相對論

整理後變成波動方程式（詳見課本推導31.1），波速因此直接出現在公式中. 其中. 光的介質：以太？ 聲音的傳播媒介是空氣或可振動的物質，當時料學家也理所當然認為有 ... 相對論   速度相加的問題 直接關係到我們時、空的宇宙觀 對物理定律在不同慣性座標系下一致，也是基本預期   馬克斯威爾方程式 四條一組的馬克斯威爾方程式 電磁波的波速 整理後變成波動方程式（詳見課本推導31.1），波速因此直接出現在公式中 其中   光的介質：以太？ 聲音的傳播媒介是空氣或可振動的物質，當時料學家也理所當然認為有專門傳播光的介質，甚至先命名它為以太。

  找尋以太 邁可森－莫利的干涉儀 來自同一個光源，分出的兩道光路後再讓他們干涉在一起，若光程稍有變化，就有干涉條紋變化。

如此，想像一條光路與以太風的方向平行，另–條光路垂直。

稍作分析即可知光程不同。

現在想像將整個儀器緩緩旋轉90度角，使兩條光路角色交換，則我們預期要看到干涉條紋變。

  最成功的失敗實驗 儀器之靈敏度已改進到非常好（遠超過所需，地球公轉速度每秒數公里），只要有對以太的相對運動一定測得出來。

但還是無任何結果，仿彿以太在地球週圍是靜止。

  勞倫玆縮短理論 沿著對以太運動的方向，長度縮短 L=L0√(1-v2/c2) 恰好可以符合邁可森–莫利實驗，但爭議性很大。

  愛因斯坦的相對論（相對性原理） 基本假設： （一）所有慣性（即不加速的）座標系中，物理定律不變 （二）光速對任何觀察者皆相同   β與γ 這兩個量常在相對論中見到，先定義 β=v/c γ=1/√(1-β2)   光錐 任何訊號與交互作用不能超過光速，因此某一時空點能影響到的範圍，有一個新的邊界限定，叫正光錐；而所有能影響到該時空點的部分，則叫負光錐。

見圖 上圖中，紅點只能影響藍點，而與綠點完全不會有因果上的相關性。

同理，過去所能影響到現在的（事件）點，也只在一定距離範圍之內。

  古典物理： 兩空間點的相距（不論那個觀察者看到） Δr=√[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2] （注意：上式在座標變換下其值不變，即座標轉換保長）   兩時刻點的間距（不論那個觀察者看到） Δt=t2-t1   相對論： 兩事件點在時空中的間距（不論那個觀察者看到） s2=c2(Δt)2-(Δr)2   時間增長 Δt=γΔt0 Δt0=2h/c Δt=L/c 其中(L/2)2=h2+(x/2)2故L=√(4h2+v2Δt2) 則Δt=L/c=√(4h2/c2+v2/c2Δt2)=√(Δt02+v2/c2Δt2) 即Δt√(1-v2/c2)=Δt0 Δt=Δt0 /√(1-v2/c2) 即Δt=γΔt0    長度縮短 L=L0/γ=L0√(1-v2/c2) 重現了勞倫玆提出的的假說公式 科學沒有因此而搞亂，物理定律的位階反而更加穩固。

推導（見課本以太空梭為例） 靜止時機身長L0的太空梭向前飛行速度v，量其機身長度L 在靜止座標系置雷射與計時器，機鼻擋住光束啟動計時，機尾離開時計時停止，則L=vΔt0，其中Δt0是propertime（此一時鐘沒有在運動）。

另外，從機內人觀點而言，看機外鐘的讀數固然是Δt0，但若使用置於機內的時鐘則有時間膨脹效應Δt =γΔt0，因此光束被擋住（先遮後放）的整個流程耗時Δt ，他看到光束照射點走了vΔt的距離，長度恰是機身長L0。

種總而言之，由於有時間膨脹效應，機內鐘計得之時間Δt比機外鐘計得之時間Δt0長，關係為Δt =γΔt0，故我們有 L=vΔt0 L0=vΔt=vγΔt0 得L=L0/γ 故量得之機身長縮短1/γ倍   孿生子矛盾 予盾點：太空（高速）旅行回來，兩個都比對方年輕，矛盾。

解釋：坐太空船的，要折返回來的那一個較年輕，分別從地球觀點與太空船球觀點皆如此。

作法：利用前面已推得的時間延遲以及長度縮短 本問題之 γ值為1/√(1-0.652)=1.32 地球人看：太空船0.65倍光速向右，抵達3.25光年處後原速折返，單程費時5年，故10年返抵地球。

地球上的人也知道太空船上時間流較慢，10年/γ=船上年，入代γ值得10年/1.32=7.576年。

太空人有在移動，在他看起來距離(有長度縮短)單程為3.25*1/1.32=2.462121...往返總長4.9242...       (而不是6.5光年)，故其行程費時4.9242光年/0.65光速=7.576年。

    請注意返航時速度是-0.914c，而不是兩倍0.65c的-1.3c。

（請閱讀課文pdf共三頁）   新的速度相加公式 不再是u'x=ux+v 而是（推導見課本）   相對論頻率偏移 頻率與時間有關，狹義相對論告訴我們，有相對速度的發射體，由於時間間隔改變，因此頻率也會改變。

這與聲學都卜勒效應的原理是不同的。

詳細推導見http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_Doppler_effect 設相互遠離 從光源的觀點，從第一個波前恰達到接收者，此時第二個波前距接收者λ那麼遠。

要讓第二道波前以光速c追上接收者，但接收者也同時以v後退中，追上（第二波前被接收到）時第二波前還要走λ+vt0這麼遠，是以光速c來走的，有以下關係式 λ+vt0=ct0 共費時 t0=λ/(c-v) 此λ為波長，故有λ=c/f0，因此 t0=λ/(c-v)=(c/f0)/(c-v)=1/[(1-β)f0] 接收端是移動中的，故時間過比較慢，此一事件之歷時t0 對接收端而言會較短 t=t0/γ 故 f=1/t=γ[(1-β)f0] =[(1-β)f0]/√[(1-β)(1+β)] =f0√[(1-β)/(1+β)] =f0√[(c-v)/(c+v)]   (遠離時) f=f0√[(c-v)/(c+v)]   (接近時) f=f0√[(c+v)/(c-v)]   (transversive)   勞倫玆轉換 明顯與伽利略轉換不同，時、空是同為量的兩個分量（同步消長，像旋轉一般），故時空是一體的。

  伽利略轉換 x'=x-vt y'=y z'=z t'=t   勞倫玆轉換 x' =γ(x-vt) y'=y z'=z t'=γ(t-vx/c2)   勞倫玆轉換下的不變量 作業：驗證前面所定及s是一個勞倫玆轉換下的不變量   以不變量來寫物理定律公式 （才能真正突顯公式中各物性或量的特徵，而不只是舊式新寫。

） 在相對論考慮下，向量都是四維的，而物理定律則形式上要滿足勞倫玆轉換不變性。

其長度（絕對值）會滿足勞倫玆轉換不變性的物理量，如：（但絕對值定義裏的平方和）要用-+++係數，叫閔可夫斯基絕對值(norm)） 時刻、位置是在同一個四維向量之內：Xμ=(ct,x,y,z) 光速、速度是在同一個四維向量之內：Uμ=(γc,γvx,γvy,γvz) 能量、動量是在同一個四維向量之內：Pμ=mUμ=(γmc,γmvx,γmvy,γmvz)=(E/c,px,py, pz) 電位、向量位同屬一個四維向量之內：  Aμ=(Φ/c,Ax,Ay,Az)   新的動量與能量公式 動量 不再是p=mv，而是 p=γmu 其中u是某觀察者看到的速度，而m永遠指的是靜止質量。

這樣定才能滿足動量相關定律（如動量守恆）在相對論中對所有觀察者定律不變。

Halliday課本教法如下：需重新定義動量，以使動量守恆定律適用於不同相對速度的觀察者： p=m×觀察者座標系中之距離/靜止座標系中之時間=mΔx/Δt0 （觀念：propertime才是對應到純量的時間，放在分母的東西必須要是純量）   力 力的正確公式是 F=dp/dt  （不能再用F=ma，即使有所謂的相對性質量mr，也不能直接把mr代入F=mra，Giancoli叮嚀）   能量 先只考慮動能（位能在此無關），本來是1/2mv2，但在相對論下，動量定義已經不同， 能量公式的推導 W=∫Fdx=∫dp/dtdx 其中dp/dt=d(γmu)/dt=m/[(1-v2/c2)(3/2)]dv/dt （積分過程見課本） 功－功能定理繼續適用，即ΔK=W，則得 K=(γ-1)mc2 Bauer&Westfall課本，是先說明愛因斯坦提出物體靜止時E0=mc2，故加入動能後得 E =γmc2 上式E是相對論下之總能 靜止時E0=mc2，移動時，多了γ的係數因子，E=γE0，即E =γmc2。

  動量－能量關係 非相對論下E=p2/2m，在相對論下 由於E=γmc2、p=γmv，而有 E2=p2c2+m2c4 請注意這個式子中沒有γ、β等相對速度有關的量，上式是一個滿足不變性的方程式。

其中 m2c4=E2-p2c2或m2=(E/c2)2-(p/c)2是一個座標轉換不變量。

  最有名的物理公式 上式E2=p2c2+m2c4，在靜止的狀態（或座標系）v=0，故p=γmv=0 得E2=m2c4，即 E=mc2   2005年，世界物理年   另一種推得E=mc2的方式 愛因斯坦在尋求獲得相對論之能量（動能）之時，藉由考慮低速下動能應該要重現1/2mv2的結果，發現必需減去一個常數項mc2才可得到， 說明如下： 動能K=(γ-1)mc2=mc2/√[1-(v/c)2] -mc2 當v<