相似三角形定理 - 数学乐

三角形ABC 和BDF 有相等的角，所以是相似三角形（为什么？去相似三角形的判定看AA 的部分。

） ... 我们可以用求非直角三角形的面积页面里的公式来求面积. 相似三角形定理 一、平行线截比例线段定理 设ADE为任何三角形，而线段BC平行于DE，则AB/BD=AC/CE 要证明这个定理，画线段BF平行于AE来形成平行四边形BCEF： 三角形ABC和BDF有相等的角，所以是相似三角形（为什么？去相似三角形的判定看AA的部分。

） 边AB对应边BD，边AC对应边BF。

所以AB/BD=AC/BF 而且BF=CE 所以AB/BD=AC/CE 角平分线定理 设ABC为任何三角形，而AD平分角BAC，则AB/BD=AC/DC 要证明这个定理，可以这样标记三角形： 角BAD=角DAC=x° 角ADB=y° 角ADC=(180-y)° 在三角形ABD上运用正弦定理： sinx°/BD=siny°/AB 所以AB×sinx°=BD×siny° 所以： AB/BD=siny°/sinx° 在三角形ACD上运用正弦定理： sinx°/DC=sin(180-y)°/AC 所以AC×sinx°=DC×sin(180-y)° 所以AC/DC=sin(180-y)°/sinx° 因为sin(180-y)°=siny° 所以： AC/DC=siny°/sinx° 把AC/DC=siny°/sinx°与AB/BD=siny°/sinx°拼合： AC/DC=siny°/sinx°=AB/BD 所以AB/BD=AC/DC 如果三角形ABC是等腰三角形，三角形ABD和ACD便是全等三角形， 结果是一样的：AB/BD=AC/DC 三、面积与相似 若相似三角形的边比例是x：y， 则它们的面积比例是x2：y2 例子： 这两个相似三角形的边比例是2：1（一个三角形的边是另一个的两个倍）： 那么它们的面积呢？ 如果我们多画三条线，答案就浅而易见： 我们可以看到可以有四个小三角形放在大三角形里。

因此，如果长度是两倍，面积便是四倍 面积的比是4：1 4：1也可以写成22：1 一般情况： 三角形ABC和PQR是相似的，它们的边比例是x：y 我们可以用求非直角三角形的面积页面里的公式来求面积 ABC的面积=½bcsinA PQR的面积=½qrsinP 三角形长度的比是x：y q/b=y/x，所以q=by/x r/c=y/x，所以r=cy/x 因为是相似三角形，所以角A和P相等： A=P 现在来计算： 三角形PQR的面积：   ½qrsinP       代入"q=by/x"、"r=cy/x"、"P=A":   ½(by/x)(cy/x)sinA       拼合(by/x)和(cy/x)：   ½(bycy/xx)sinA 简化：   ½(bcy2/x2)sinA 重排：   y2/x2×½(bc)sinA       就是：   y2/x2×三角形ABC的面积 重排后得到的比例是： 三角形ABC的面积：三角形PQR的面积=x2：y2     相似 相似三角形 相似三角形的判定 全等 全等三角形 比例中项三角索引 版权所有©2017MathsIsFun.com