從推導一元二次方程的公式解看個性 - 線代啟示錄

本文列舉三種一元二次方程$latex ax^2+bx+c=0&fg=000000$，$latex a\neq 0&fg=000000$，公式解的推導方法。

原則上，我只簡要地描述推導過程， ... 線代啟示錄 Iseeknottoknowtheanswers,buttounderstandthequestions. Skiptocontent ←行列式之一元滅絕法 每週問題October29, 2012→ 從推導一元二次方程的公式解看個性 Postedon10/26/2012byccjou 本文列舉三種一元二次方程，，公式解的推導方法。

原則上，我只簡要地描述推導過程，並不加入個人評論。

讀者可以從中選出自己最喜愛的方法，之後再參閱文末對照各種推導法的個性分析。

  推導法A：等號兩邊同時除以，將常數移至等號右邊，接著使用配方法解出兩根公式，過程如下：   推導法B：等號兩邊同時乘以，將常數移至等號右邊，接著使用配方法解出兩根公式，過程如下：   推導法C：等號兩邊同時除以， 令和代表二根，就有 。

接著使用比較係數法解出兩根公式。

比較上面兩式的係數，可知 。

另計算 ， 開平方根，可得 。

使用和的表達式可解出 。

  下面的分析文字都是我從「xxx看個性」這類網站找到，再加以黏貼拼湊而成。

所以，請讀者不用過於在乎這些分析的準確度。

推導法A： 你有非凡的耐力和恆心，剛毅頑強，意志堅決。

做起事來穩重踏實，中規中矩，認真謹慎，一絲不苟。

有些時候過於守舊，不善變通，放任自己隨波逐流，在創新事物上缺乏足夠的競爭力。

推導法B： 你的個性灑脫，不受拘束，富時尚美感，喜歡節奏快速的生活。

工作時心思細密，神經敏銳，總能掌握最新訊息，走在時代尖端。

因為形象突出，難免顯得你高傲自戀，讓一般人難以親近。

推導法C： 你重視規矩，遵守原則，富責任感，尤其看重結果。

為了達到自己設定的目標，總會事前列出清單並盡一切辦法去完成。

有時過於強調最後結果，忽略中間過程，因而給人單調無趣，缺乏想像力的印象。

  至此欲罷不能，我還想繼續寫一篇「從看完『從推導一元二次方程的公式解看個性』後的情緒反應看個性」。

Sharethis:EmailPrintFacebookTwitterLikethis:LikeLoading... Thisentrywaspostedin隨筆雜談andtagged二次方程式.Bookmarkthepermalink. ←行列式之一元滅絕法 每週問題October29, 2012→ 10Responsesto從推導一元二次方程的公式解看個性 WattLinsays: 10/26/2012at7:59pm 當年在國中二年級，書本使用A方法，我從來沒想過B與C的方法。

看到周老師這樣寫，覺得很有趣！ Reply ccjousays: 10/26/2012at8:44pm 別管推導方法對應的個性分析，你比較喜歡哪一個方法？ Reply WattLinsays: 10/26/2012at9:57pm C的方法，我覺得很好，假如將來有人問我這一題，我會優先採用C法作解說。

若時間充裕，三種方法我都講。

目前，我兒子是國中一年級，等升上國二，看他的老師怎麼教？ 然後，我讓孩子參觀這個部落格，應該會得到很好的觀念啟發。

Reply WattLinsays: 10/26/2012at11:05pm 請問老師，有沒有方法D，在高斯平面繪圖， 標示兩個共軛虛根，或者兩個實根，或是重根情形。

若是圖解法可以算出答案，會很有趣。

我的學習歷程，只知道方法A求解， 畫圖，是等答案算好，才畫的，而非由圖去找答案。

也許，這種方法不存在，我只是猜猜而已。

Reply ccjousays: 10/27/2012at6:42am 等令公子升上國二，請他也圈選最喜歡的方法，或許可以在同學中進行這項調查。

我不知道是否還有D方法，但用繪圖法怕不成，因為我們想得到的是公式解，所以只能採用代數方法。

Reply WattLinsays: 10/27/2012at8:37pm 我試試在個人行事曆，提醒一年後，叫兒子看周教授的部落格。

希望能記得！ 繪圖法，不能用來求解，大概是因為a,b,c三數皆未知。

若a,b,c三數給定，解出兩根， 之後，才可在高斯平面畫出共軛複根，或者兩根皆為實數， 接著，複數加法很容易用「向量和」理解， 複數乘法，國中老師大概要耗費時間去講幾何意義，國中生不易聽懂， 高二程度，有可能懂，但是卻有點艱深，牽涉到直角座標轉換極座標。

我在民國73年進入高中，適逢國立編譯館全面採用新版教材， 前一屆學長的課本有談極座標，我這一屆則沒有極座標，也沒講arctan函數。

印象中，複數乘法的幾何意義，在當年高二時，同學們不太容易建立清晰的觀念。

Reply suehangsays: 06/07/2015at1:37pm 个人认为推导3实在是有些刻意,站在教学角度,推导2一般是对数学较敏感的学生做出的,因为乘4a的再配方的技巧性较强,一般学生想不到,要教会学生的一般是推导1,就是拆项配方的基本技巧. Reply 路人甲says: 03/06/2018at11:31pm 請問一下，有沒有人是用拉格朗日預解式推算（不過會這個的人還會回來算一元二次嗎） Reply eugenehuangsays: 07/29/2019at10:17am 因為在職專業應用上需求，正在努力找尋三度空間之內插數值射線解未果的中途，剛好路過此寶地，驚覺盡有令人如此驚豔的數學寶庫園地而不知，恨不相逢~~哈哈 因為再下國中對一元二次方程推導方法，也有特別自身感觸，所以就到此留筆一遊。

推導A，可以多學配方法，但太容易失去解題樂趣。

因為學習當下，無可用之處(除了應付無聊病態的考題)，所以變得無趣。

不是方法問題，是學習人尚未知專長應用之領域而無趣。

推導B、C，同乘4a或除以a(初學難以理解其含義)，適合給有冥想天份的人、歐拉、拉瑪奴金…之類吧。

整個討論下來，大家好像很期待有第4選擇?看看唄~ 最近在水管剛好看到另一種解法:(妈咪说MommyTalk) 方法大推，相見恨晚，但前提要會解聯立~~這有點可惜了! 就當老小弟野人獻曝吧! aX^2+bX+c=0 X^2+(b/a)X+(c/a)=0 set兩根為x1、x2 x1+x2=-b/a…二根之合，#方程式一 x1*x2=c/a….二根之積 試想(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2…….(or冥想哈!!!) &代入=>(x1-x2)^2=(b/a)^2-4(c/a) (x1-x2)^2=(b^2-4ac)/a^2…. 開平方=>x1-x2=(+-)[(b^2-4ac)/a^2]^(1/2)….#方程式二 解聯立#方程式一方程式二 +=>2×1=-b/a+-[(b^2-4ac)/a^2]^(1/2) =>x1=-[-b+-(b^2-4ac)^(1/2)]/(2*a) 供參考之 祝萬事如意 Reply eugenehuangsays: 07/29/2019at10:24am 以上因無法編輯，最後一行多了-號，更正如下x1=[-b+-(b^2-4ac)^(1/2)]/(2*a) Reply LeaveaReplyCancelreply Enteryourcommenthere... Fillinyourdetailsbeloworclickanicontologin: Email(required)(Addressnevermadepublic) Name(required) Website YouarecommentingusingyourWordPress.comaccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourTwitteraccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourFacebookaccount. ( Log Out /  Change ) Cancel Connectingto%s Notifymeofnewcommentsviaemail.Notifymeofnewpostsviaemail. Δ 搜尋(繁體中文或英文) Searchfor: 訊息看板 近期文章 每週問題June26, 2017 每週問題June19, 2017 每週問題June12, 2017 每週問題June5, 2017 每週問題May29, 2017 線性代數專欄其他主題專欄每週問題數據充分性問題其他分類RecentComments ZhuoyuHeon分塊矩陣的行列式ungaon奇異值分解的幾何意義tobinwangon特殊矩陣(6)：正定矩陣TerminologyofRecom…on內積的定義陳宗為on動差生成函數(上)陳宗為on動差生成函數(上) 近期最多人點閱三階逆矩陣公式奇異值分解(SVD)分塊矩陣的行列式內積的定義如何學好線性代數？線性代數基本定理(一)LU分解線性代數的核心問題高斯消去法Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件分類分類 SelectCategory 無關線代  (23) 特別主題  (20) 答讀者問  (49) 網友分享  (2) 線性代數專欄  (426)    特徵分析  (76)    特殊矩陣  (23)    線性變換  (33)    線性方程  (30)    行列式  (32)    證明細解  (4)    內積空間  (28)    典型形式  (27)    向量空間  (47)    應用之道  (42)    數值線性代數  (29)    二次型  (42)    仿射幾何  (11) 隨筆雜談  (18) 試閱  (2) 周老師時間  (16) 問題回報  (24) 圖論  (12) 布告欄  (22) 希爾伯特空間  (4) 數據充分性問題  (3)    DSQ特徵分析  (1)    DSQ向量空間  (2) 機率統計  (21) 機器學習  (8) 每週問題  (435)    pow特徵分析  (87)    pow線性變換  (23)    pow線性方程與矩陣代數  (56)    pow行列式  (55)    pow內積空間  (57)    pow典型形式  (9)    pow向量空間  (75)    pow二次型  (73) Archives Archives SelectMonth June2017 (4) May2017 (5) April2017 (4) March2017 (4) February2017 (6) January2017 (11) December2016 (5) November2016 (5) October2016 (5) September2016 (4) August2016 (5) July2016 (4) June2016 (4) May2016 (10) April2016 (6) March2016 (10) February2016 (11) January2016 (7) December2015 (11) November2015 (9) October2015 (8) September2015 (11) August2015 (14) July2015 (8) June2015 (11) May2015 (5) April2015 (5) March2015 (6) February2015 (4) January2015 (7) December2014 (9) November2014 (5) October2014 (4) September2014 (5) August2014 (5) July2014 (5) June2014 (11) May2014 (10) April2014 (12) March2014 (14) February2014 (15) January2014 (10) December2013 (16) November2013 (14) October2013 (19) September2013 (15) August2013 (13) July2013 (13) June2013 (18) May2013 (16) April2013 (14) March2013 (6) February2013 (8) January2013 (13) December2012 (16) November2012 (18) October2012 (17) September2012 (10) August2012 (8) July2012 (10) June2012 (15) May2012 (12) April2012 (12) March2012 (11) February2012 (10) January2012 (7) December2011 (5) November2011 (4) October2011 (6) September2011 (5) August2011 (5) July2011 (8) June2011 (13) May2011 (14) April2011 (11) March2011 (11) February2011 (10) January2011 (12) December2010 (12) November2010 (13) October2010 (8) September2010 (11) August2010 (15) July2010 (7) June2010 (13) May2010 (12) April2010 (12) March2010 (14) February2010 (14) January2010 (12) December2009 (12) November2009 (14) October2009 (10) September2009 (13) August2009 (14) July2009 (12) June2009 (12) May2009 (12) April2009 (15) March2009 (39) 標籤雲 Cayley-Hamilton定理 Frobenius範數 Gram-Schmidt正交化 Gramian矩陣 Hermitian矩陣 Householder矩陣 Jordan典型形式 LU分解 QR分解 Schur定理 SVD Vandermonde矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數重數 伴隨矩陣 內積 冪矩陣 冪等矩陣 冪零矩陣 分塊矩陣 列空間 半正定矩陣 反對稱矩陣 可交換矩陣 可逆矩陣 向量空間 圖論 基底 基本列運算 奇異值 奇異值分解 實對稱矩陣 對角化 座標變換 微分方程 投影矩陣 排列矩陣 旋轉矩陣 最小多項式 最小平方法 正交性 正交投影 正交矩陣 正交補餘 正定矩陣 正規矩陣 特徵值 特徵向量 特徵多項式 特殊矩陣 相伴矩陣 相似 矩陣乘法 矩陣多項式 矩陣指數 矩陣範數 矩陣譜 秩 秩─零度定理 簡約列梯形式 組合數學 線性獨立 線性變換 線性變換表示矩陣 行列式 行空間 譜分解 跡數 逆矩陣 通解 零空間 高斯消去法 線代線上影音課程 Essenceoflinearalgebra(3Blue1Brown) KhanAcademy(SalmanKhan) MITOCW(GilbertStrang) 國立台灣大學OCW(蘇柏青) 國立清華大學OCW(趙啟超) 國立交通大學OCW(莊重) 國立交通大學OCW(巫木誠) 線代學習網站 用maxima學數值分析─特徵值和特徵向量 FreeOnlineBooks MathInsight MITOCW Wikibooks:LinearAlgebra WolframDemonstrationProject 線代電子書 AFirstCourseinLinearAlgebra(RobertA.Beezer) FundamentalsofLinearAlgebra(JamesB.Carrell) LinearAlgebra(JimHefferon) LinearAlgebraDoneWrong(SergeiTreil) LinearAlgebraProblems(JerryL.Kazdan) LinearAlgebraviaExteriorProducts(SergeiWinitzki) LinearAlgebra,TheoryandApplications(KennethKuttler) MatrixAnalysisandAppliedLinearAlgebra(CarlD.Meyer) NotesonLinearAlgebra(PeterJ.Cameron) 矩陣計算器 JordanFormCalculator MatrixCalculator OnlineMatrixCalculator LaTeX OnlineLaTeXEquationEditor Wikibooks:LaTeX Blogroll 陰暗的小角落 MarkChang'sBlog 尼斯的靈魂 微積分福音 訂閱 請輸入您的email，當有新文章發表時，您將會收到通知。

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