李群- 維基百科，自由的百科全書

李群（英語：Lie group，/ˈliː/）是一個數學概念，指具有群結構的光滑微分流形，其群作用與微分結構相容。

李群的名字源於挪威數學家索菲斯·李的姓氏，以其為連續變換群 ... 李群 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 此條目序言章節沒有充分總結其內容要點。

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李群 古典群 一般線性群GL(n)特殊線性群SL(n)正交群O(n)特殊正交群SO(n)么正群U(n)特殊么正群SU(n)辛群Sp(n) 單純李氏群 單純李氏群列表（英語：ListofsimpleLiegroups） 無限單純李氏群：An,Bn,Cn,Dn,特殊單純李氏群G2（英語：G2(mathematics)）F4 E6E7 E8（英語：E8(mathematics)） 其他李群（英語：TableofLiegroups） 圓群循環群勞侖茲群龐加萊群共形群（英語：Conformalgroup）微分同胚群圈群（英語：Loopgroup） 李代數 指數映射李群的伴隨表示基靈型李點對稱 半單純李氏群代數 丹金圖（英語：Dynkindiagram）嘉當子代數根系實形式(群論)（英語：Realform(Lietheory)）復化分裂李代數緊李代數 群表示論 李群表示李代數表示（英語：Liealgebrarepresentation） 物理中的李群 粒子物理學與群表示論（英語：Particlephysicsandrepresentationtheory）洛侖茲群的群表示論（英語：RepresentationtheoryoftheLorentzgroup）龐加萊群的群表示論（英語：RepresentationtheoryofthePoincarégroup）伽利略群的群表示論（英語：RepresentationtheoryoftheGalileangroup） 科學家 索菲斯·李 ·龐加萊 ·威廉·基靈 ·埃利·嘉當 ·赫爾曼·外爾 閱論編 群論 群 基本概念 子群 ·正規子群 ·商群 ·群同態 ·像 ·(半)直積 ·直和單純群 ·有限群 ·無限群 ·拓撲群 ·群概形 ·循環群 ·冪零群 ·可解群 ·圈積 離散群 有限單純群分類循環群Zn交錯群An散在群馬蒂厄群M11..12,M22..24康威群Co1..3揚科群J1..4費歇爾群F22..24子怪獸群B怪獸群M 其他有限群 對稱群,Sn 二面體群,Dn 無限群 整數,Z 模群,PSL(2,Z)和SL(2,Z) 連續群 李群一般線性群GL(n)特殊線性群SL(n)正交群O(n)特殊正交群SO(n)么正群U(n)特殊么正群SU(n)辛群Sp(n) G2F4 E6E7 E8 勞侖茲群龐加萊群 無限維群 共形群微分同胚群 環路群 量子群O(∞)SU(∞)Sp(∞) 代數群 橢圓曲線線性代數群（英語：Linearalgebraicgroup）阿貝爾簇（英語：Abelianvariety） 閱論編 李群（英語：Liegroup，/ˈliː/）是一個數學概念，指具有群結構的光滑微分流形，其群作用與微分結構相容。

李群的名字源於挪威數學家索菲斯·李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。

1893年，法文名詞groupesdeLie首次出現在李的學生ArthurTresse的論文第三頁中。

[1] 粗略地說，李群是連續的群，也即其元素可由幾個實參數描述。

因此，李群為連續對稱性的概念提供了一個自然的模型，例如三維旋轉對稱性。

李群被廣泛應用於現代數學和物理學。

索菲斯·李引入李群的最初動機是為微分方程式的連續對稱性建模，就像有限群被用於伽羅瓦理論對代數方程式的離散對稱性建模一樣。

目次 1總覽 2定義與樣例 2.1初步的樣例 2.2反例 2.3矩陣李群 2.4相關概念 3更多李群的樣例 3.1一維李群 3.2二維李群 4解析李群與光滑李群 5同態和同構 6李代數 7李群對應李代數 8指數映射 9一般體上的李群 10參考條目 11參考文獻 11.1引用 11.2來源 總覽[編輯] 絕對值為1的複數集（對應於複數平面上圓心在原點、半徑為1的單位圓）是一個在複數乘法下的李群，稱為圓群。

李群是光滑可微流形，因而可以用微分學來研究，這點與更一般的拓撲群不同。

李群理論中的關鍵是替換掉「全局」的物件，也即群本身，而代之以其「局部」或線性化的版本。

這個局部版本被索菲斯·李本人稱為該李群的「無窮小群」，而後來以「李代數」為人熟知。

李群在現代幾何學中在多個層面扮演了重要的角色。

費利克斯·克萊因在他的愛爾蘭根綱領中認為，可以通過選定適當的保持某種幾何性質不變的轉換群來考察各種「幾何」。

例如，歐氏幾何對應於歐式空間R3中保距轉換構成的歐幾里得群E(3)；共形幾何對應於把群擴大到共形群；而在射影幾何中引起人們興趣的是射影群的不變屬性。

這個觀念後來發展為G-結構的概念，其中G是流形"局部"對稱性形成的李群。

李群（以及與之關聯的李代數）在現代物理學中起到了重要作用，並通常扮演了物理系統中的對稱性。

這裡，李群表示或相應的李代數表示尤為重要。

表示理論在粒子物理中被頻繁使用。

一些具有較為重要的表示的群包括旋轉群SO(3)（或其雙覆蓋特殊么正群SU(2))，特殊么正群SU(3)以及龐加萊群。

定義與樣例[編輯] G {\displaystyleG} 為有限維實解析流形 兩個解析映射，二元運算 G × G → G {\displaystyleG\times{}G\rightarrow{}G} ，和逆映射 G → G {\displaystyleG\rightarrow{}G} 滿足群公理，從而具有群結構。

實李群是一個滿足下列條件的群：它也是一個有限維實光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。

群乘法的光滑性 μ : G × G → G μ ( x , y ) = x y {\displaystyle\mu:G\timesG\toG\quad\mu(x,y)=xy} 意味著 μ {\displaystyle\mu} 是一個從積流形 G × G {\displaystyleG\timesG} 到 G {\displaystyleG} 的光滑映射。

這兩個條件可以合併成一條，即映射 ( x , y ) ↦ x − 1 y {\displaystyle(x,y)\mapstox^{-1}y} 是一個從積流形 G × G {\displaystyleG\timesG} 到 G {\displaystyleG} 的光滑映射。

初步的樣例[編輯] 2 × 2 {\displaystyle2\times2} 實可逆矩陣構成了一個乘法群，記作 G L ( 2 , R ) {\displaystyleGL(2,\mathbb{R})} 或 G L 2 ( R ) {\displaystyleGL_{2}(\mathbb{R})} : GL ⁡ ( 2 , R ) = { A = ( a b c d ) : det A = a d − b c ≠ 0 } . {\displaystyle\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\detA=ad-bc\neq0\right\}.} 這是一個非緊緻的四維實李群；它是 R 4 {\displaystyle\mathbb{\mathbb{R}}^{4}} 的一個開子集。

這個群是非連通的；它有兩個連通分量，對應於行列式的正負兩種情況。

旋轉矩陣構成了 G L ( 2 , R ) {\displaystyleGL(2,\mathbf{R})} 的一個子群，記為 S O ( 2 , R ) {\displaystyleSO(2,\mathbf{R})} 。

它自己本身也是一個李群：具體地說，它是一個與圓微分同胚的一維緊緻連通李群。

使用旋轉角 φ {\displaystyle\varphi} 作為參數，這個群可以被參數化為如下形式： SO ⁡ ( 2 , R ) = { ( cos ⁡ φ − sin ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ φ ) : φ ∈ R / 2 π Z } . {\displaystyle\operatorname{SO}(2,\mathbf{R})=\left\{{\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}}:\varphi\in\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z}\right\}.} 其中，角度的加法對應於 S O ( 2 , R ) {\displaystyleSO(2,\mathbf{R})} 中元素的乘法，角度的相反數對應於反元素。

因此，乘法和求逆操作也都是可微映射。

一維仿射群是一類二維上三角陣組成的李群，其中第一個對角線上的元素為正，第二個對角線上的元素為1。

因此，該群包含了如下形式的矩陣： A = ( a b 0 1 ) , a > 0 , b ∈ R . {\displaystyleA=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quada>0,\,b\in\mathbb{R}.} 反例[編輯] 現在我們給出一個群的例子，它擁有不可數的元素，並且在某種拓撲下不是李群。

我們給定如下群： H = { ( e 2 π i θ 0 0 e 2 π i a θ ) | θ ∈ R } ⊂ T 2 = { ( e 2 π i θ 0 0 e 2 π i ϕ ) | θ , ϕ ∈ R } , {\displaystyleH=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pii\theta}&0\\0&e^{2\piia\theta}\end{matrix}}\right)\right|\theta\in\mathbb{R}\right\}\subset\mathbb{T}^{2}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pii\theta}&0\\0&e^{2\pii\phi}\end{matrix}}\right)\right|\theta,\phi\in\mathbb{R}\right\},} 其中 a ∈ P = R ∖ Q {\displaystylea\in\mathbb{P}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}} 是一個固定的無理數。

這是一個環面 T 2 {\displaystyle\mathbb{T}^{2}} 的子群，它在子空間拓撲下不是李群。

[2]比如說，如果我們取 H {\displaystyleH} 中的一個點 h {\displaystyleh} 的任意小鄰體 U {\displaystyleU} ，那麼 H {\displaystyleH} 在 U {\displaystyleU} 中的部分是不連通的。

群 H {\displaystyleH} 在環面上反覆纏繞，形成了一個 T 2 {\displaystyle\mathbb{T}^{2}} 的稠密子群。

另一方面，我們可以給群 H {\displaystyleH} 指定另一個拓撲，使得兩點 h 1 , h 2 ∈ H {\displaystyleh_{1},h_{2}\inH} 之間的距離被定義為群H中連結 h 1 {\displaystyleh_{1}} 和 h 2 {\displaystyleh_{2}} 的最短路徑長度。

在這個拓撲下， H {\displaystyleH} 通過其元素中對應的 θ {\displaystyle\theta} 與實直線同胚。

在這種拓撲下， H {\displaystyleH} 僅僅是加法意義下的實數群，因此也是李群。

群 H {\displaystyleH} 是李群的一個非閉"李子群"的樣例。

可參見下面基本概念部分關於李子群的討論。

矩陣李群[編輯] 用GL(n;C)表示複數體上的n×n可逆矩陣。

GL(n,C)的任何閉子群也是一個李群[3]；這類李群被稱為矩陣李群。

由於李群中大多數有趣的例子都可以用矩陣李群實現，一些教科書把注意力限制在這類李群上，包括Hall[4]以及Rossmann[5]等，這樣可以簡化李代數和指數映射的定義。

下面是一些矩陣李群的標準樣例： 定義在R和C上的特殊線性群SL(n,R)和SL(n,C)，分別包括了元素屬於R或C的、行列式為1的n×n矩陣。

么正群U(n)（以及特殊么正群SU(n)）,包含了滿足 U ∗ = U − 1 {\displaystyleU^{*}=U^{-1}} （對於特殊么正群而言，還需滿足 d e t ( U ) = 1 {\displaystyle\mathrm{det}(U)=1} ）的n×n複矩陣。

正交群O(n)（以及特殊正交群SO(n)），包含了滿足 R T = R − 1 {\displaystyleR^{\mathrm{T}}=R^{-1}} （對於特殊正交群而言，還需滿足 d e t ( R ) = 1 {\displaystyle\mathrm{det}(R)=1} ）的n×n實矩陣。

以上列舉的群均為經典群。

相關概念[編輯] 與實李群相對應，復李群是在複流形上定義的（例如SL(2,C)）。

類似地，使用一種Q的度量完備化我們可以在p-進數上定義p-進數李群，一種滿足每個點都有一個p-進數鄰體的拓撲群。

更多李群的樣例[編輯] 參見：李群列表和簡單純李氏群列表 李群經常出現在數學和物理學中。

矩陣群或代數群（大部分情況下）是由矩陣構成的群（例如正交群和辛群），而這些也是李群最常見的例子。

一維李群[編輯] 一維情況下唯二的連通李群是實直線 R {\displaystyle\mathbb{R}} （其群操作為加法）和由絕對值為1的複數組成的圓群 S 1 {\displaystyleS^{1}} （其群操作為乘法）。

S 1 {\displaystyleS^{1}} 也常被記作 U ( 1 ) {\displaystyleU(1)} ，即 1 × 1 {\displaystyle1\times1} 么正群。

二維李群[編輯] 在二維情況下，如果我們只考慮簡單連通群，那麼可以通過它們的李代數來分類。

若把同構的情況歸為一類，那麼此時只存在兩種李代數。

與這兩種李代數關聯的簡單連通李群分別是 R 2 {\displaystyle\mathbb{R}^{2}} （其群操作為向量加法）以及一維仿射群（在前面的小節"初步的樣例"中有介紹）。

解析李群與光滑李群[編輯] 部份書籍在定義李群時假設了解析性，本條目採相同定義。

另一種進路則是定義李群為實光滑（簡記為 C ∞ {\displaystyleC^{\infty}} ）流形，並具有光滑的群二元運算與反元素運算。

解析條件看似較強，實則兩者等價： 定理.任意 C ∞ {\displaystyleC^{\infty}} 李群上具有唯一的實解析流形結構，使得群二元運算及反元素運算皆為解析映射。

此時指數映射亦為解析映射。

同態和同構[編輯] G , H {\displaystyleG,H} 均為李群，二者之間的一個同態： f : G → H {\displaystylef\,:G\rightarrowH} 為群同態並且是解析映射（事實上，可以證明這裡解析的條件只需滿足連續即可）。

顯然，兩個同態的複合是同態。

所有李群的類加上同態構成一個範疇。

兩個李群之間存在一個對射，這個對射及其逆射均為同態，就稱之為同構。

李代數[編輯] 李代數刻劃了李群在單位元素附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

設 G {\displaystyleG} 為李群，其李代數 g {\displaystyle{\mathfrak{g}}} 定義為 G {\displaystyleG} 在單位元素的切空間。

g {\displaystyle{\mathfrak{g}}} 自然具備了矢量空間結構， g {\displaystyle{\mathfrak{g}}} 上的李括積 [ , ] : g × g → g {\displaystyle[,]:{\mathfrak{g}}\times{\mathfrak{g}}\to{\mathfrak{g}}} 定義如下： 定義 G {\displaystyleG} 對自身的伴隨作用為 A d ( x ) ( y ) := x y x − 1 {\displaystyle\mathrm{Ad}(x)(y):=xyx^{-1}} ， x , y ∈ G {\displaystylex,y\inG} 。

取Ad對變元 y ∈ G {\displaystyley\inG} 在單位元素上的微分，得到李代數上的伴隨作用，通常記為 A d ( x ) ( Y ) = x Y x − 1 {\displaystyle\mathrm{Ad}(x)(Y)=xYx^{-1}} ， x ∈ G , Y ∈ g {\displaystylex\inG,Y\in{\mathfrak{g}}} 。

再對變元 x ∈ G {\displaystylex\inG} 微分，得到映射 a d : g × g → g {\displaystyle\mathrm{ad}:{\mathfrak{g}}\times{\mathfrak{g}}\to{\mathfrak{g}}} 。

定義李括積為 [ X , Y ] := a d ( X ) ( Y ) {\displaystyle[X,Y]:=\mathrm{ad}(X)(Y)} 。

不難驗證 [ , ] {\displaystyle[,]} 滿足李代數的抽象定義。

李括積蘊含了群乘法的無窮小性質，例如：連通李群 G {\displaystyleG} 是交換群若且唯若 g {\displaystyle{\mathfrak{g}}} 是交換李代數。

李括積也可以用左不變矢量場及泊松括號定義，或者取定局部坐標，用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。

李群對應李代數[編輯] 若 G {\displaystyleG} 是李群， H ⊂ G {\displaystyleH\subsetG} 是其子群，並帶有李群結構，使得包含映射 H → G {\displaystyleH\toG} 為浸入（不一定是閉的），則可得到子李代數 h ⊂ g {\displaystyle{\mathfrak{h}}\subset{\mathfrak{g}}} 。

反之，任意子李代數 h {\displaystyle{\mathfrak{h}}} 透過左平移定義了 G {\displaystyleG} 上的葉狀結構，取含單位元素的極大積分流形，便得到滿足前述條件的子群 H ⊂ G {\displaystyleH\subsetG} 。

此子群未必是閉子群，它可能是 G {\displaystyleG} 的稠密子集（考慮環面的例子）。

李代數的映射 g 1 → g 2 {\displaystyle{\mathfrak{g}}_{1}\to{\mathfrak{g}}_{2}} 未必能提昇至李群的映射 G 1 → G 2 {\displaystyleG_{1}\toG_{2}} ，但可提昇至映射 G ~ 1 → G 2 {\displaystyle{\tilde{G}}_{1}\toG_{2}} ，其中 G ~ 1 {\displaystyle{\tilde{G}}_{1}} 是 G 1 {\displaystyleG_{1}} 的萬有覆疊空間。

指數映射[編輯] 對於任意矢量 X → g {\displaystyleX\to{\mathfrak{g}}} ，根據常微分方程式的基本理論，存在 G {\displaystyleG} 中的單參數子群 c X ( t ) , c X ( 0 ) = e {\displaystylec_{X}(t),c_{X}(0)=e} 使得 c X ′ ( t ) = c X ( t ) ⋅ X {\displaystylec_{X}'(t)=c_{X}(t)\cdotX} 。

由此得到的映射 e x p : g → G {\displaystyle\mathrm{exp}:{\mathfrak{g}}\toG} X ↦ c X ( 1 ) {\displaystyleX\mapstoc_{X}(1)} 稱為指數映射。

它總是解析映射。

若 G {\displaystyleG} 為 G L ( n ) {\displaystyle\mathrm{GL}(n)} 的子群，則 e x p ( X ) = ∑ i = 0 ∞ X i i ! {\displaystyle\mathrm{exp}(X)=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{X^{i}}{i!}}} ，這是指數映射一詞的緣由。

當 G {\displaystyleG} 連通且非交換時，指數映射 g → G {\displaystyle{\mathfrak{g}}\toG} 並非同態；局部上， e x p ( X ) e x p ( Y ) {\displaystyle\mathrm{exp}(X)\mathrm{exp}(Y)} 可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。

一般體上的李群[編輯] 在任意體、環乃至於概形上，都可以定義群概形；這是概形範疇中的群對象。

群概形具有深刻的幾何與數論意義，然而李群未必是代數簇。

另一方面，若體 F {\displaystyleF} 對某個絕對值是完備體，其特徵為零，則可照搬解析李群的定義以定義體 F {\displaystyleF} 上的李群、李代數與指數映射。

較常見的例子是 F = C {\displaystyleF=\mathbb{C}} ；至於數論方面，特別涉及自守表示的研究上，則須用到 F {\displaystyleF} 為p進數體的情形。

參考條目[編輯] 李型群 參考文獻[編輯] 引用[編輯] ^ArthurTresse.Surlesinvariantsdifférentielsdesgroupescontinusdetransformations.ActaMathematica.1893,18:1–88.doi:10.1007/bf02418270.  ^Rossmann2001，Chapter2.harvnberror:notarget:CITEREFRossmann2001(help) ^Hall2015harvnberror:notarget:CITEREFHall2015(help)Corollary3.45 ^Hall2015harvnberror:notarget:CITEREFHall2015(help) ^Rossmann2001harvnberror:notarget:CITEREFRossmann2001(help) 來源[編輯] D.MontgomeryandL.Zippin,TopologicalTransformationGroups(1955),Interscience. AnthonyW.Knapp,LieGroupsBeyondanIntroduction(2004),Birkhäuser.ISBN0817642595. Jean-PierreSerre,LiealgebrasandLiegroups(2005),LectureNotesinMathematics1500,Springer-Verlag.ISBN3540550089. 閱論編抽象代數相關主題代數結構 ·群 ·環 ·體 ·有限體 ·本原元 ·格 ·反元素 ·等價關係 ·代數中心 ·同態 ·同構 ·商結構（商系統） ·同構基本定理 ·合成列 ·自由對象群論群么半群 ·半群 ·阿貝爾群 ·非阿貝爾群 ·循環群 ·有限群 ·單純群 ·半單純群 ·古典群 ·自由群 ·交換子群（交換子） ·冪零群 ·可解群 ·p-群 ·對稱群 ·李群 ·伽羅瓦群子群陪集 ·雙陪集 ·商群 ·共軛類 ·拉格朗日定理 ·西羅定理 ·正規子群 ·群中心 ·中心化子和正規化子 ·穩定子群 ·置換群其他階 ·群擴張 ·群同態 ·群同構 ·群表示 ·群作用 ·波利亞計數定理 ·有限生成阿貝爾群環論環子環 ·整環 ·除環 ·多項式環 ·質環 ·商環 ·諾特環 ·局部環 ·賦值環 ·環代數 ·理想 ·主理想環 ·唯一分解整環 ·群環模深度 ·單模 ·自由模 ·平坦模 ·阿廷模 ·諾特模其他冪零元素 ·特徵 ·完備化 ·環的局部化體論體有限體 ·原根 ·代數閉體 ·局部體 ·分裂體 ·分式環體擴張單擴張 ·有限擴張 ·超越擴張 ·代數擴張 ·正規擴張 ·可分擴張 ·伽羅瓦擴張 ·阿貝爾擴張 ·伽羅瓦理論基本定理 規範控制 BNE:XX535210 BNF:cb11946908c(data) FAST:998135 GND:4035695-4 LCCN:sh85076786 NDL:00567368 SUDOC:02742474X 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=李群&oldid=67746484」 分類：​李群流形隱藏分類：​含有哈佛參考文獻格式系列模板連結指向錯誤的頁面自2015年3月導言部分過短的條目含有英語的條目包含BNE標識符的維基百科條目包含BNF標識符的維基百科條目包含FAST標識符的維基百科條目包含GND標識符的維基百科條目包含LCCN標識符的維基百科條目包含NDL標識符的維基百科條目包含SUDOC標識符的維基百科條目使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةБеларускаяCatalàČeštinaDanskDeutschEnglishEsperantoEspañolفارسیSuomiFrançaisעבריתInterlinguaBahasaIndonesiaItaliano日本語한국어NederlandsNorskbokmålਪੰਜਾਬੀPolskiPortuguêsRomânăРусскийSlovenčinaSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaTürkçeУкраїнськаTiếngViệt粵語 編輯連結