5. 第二型曲线积分与Green公式 - 中国科学技术大学

第二型曲线积分与Green公式. 第二型曲线与曲面积分与第一型的区别在于，曲线与曲面是有方向的。

1. 第二型曲线积分与Green公式. 1.1. 定向曲线. 1.2. 第二型曲线积分. 5.第二型曲线积分与Green公式 多变量函数的积分学 张瑞 中国科学技术大学数学科学学院 [email protected] 第二型曲线积分与Green公式 第二型曲线与曲面积分与第一型的区别在于，曲线与曲面是有方向的。

1. 第二型曲线积分与Green公式 1.1. 定向曲线 1.2. 第二型曲线积分 1.3. Green公式 1.4. 目录 定向曲线 定向曲线是一条通常的曲线但还带有前进的方向，有起点和终点。

$L$的方程 \[r=r(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix},t\in[\alpha,\beta] \] $A=r(\alpha)$,$B=r(\beta)$。

定向曲线$L_{AB}$，参数$t$由$\alpha$增加到$\beta$，习惯上称为正方向； 定向曲线$L_{BA}$，参数$t$由$\beta$减少到$\alpha$，习惯上称为负方向。

若$L$为光滑曲线，$r'(t)$为$L$的切向量，则它指向$t$增加的方向。

这样的话， 单位切向量$\tau=\frac{r'(t)}{|r'(t)|}$指向$L$的正方向， 单位切向量$\tau=-\frac{r'(t)}{|r'(t)|}$指向$L$的负方向， 若$L$是封闭曲线，习惯上，称逆时针方向为正方向。

此时，$L$围成的区域在$L$行进方向的左边。

第二型曲线积分 空间域中有向量值函数$\vecF(M)$,$M\inV$，如：电场、力场。

$L_{AB}\subsetV$为光滑曲线。

质点沿$AB$运动，求力$\vecF$对它做的功。

把$L_{AB}$分为$n$小段，记第$i$段弧长为$\Deltas_i$，在第$i$上任取一点$M_i$，则力$F$在第$i$段做的功近似为$f(M_i)\cdot\Deltar_i$，其中 \[\Delta\vecr_i=\overrightarrow{A_{i-1}A_{i}}=r_{i}-r_{i-1} \] Riemann和为 \[\sum_{i=1}^n\vecF(M_i)\cdot\Delta\vecr_i \] 定义 1. $L_{AB}$为$\mathbb{R}^3$中定向曲线，$r$为$L$上点的向量，$\vecF=\vecF(M)$为$L$上的向量场。

用分点$\{A_i\}$将$L_{AB}$分成$n$段。

令$\Delta\vecr_i=r_{i}-r_{i-1}$，任取第$i$段弧上的点$M_i$，作Riemann和 \[S=\sum_{i=1}^n\vecF(M_i)\cdot\Delta\vecr_i \] 记第$i$段弧的长为$\Deltas_i$，若$\displaystyle\lambda=\max_{1\leqi\leqn}\Deltas_i\to0$时，$S$的极限存在，且与分点$\{A_i\}$及取点$\{M_i\}$都无关，则称这个极限为$F$在定向曲线$L_{AB}$上的第二型曲线积分，记为 \[\int_{L_{AB}}\vecF\cdotd\vecr=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n\vecF(M_i)\cdot\Delta\vecr_i \] 式中，$d\vecr=(dx,dy,dz)$为向量值函数的微分。

当$L$为封闭曲线时，$\displaystyle\int_L\vecF\cdotd\vecr$称为向量场沿回路$L$的环量，记为$\displaystyle\oint_L\vecF\cdotd\vecr$。

设$\vecF=(P,Q,R)$，则 \[\vecF\cdotd\vecr=Pdx+Qdy+Rdz \] 这样，第二型曲线积分又可以记为 \[\int_{L_{AB}}\vecF\cdotd\vecr=\int_{L_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz \] 若$Q=R=0$，则记为$\displaystyle\int_{L_{AB}}Pdx$ 若$L$光滑，且有参数方程 \[\vecr(t)=\begin{cases} x(t)\\ y(t)\\ z(t) \end{cases},t\in[\alpha,\beta] \] 则$d\vecr=(x'(t),y'(t),z'(t))dt$。

这样，有 \[\int_{L_{AB}}F\cdotdr=\int_{\alpha}^{\beta}\vecF(x(t),y(t),z(t))\cdot\vecr'(t)dt \] 记$L$上的单位切向量为 \[\vec\tau=\frac{\vecr'(t)}{|\vecr'(t)|} \] 与曲线$L$的方向一致。

由$L$上的弧长微分$ds=|\vecr'(t)|dt$，则 \[\vec\tau=\frac{\vecr'(t)}{ds}{dt}=\frac{d\vecr}{ds} \] \[d\vecr=\vecr'(t)dt=\vec\tau|\vecr'(t)|dt=\vec\tauds \] 记$d\vecs=\vec\tauds$(=$d\vecr$)，称为有向弧长微元。

由$d\vecr=\vec\tauds$，有 \[\int_{L_{AB}}\vecF\cdotd\vecr=\int_{L_{AB}}\vecF\cdot\vec\tauds \] 第二型积分就是向量场关于曲线有向弧长元素投影的积分，而$\displaystyle\int_{L_{AB}}\vecF\cdot\vec\tauds$就是函数$\vecF\cdot\vec\tau$在$L$上的第一型曲线积分。

性质 (1)线性 \[\int_{L_{AB}}(c_1F_1+c_2F_2)\cdotdr=c_1\int_{L_{AB}}F_1\cdotdr+c_2\int_{L_{AB}}F_2\cdotdr \] 特别地，有 \[\int_{L_{AB}}F\cdotdr=\int_{L_{AB}}Pdx+\int_{L_{AB}}Qdy+\int_{L_{AB}}Rdz \] (2)积分曲线可加性$L_{AC}$是由$L_{AB}$与$L_{BC}$连接而成，则 \[\int_{L_{AC}}F\cdotdr=\int_{L_{AB}}F\cdotdr+\int_{L_{BC}}F\cdotdr \] (3)方向性 \[\int_{L_{AB}}F\cdotdr=-\int_{L_{BA}}F\cdotdr \] (4)若 \[L:\begin{cases} &x=c\\ &y=y(t)\\ &z=z(t) \end{cases} \] 位于垂直于$x$轴的平面上，则 \[\int_LPdx=0 \] 物理上来说：若力与运动方向是垂直的，则做功为$0$ (5)若$L$在$x$轴上，为$x$轴闭区间，则 \[\int_{L_{AB}}F\cdotdr=\int_a^bP(x,0,0)dx \] (6)若$L_{AB}:y=y(x),x\in[a,b]$，则 \[\int_{L_{AB}}Pdx=\int_a^bP(x,y(x)dx \] 例 1.$C$为$y=x^2,x\in[-1,1]$，求 \[\int_C(x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy \] 例 2.$O$为原点，$A=(1,2)$，求 \[\int_{OA}xdy-ydx \] (1)$OA$为直线，$y=2x$ (2)$OA$为抛物线，$y=2x^2$ (3)$OA$为两段折线，$OB:y=0$和$BA:x=1$ 1. 例 3.$C$的方程为 \[\begin{cases} &x^2+y^2+z^2=a^2\\ &x^2+y^2=ax \end{cases},z\geq0,a>0 \] 求曲线积分 \[\int_Cy^2dx+z^2dy+x^2dz \] 3. Green公式 定义 2. $D$为平面区域，如果$D$中任意一条简单闭曲线（自身不相交，首尾相连）的内部都包含在$D$内，则称$D$为单连通区域，否则称为多连通区域 定理 1. $D$是由分段光滑闭曲线$L$围成的平面单连通区域，函数$P(x,y)$,$Q(x,y)$在$D$上有一阶连续偏导数，则有 \[\oint_LPdx+Qdy=\iint\limits_D(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy})dxdy \] 其中$L$的方向为：沿此方向行进时，区域$D$始终在左侧。

习惯上称为正方向 证明. Green公式对多连通域同样成立。

此时，规定边界上的正方向为，沿边界走，区域在左侧。

则有 \[\oint_{\partialD}Pdx+Qdy=\iint\limits_D(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy})dxdy \] 在一定条件下，沿平面区域的边界的第二型曲线积分，可以转化成在这个区域上的二重积分 $D$的面积，可以写成 \[A=\iint_Ddxdy=\oint_Lxdy=\oint_L(-y)dx \] 这样，有 推论 1. 设$D$是满足Green公式的平面区域，则其面积$A$为 \[A=\oint_Lxdy=-\oint_Lydx=\frac12\oint_Lxdy-ydx \] 若$L$的参数方程为$x=x(t)$,$y=y(t)$,$t\in[\alpha,\beta]$，则 \[A=\frac12\left|{\int_{\alpha}^{\beta}[x(t)y'(t)-y(t)x'(t)]dt}\right| \] 例 4.$C$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$沿逆时针方向，求 \[\oint_C(x+y)dx+(x-y)dy \] 例 5.$C$为圆$x^2+y^2=a^2$沿逆时针方向，求 \[\oint_C\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2} \] 例 6. \[\oint_C\sqrt{x^2+y^2}dx+y(xy+\ln(x+\sqrt{x^2+y^2}))dy \] 11. 例 7.曲线$AmO$为点$A=(a,0)$到点$O=(0,0)$的上半圆周$x^2+y^2=ax$，求 \[\int_{AmO}(e^x\siny-my)dx+(e^x\cosy-m)dy \] 7. 例 8.求面积$A=\frac12\oint_cxdy-ydx$ (1)椭圆 \[\begin{cases} &x=a\cost\\ &y=b\sint \end{cases},t\in[0,2\pi] \] (2)星形线 \[\begin{cases} &x=a\cos^3t\\ &y=b\sin^3t \end{cases},t\in[0,2\pi] \] (3)双纽线$(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$ 11. 例 9.求外摆线（$m<1$为外圆与内圆的半径比）的一拱与对应的圆弧所围成的图形的面积 \[\begin{cases} x=a[(1+m)\cos(mt)-m\cos(1+m)t]\\ y=a[(1+m)\sin(mt)-m\sin(1+m)t] \end{cases} \] 例 10.求笛卡尔叶形线围成的面积 \[x^3+y^3=3axy \] 参数化，令$y=tx$，有 \[x=\frac{3at}{1+t^3},y=\frac{3at^2}{1+t^3} \] 目录 1. 第二型曲线积分与Green公式 1.1. 定向曲线 1.2. 第二型曲线积分 1.3. Green公式 1.4. 目录 例 例 11.本节读完 11. Lastslide verticalslide2