弧长（微积分） - 数学乐

用微积分来求曲线的长度。

（请先去阅读关于导数 和积分 的内容） ... 弧长曲线. 我们可以把曲线切成小段，然后用两点之间的距离 的公式来求一个近似值。

弧长 用微积分来求曲线的长度。

（请先去阅读关于导数 和积分的内容） 想象我们需要知道一条曲线上两点之间的距离，而这曲线是平滑的（导数是连续的）。

我们可以把曲线切成小段，然后用两点之间的距离的公式来求一个近似值。

从x0到x1： S1=√(x1−x0)²+(y1−y0)² 我们用 Δ（delta）来代表值的差，所以： S1=√(Δx1)²+(Δy1)² 我们需要很多这样的长度： S2=√(Δx2)²+(Δy2)² S3=√(Δx3)²+(Δy3)² ………… Sn=√(Δxn)²+(Δyn)² 我们可以用总和的记法把全部的方程写在一个式子里： S≈ n Σ i=1 √(Δxi)²+(Δyi)² 可是，我们还是要做很多计算！ 我们可以用一个很大的电子表格或者写一个计算机程序来做……不过在这里我们用另一个方法。

一个巧妙的方法： 让所有的Δxi都是一样长，那么我们便可以把它们从平方根里拿出来， 把总和变成一个积分。

来，开始： 首先，用Δyi除以和乘以Δxi： S≈ n Σ i=1 √(Δxi)²+(Δxi)²(Δyi/Δxi)² 分解出(Δxi)²： S≈ n Σ i=1 √(Δxi)²(1+(Δyi/Δxi)²) 把(Δxi)²从平方根里拿出来： S≈ n Σ i=1 √1+(Δyi/Δxi)² Δxi 当n趋向无穷大时（趋向无穷多的线段，每段越来越小），总和变成： S= lim n→∞ n Σ i=1 √1+(Δyi/Δxi)² Δxi 这是一个积分 ，我们用dx来代表Δx的长度趋向零（dy也一样）： S=   b ∫ a √1+(dy/dx)²dx dy/dx是函数f(x)的导数，可以写成f’(x)： S=   b ∫ a √1+(f’(x))²dx 弧长公式 我们不但不用计算和相加很多小线段的长度，我们还可以得到一个绝对准确的答案（假设我们可以求公式里的微分和积分）。

注意：这个积分也适用于变量是y的函数，x=g(y)： S=   d ∫ c √1+(g’(y))²dy 所以步骤是： 求f’(x)的导数 解√1+(f’(x))²dx的积分 先看一些简单的例子： 例子：求f(x)=2在x=2和x=3之间的距离 f(x)是条水平线，所以导数是f’(x)=0 开始：   S=   3 ∫  2 √1+(f’(x))²dx 代入f’(x)=0：   S=   3 ∫  2 √1+(0)²dx 简化：   S=   3 ∫  2 dx 求积分：   S=(3-2)=1 所以2和3之间的弧长是1。

答案其实一眼就可以看出来，不过我们至少知道用弧长公式也可以得到正确的答案！ 有趣的是：弧长公式里的"(1+...)"部分使得答案至少是x坐标之间的距离，当f’(x)等于零时（如上）便是一个例子。

例子：求f(x)=x在x=2和x=3之间的长度 导数：f’(x)=1 开始：:   S=   3 ∫  2 √1+(f’(x))²dx 代入f’(x)=1：:   S=   3 ∫  2 √1+(1)²dx 简化：   S=   3 ∫  2 √2dx 再简化：   S=√2   3 ∫  2 dx 求积分：   S=√2(3-2)=√2 单位正方形对角线的长度是2的平方根，对不对？ 好，现在来看一些困难但实用的例子： 例子：在峡谷上空每隔6米放一根金属杆。

求形状如以下曲线的索桥的长度： f(x)=5cosh(x/5) 曲线的图如下： 我们先来解一般情况！ 悬挂的链的形状是一条叫悬链线的曲线： f(x)=acosh(x/a) a的值越大，线中间下垂越小 "cosh"是双曲余弦函数。

导数是：f’(x)=sinh(x/a) 曲线是对称的，所以只用悬链线从中间到端点"b"的半条来做运算会比较容易： 开始：   S=   b ∫  0 √1+(f’(x))²dx 代入f’(x)=sinh(x/a)：   S=   b ∫  0 √1+sinh²(x/a)dx 用这个恒等式  1+sinh²(x/a)=cosh²(x/a)：   S=   b ∫  0 √cosh²(x/a)dx 简化：   S=   b ∫  0 cosh(x/a)dx 求积分：   S=asinh(b/a) 因为有对称，我们只算了线的一半，整条线是从−b到+b： S=2asinh(b/a) 在现在的具体情况中，a=5并且从−3到+3是6米的距离 S=2×5sinh(3/5) =6.367米（精确到最近的毫米） 这个很重要！如果金属杆之间的链的长度是刚好6米，我们便不能把链拉紧到可以连接两根金属杆，但如果长度是6.367米就正好了。

  例子：求y=x(3/2)在x=0到x=4之间的长度   导数是y’=(3/2)x(1/2) 开始：   S=   4 ∫  0 √1+(f’(x))²dx 代入(3/2)x(1/2)：   S=   4 ∫  0 √1+((3/2)x(1/2))²dx 简化：   S=   4 ∫  0 √1+(9/4)xdx 我们可以用换元积分法： u=1+(9/4)x du=(9/4)dx (4/9)du=dx 上下限：u(0)=1和u(4)=10 得到：   S=   10 ∫  1 (4/9)√udu 求积分：   S=(8/27)u(3/2)从1到10 计算：   S=(8/27)(10(3/2)-1(3/2))=9.073…… 结论 弧长公式是： S=   b ∫ a √1+(f’(x))²dx 步骤： 取f(x)的导数 写下弧长公式 简化并解积分     积分导数导数法则微积分索引 版权所有©2017MathsIsFun.com