1.1數列的極限

我們將列出數列之極限的一些常用定義、定理，並提供一些例題讓讀者練習，每個例題 ... 定義. 對一數列 ，若存在一 * ，使得 ，則稱 收斂（convergent），或說 收斂到 ... 數列的極限 a         極限是微積分的基礎，本單元我們就來探討極限，且從數列開始。

我們將列出數列之極限的一些常用定義、定理，並提供一些例題讓讀者練習，每個例題我們將給出圖形，藉由圖形可大略判斷出此數列的極限行為，並斟酌給出互動式範例和提示。

a 例1.設數列 ，且 ，試觀察當 無止盡增大時，的變化如何。

a 定義. 設一數列。

對一 ，若 ，存在一 ，使得 時， ，則稱 。

    註. 在運用上述定義之前，必須先知道或猜出極限值 。

a 例2. 設 ， ，試依定義證明 。

a   例3. 設 ，，試依定義證明 。

　 a 定義. 對一數列，若存在一，使得，則稱收斂（convergent），或說收斂到，否則稱為發散（divergent）。

     註. 一數列的收斂與否，重要的是其尾部，而非前面有限項。

a 說明. ：若存在一，使得，必存在一，使，則。

a 定義.若存在一常數，使得，，則稱為有界數列。

        a 例4.試證不存在。

a 定義.設有數列。

  若，，則稱為漸增數列；   若，，則稱為漸減數列。

  若，，則稱為嚴格漸增數列；   若，，則稱為嚴格漸減數列。

  漸增及漸減數列統稱單調數列。

a 定理.設數列為單調且有界，則存在。

  a       定義. (1) 若，存在一，使得時，，則以表之； (2)  若，存在一，使得時，，則以表之。

     註. 此時極限並不存在。

a 例 5.設，試求。

a 系理. (1). 設存在一，使得數列自第項起為單調，且此數列為有界，則存在。

(2). 設數列為單調而不為有界。

若此數列為漸增，則；若此數列為漸減，則。

        a 例6.設，，試證存在。

a         例7.設，，試證不存在。

      　 a 進一步閱讀資料： 黃文璋(2002).數列的極限。

微積分講義第一章，國立高雄大學應用數學系。