：丟一銅板一次，觀察所得的結果，則樣本空間包含正面與反面。

即 ={正面，反面}。

        又如將三顆球a、b、c 投入三個不同的袋子，為所有可能出現的情形可見下表。

表一：所有可能出現的情形 1.{ a b c |-|-} 10.{ a |b c|-} 19.{ -|a|b c } 2.{ -|a b c|-} 11.{ b|a c|-} 20.{ -|b|a c } 3.{ -|-|a b c } 12.{ c|a b|-} 21.{ -|c| a b } 4.{ a b| c|- } 13.{ a |-|b c } 22.{ a |b|c } 5.{ a c|b|- } 14.{ b|-|a c } 23.{ a |c|b } 6.{ b c|a|-} 15.{ c|-|a b } 24.{ b|a|c } 7.{ a b |-|c } 16.{ -|a b|c} 25.{ b|c|a} 8.{ a c | - | b} 17.{ -|ac|b} 26.{ c | a | b} 9.{ b c|-|a} 18.{ -|b c|a } 27.{ c|b|a} 　        每一種可能出現的情形，即樣本空間中的每一元素，稱為一樣本點(samplepoint)。

一旦樣本空間決定了，即可考慮事件(event)；而由樣本點所成之子集合，即稱為一事件。

以下、、為表一所列試驗結果的一些事件之例。

：“第一個袋子不是空的”為一事件，裡面所包含之樣本點，如上表中之序號為1,4-15,22-27的試驗所成之集合。

可表為：事件={序號1,4-15,22-27的試驗}，其中序號1,4-15,22-27的試驗，如表一所示。

：“某一袋子有兩個或以上的球”亦為一事件，所包含之樣本點，如上表中之序號為1-21的試驗所成之集合。

可表為：事件={序號1-21的試驗}，其中序號為1-21的試驗，如表一所示。

：“與同時成立時”亦為一事件，可表為事件{序號1,4-12的試驗}。

　 我們將上述有關名詞的定義整理如下： 1.樣本點(samplepoint)：試驗可能發生之任一結果，稱為一樣本點。

2.樣本空間(samplespace)：試驗所有可能發生的結果所成的集合稱為“樣本空間”，以表示。

表二：隨機實驗、樣本點與樣本空間 隨機實驗 樣本點 樣本空間 產品品質檢驗 良品，不良品 ＝{良品，不良品} 一場足球賽 贏，輸，和 ＝{贏，輸，和} 丟一個骰子1次 1,2,3,4,5,6 ＝{1,2,3,4,5,6} 3.事件(event):樣本空間的任一子集，稱為一個“事件”。

        在一個試驗裡，若我們關心某件事情會不會發生，則稱該件事情為“事件”，通常以大寫英文字母、、、  等來表示一事件。

        一個事件包含一個或多個樣本點。

它可能為空集合，亦可能等於樣本空間“”。

事件有兩種：一種是簡單事件(simpleevent)。

另一種是複合事件(compositeevent)，其中(i) 簡單事件：事件只包含一個樣本點者，稱為簡單事件。

(ii) 複合事件：事件包含二個或二個以上之樣本點者，稱為複合事件。

        如擲一個骰子，令為出現偶數點數者，則為一事件，表為＝{2,4,6}，此為複合事件。

令為骰子點數為3者，則亦為一事件，表為＝{3}，此為簡單事件。

4. 必然事件(全事件)：樣本空間是它自己的一個子集，且試驗的結果必定在中，所以事件必然發生，稱之為必然事件。

5. 不可能事件(空事件)：空集合也是的一個子集，因為它不包含任何元素，所以試驗的結果也一定不屬於，也就是說，事件永遠不會發生，稱之為不可能事件。

        因為事件以集合表示，故事件的聯集、交集和補集仍然是一事件。

6. 和事件：對樣本空間的任兩個事件和，定義一新事件為事件和事件的所有樣本點所構成的集合，稱之為事件和事件的和事件。

也就是說，當事件或事件發生時，事件將會發生。

也就是集合的聯集。

        例如：＝{1,3,5}，＝{2,4,6}，則＝{1,2,3,4,5,6}。

7. 積事件：對樣本空間的任兩個事件和，定義一新事件為事件和事件所共有的樣本點所構成的集合，稱之為事件和事件的積事件。

也就是說，僅當事件和事件同時發生時，事件(有時也寫作)才會發生，即集合的交集。

        例如：＝{1,3,5}，＝{3}，則＝{3}。

8. 餘事件(complementevent)：對於每一事件，定義一新事件為在內但不在中之所有點所構成的集合，稱之為的餘事件。

也就是說，發生若且唯若不發生。

        例如：＝{男生，女生}，＝{男生}，則＝{女生}。

9. 互斥事件(mutuallyexclusiveevents)：當，則稱和為互斥事件，也就是說，事件和事件不可能同時發生。

        當樣本空間有個元素，可形成個部分集合(因每個元素均有2種選擇(選與不選))，因此就有個事件。

　 例題1.  如果一袋子內有紅色球3個，藍色球2個，某人任意從袋中取出一球觀察其顏色，試寫出其樣本空間。

解答： 因袋內有紅色球和藍色球兩種，故樣本空間為＝{紅色球，藍色球}。

　 例題2.  丟一個公正銅板一次，觀察其出現的情形，試寫出所有的事件。

解答： 因銅板只有正、反兩面，故其樣本空間為＝{正面、反面}，得的元素個數為 2，所以的部分集合有個，分別如下: ，{正面}，{反面}，{正面、反面}。

　 例題3.  同時投擲甲、乙兩個骰子一次，並記錄其點數出現之情形。

試寫出此試驗的 (i)樣本空間。

(ii)點數和為7的事件。

(iii)點數和大於10的事件。

(iv)兩個骰子出現同點數的事件。

(v)事件和事件的積事件。

(vi)事件和事件的和事件。

(vii)、兩事件是否互斥? (viii)、兩事件是否互斥? 解答：  因為每顆骰子都有6種({1,2,3,4,5,6})可能的情形發生，利用乘法原理，得此試驗的可能結果共有種。

故 (i)＝ 。

(ii)＝{(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)}。

(iii)＝{(5,6)、(6,5)、(6,6)}。

(iv)＝{(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)}。

(v){(6,6)}。

(vi)＝{(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)、(5,6)、(6,5)、(6,6)}。

(vii)因為，所以事件、是互斥的。

(viii)因為{(6,6)}，所以事件、不是互斥的。

　例題4.  若一袋中有3紅球，2黑球，1白球，從袋中任取一球，觀察其顏色。

(i)請寫出此實驗的樣本空間。

(ii)請寫出抽出紅球的事件。

(iii)令表抽出紅球的事件，表抽出黑球的事件，請問 、兩事件是否互斥? 解答： (i)樣本空間＝{紅球，黑球，白球}。

(ii)＝{紅球}。

(iii)因為＝{紅球}，＝{黑球}，則，所以事件、是互斥的。

　練習1.  擲一公正銅板二次，依次觀察出現正面或反面的情形。

試寫出此試驗的 (i)樣本空間。

(ii)剛好出現一正面的事件。

(iii)至少出現一反面的事件。

(iv)和的和事件。

(v)和的積事件。

(vi)的餘事件。

(vii)、兩事件是否互斥? 解答　 習題1.  若一袋中有3紅球，2黑球，1白球，從袋中任取兩顆球，觀察其顏色。

(i)請寫出此實驗的樣本空間。

(ii)請寫出所抽出的兩顆球裡，至少抽出一顆紅球的事件。

(iii)所抽出的兩顆球裡，令表至少抽出一顆紅球的事件，表至少抽出一顆黑球的事件，請問、兩事件為互斥事件嗎? 解答 　 練習1解答.  因試驗的可能結果有四個:分別為(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)。

其中，(正，反)表第一次出現正面和第二次出現反面，其餘依此類推。

故  (i)樣本空間＝{(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)}。

  (ii)＝{(正，反)、(反，正)}。

  (iii)＝{(正，反)、(反，正)、(反，反)}。

  (iv)＝{(正，反)、(反，正)、(反，反)}。

  (v)＝{(正，反)、(反，正)}。

  (vi)＝{(正，正)、(反，反)}。

  (vii)因為＝{(正，反)、(反，正)}，所以事件、不是互斥的。

　 習題1解答.  (i)樣本空間＝{(紅球、紅球)，(黑球、紅球)，(白球、紅球)，(白球、黑球)，(黑球、黑球)}。

  (ii)＝{(紅球、紅球)，(黑球、紅球)，(白球、紅球)}。

  (iii)因為＝{(紅球、紅球)，(黑球、紅球)，(白球、紅球)}，＝{(黑球、紅球)，(白球、黑球)，(黑球、黑球)}，則＝{(黑球、紅球)}，所以事件、不為互斥事件。